数学（全国通用）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

11 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，绝对值的运算及相反数运算，根据几个定义逐个求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是负数，符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 是正数，不符合题意， 故选：A． 2．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查三视图，根据左视图的定义画出左视图即可． 【详解】解：组合体的左视图为： 左视图的面积为， 故选：C． 3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算，掌握整式的混合运算，算术平方根的计算是解题的关键． 根据算术平方根的计算，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算进行判定即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．26寸 C．13寸 D．24寸 【答案】B 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：B． 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．面积相等的三角形全等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 【答案】D 【分析】本题考查了命题与真理，平行线的性质，全等三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，故选项不符合题意； B、面积相等的三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项不符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是真命题，故选项符合题意； 故选：D． 7．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用树状图法求概率．画树状图，共有种等可能的情况，其中小宣最后进入“科技与生活”展厅的结果有种，再由概率公式求解即可．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：如图，设入口之后的三条道路分别为左，中，右，并用A表示“科技与生活”展厅，用B表示“挑战与未来”展厅，画出如下树状图：   ∴由图可知，嘉嘉通过入口后一共有种不同的可能路线，嘉嘉是任选一条道路，则走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A展厅的有种可能，进入B展厅的有种可能， ∴进入B展厅（“科技与生活”展厅）的概率是：． 故选：C． 8．随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的倍，且乘公交车平均每小时走x千米， ∴电动汽车的平均速度是千米/小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 10．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N，首先求出，然后证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13．如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】根据位似比为推知两个三角形的相似比为．根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”作答．本题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴ 即与的位似比为， 与相似，相似比为， 与的面积比为． 的面积为4， 的面积是9． 故答案为：9 14．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作轴与，连接，证明是等边三角形，得出，设，则，，得出，，根据平移的性质可得点在双曲线上，代入计算即可得解． 【详解】解：如图，作轴与，连接， ∵原点O为正六边形的中心， ∴，, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， ∵点也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15．2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 最短长度为 ． 故答案为：． 16．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键． 先求解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解得，进而得到满足条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有且仅有个整数解， ， ， 所有满足条件的整数的值分别为，，，，， 所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： 【答案】4 【分析】本题考查实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，再加减即可． 【详解】解： ． 18．先化简，再求值：，其． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法，把代入计算即可． 【详解】解： 将代入得，原式＝． 19．为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； (2)直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； (3)该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【答案】(1)100， (2)B组 (3)600(人) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义． （1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数；用C组人数所占百分比乘以即可得到C组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而根据中位数的定义求解即可； （3）用1500乘以不少于的学生人数的占比，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【详解】（1）解：这次调查活动共抽取（人）， ∴这次抽样调查的样本容量是100， C组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：100；； （2）解：B组的学生有：（人）， 样本的最中间的2个数据是第50和51个， 而， 故平均每周劳动时间的中位数在B组； （3）解：（人）． ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人． 20．随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 (1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； (2)若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 【答案】(1)该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元 (2)当线下采购该水果时最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，利用总收入销售单价销售数量，结合第一、二两批该水果的销售量和总收入，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司采购该水果共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元； （2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果， 根据题意得：， 解得：． 设该公司采购该水果共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． 答：当线下采购该水果时最省钱． 21．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】任务1：；任务2：的长为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的方法是解题的关键． 任务1：作，，由等腰三角形的性质可得，在中，，结合图形即可求解； 任务1：在中，，，可知，在中，，，再结合，即可求解． 【详解】解：任务1：作，， ∵，， ∴， 在中，， ，， 又∵ ∴四边形为矩形 ∴ 答：遮阳棚前端到地面的距离为； 任务2：在中，， ， ∵四边形为矩形 ∴， 在中，， 答：非机动车道有效遮阳宽度的长为． 22．问题情境： 如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形为矩形；理由见解析 （2）；理由见解析 【分析】（）由，，得，，再根据菱形的性质，则，，从而证明即可； （）由四边形为菱形，则，，再由旋转性质可知，，证明，最后根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：（）四边形为矩形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形； （），理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵旋转得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，旋转的性质，等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角即可求解； （2）如图，连接，，由圆周角定理得，再由，，得，，进而求得，即可证明结论； （3）先证是等腰直角三角形，得，由勾股定理求得，结合，得，可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴． （2）证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （3）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 24．定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)存在，，“属合成”函数解析式为 (2)的解析式为或 (3) 【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可； （2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可； （3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得， 解得，或， ∴两函数图象的交点为和， ∵， ∴， ∴， ∴它们存在“属合成”函数， ∵， ∴“属合成”函数解析式为． （2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为， ∴的解为和，即， ∴， ∵存在“属合成”函数为， ∴，即， ∴， ∴． ①当时， 联立， 解得， ∴， 把点代入解得（舍）， ∴； ②当时， 联立， 解得或， ∴， 把点代入，解得或（舍）， ∴， 综上，的解析式为或． （3）解：∵与存在“2属合成”函数， ∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为， ∴， ∴，则， ∴， ∴“2属合成”函数解析式为， ∵的顶点为， ∴， ∴， 如图，作垂线和， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又， ∴， 设，可求得， 由可求得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 设， ， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，定义新运算，二元一次方程组求解，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析思想是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C D B D C D D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．9 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解： ．（8分） 18．解：原式=（6分） 将代入得，原式＝．（8分） 19．（1）解：这次调查活动共抽取（人）， ∴这次抽样调查的样本容量是100， C组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：100；；（3分） （2）解：B组的学生有：（人）， 样本的最中间的2个数据是第50和51个， 而， 故平均每周劳动时间的中位数在B组；（5分） （3）解：（人）． ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人．（8分） 20．（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；（4分） （2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果， 根据题意得：， 解得：． 设该公司采购该水果共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值． 答：当线下采购该水果时最省钱．（8分） 21．解：任务1：作，， ∵，， ∴， 在中，， ，， 又∵ ∴四边形为矩形 ∴ 答：遮阳棚前端到地面的距离为；（4分） 任务2：在中，， ， ∵四边形为矩形 ∴， 在中，， 答：非机动车道有效遮阳宽度的长为．（8分） 22．解：（）四边形为矩形，理由如下： ∵，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形；（5分） （），理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵旋转得到， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴．（10分） 23．（1）解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴．（2分） （2）证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．（6分） （3）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，．（10分） 24．（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得， 解得，或， ∴两函数图象的交点为和， ∵， ∴， ∴， ∴它们存在“属合成”函数， ∵， ∴“属合成”函数解析式为．（3分） （2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为， ∴的解为和，即， ∴， ∵存在“属合成”函数为， ∴，即， ∴， ∴． ①当时， 联立， 解得， ∴， 把点代入解得（舍）， ∴； ②当时， 联立， 解得或， ∴， 把点代入，解得或（舍）， ∴， 综上，的解析式为或．（7分） （3）解：∵与存在“2属合成”函数， ∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为， ∴， ∴，则， ∴， ∴“2属合成”函数解析式为， ∵的顶点为， ∴， ∴， 如图，作垂线和， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， 又， ∴， 设，可求得， 由可求得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 设， ， 解得或（舍）， ∴．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 题，第 17-21 每题 8分，第 22-23 每题 10分，第 24题 12分，共 72分。解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．26寸 C．13寸 D．24寸 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．面积相等的三角形全等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 7．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A． B． C． D． 8．随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 13．如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 14．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为 ． 15．2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 16．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）先化简，再求值：，其． 19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； (2)直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； (3)该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 20．（8分）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 (1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； (2)若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 21．（8分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 22．（10分）问题情境： 如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 23．（10分）如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 24．（12分）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，将这个数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．26寸 C．13寸 D．24寸 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．面积相等的三角形全等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 7．图为某市科技馆“科技与生活”和“挑战与未来”两个展厅的路线图．嘉嘉同学通过入口后，随机选择一条道路前进，每逢路口再任选一条道路，最终到达任意一展厅后停止前进，则嘉嘉最后进入“科技与生活”展厅的概率是（　　） A． B． C． D． 8．随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．张老师购置了新能源电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，张老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 13．如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 14．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为 ． 15．2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 16．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）先化简，再求值：，其． 19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次抽样调查的样本容量是 ，C组所在扇形的圆心角的大小是 ； (2)直接写出平均每周劳动时间的中位数在哪一组； (3)该校共有1500名学生，请你估计其中平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 20．（8分）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）： 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元） 第一批 第二批 (1)求该水果线上、线下的销售单价各是多少元； (2)若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？ 21．（8分）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据表格内容完成任务． 课题 探究经十路非机动车道遮阳栅相关问题 素材背景 济南经十路沿线非机动车道上的遮阳棚，采用高级玻璃丝纤维材料，能够抵抗雨淋和日晒，如图1． 抽象测量 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图．如图2，立柱与地面垂直，的长为，，．经过点的太阳光线照射在点处． 任务1 求出遮阳棚前端到地面的距离． 任务2 当太阳光线与地面夹角为时，求非机动车道有效遮阳宽度的长． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 22．（10分）问题情境： 如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由． 23．（10分）如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 24．（12分）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数． (1)试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由； (2)已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式； (3)如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$