数学（湖南卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D D A A B D D C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．2 12．甲 13． 14．1 15．3 16．6 17．12 18．①②③ 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解：原式（4分） ．（6分） 20．解： ；（4分） 当，时，．（6分） 21．（1）解：由题意知样本容量为； ； ； ． 故答案为： 50，12，24，0.12（4分） （2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数，，两组共有20人，且C组有24人， ∴所抽取学生成绩的中位数落在C组． 依据题意补全频数分布直方图如下图所示： （6分） （3）成绩不低于80分的学生有：（名）， 答：估计成绩不低于80分的学生有720名．（8分） 22．（1）解：过点D作，交的延长线于点E，如图． ∵在中，（米） ∴（米） 答：点D到的距离为300米；（3分） （2）解：过点D作于点H，如图． ∵，， ∴四边形是矩形． ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米）， （米）， ∵． 答：小红经过点D到达点C的这条路较近．（8分） 23．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的半径， 与相切；（5分） （2）解：如图，连接， ， ，， ，， 四边形为正方形， ， ∴， ， ， ， 图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积．（9分） 24．（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩．（5分） （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要27个人同时打药．（9分） 25．（1）证明：∵，D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形．（3分） （2）解：∵， ∴． 由（1）知：， ∴平分． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． 设，则， ∴， ∴．（6分） （3）解：如图：过点F作，垂足为G，连接交于点P． ∵， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形．（10分） 26．（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点． ∴设抛物线的函数解析式为， ∴，即， 解得：， 抛物线的函数解析式： （2）解：∵抛物线， 当，， ∴， 由（1）知，点； ∵ ， ∴， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：或， ∴， 如图，过P作轴交于S点， 设，则， ∴ ∴， ∴或． ∴或； 即：在直线下方的抛物线上存在点P，使． （3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， 令直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线必经过定点.（10分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题8分，共24分） 11． _________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（9分） 24.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 8分，共 24分） 11．_________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（9分） 24.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10分） 2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了俯视图，从几何体上方看到的平面图形为俯视图，据此进行解答即可． 【详解】A、圆柱的俯视图是矩形，是四边形，符合题意； B、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意； C、五棱柱的俯视图是五边形，不符合题意； D、球的俯视图是圆，不符合题意． 故选A． 2．截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数绝对值时，n是负数．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：2800万， 故选：C． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，由数轴可得，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，故A错误， ∴，，，故BC错误，D正确， 故选：D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，实数的运算，完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 用合并同类项的法则可判断A，用完全平方公式可判断B，用幂的乘方运算法则可判断C，用二次根式的加减运算法则可判断D． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 6．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法求概率， 先列出表格，可得所有可能出现的结果，即可得出符合条件的结果，再根据概率公式计算即可. 【详解】解：列表如下： 第一次     第二次 火药 印刷术 造纸术 指南针 火药 （印刷术，火药） （造纸术，火药） （指南针，火药） 印刷术 （火药，印刷术） （造纸术，印刷术） （指南针，印刷术） 造纸术 （火药，造纸术） （印刷术，造纸术） （指南针，造纸术） 指南针 （火药，指南针） （印刷术，指南针） （造纸术，指南针） 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有6种，所以这两张卡片中有“指南针”的概率是. 故选：A. 7．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】在方程中，，， ． ，． ∵任何数的平方都大于等于 ，即 ， ∴ ，即 ． ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后得到，由直径得到，求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∴． 故选：D． 9．如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C．四边形为菱形 D． 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故A正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故C正确； ， 在中，， ，则，故B正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键． 10．如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（   ） A．18 B．20 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键． 先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将带入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：根据进行求解即可． 【详解】解：由题意知，8的立方根为． 故答案为：2． 12．某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为 =12cm， =12cm， ， ，则杂交水稻长势比较整齐的是 试验田．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】由已知可知甲乙的平均数相等；再比较甲和乙的方差的大小，利用方差越小，数据的波动越小，可得答案． 【详解】解：∵ =12cm， =12cm， ∴甲乙的平均数相等； ∵ ， ， ∴3.2＜8.6， ∴s甲2＜s乙2， ∴杂交水稻长势比较整齐的是甲试验田． 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差，在平均数相同的情况下，方差的大小反映了数据波动程度，方差越小，数据的波动程度越小． 13．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 14．已知直线向下平移2个单位后经过点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律，先求出平移后的直线表达式，再代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入得：， 解得：， 故答案为：1． 15．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 【详解】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 17．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， ∵小正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 18．新定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“关联点”； 若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中正确结论是 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据“关联点”的定义，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点，都是点的“关联点”，故①正确； 设点的坐标为， ∵点是点的“关联点”， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为，故②正确； 设抛物线上的点的坐标为， ∵点是点的“关联点”， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴当时，，即，当时，，即， ∴抛物线上存在两个点是点的“关联点”，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算． 【答案】6 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 直接利用负整数指数幂的性质一绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、完全平方公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ； 当，时，． 21．2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 【答案】(1)50，12，24，0.12 (2)C，详见解析 (3)估计成绩不低于80分的学生有720名 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求样本容量，频数统计表，中位数，用样本估计总体等相关知识，通过图表获取所需信息是解题关键． （1）A等级的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出BC等级的学生人数和D得频率即可； （2）根据中位数的确定方法，求出中位数所在等级； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知样本容量为； ； ； ． 故答案为： 50，12，24，0.12 （2）一共50名同学，从小到大排列后，中位数为第25位和第26位数的平均数，，两组共有20人，且C组有24人， ∴所抽取学生成绩的中位数落在C组． 依据题意补全频数分布直方图如下图所示： （3）成绩不低于80分的学生有：（名）， 答：估计成绩不低于80分的学生有720名． 22．春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米．（参考数据：） (1)求点到的距离； (2)点处有直饮水，小红从点出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点，请计算说明她走哪一条路较近？ 【答案】(1)300米 (2)小红从点出发沿人行步道去取水，经过点到达点这条路较近． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交的延长线于点E，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为H，根据题意可得：米，可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答． 【详解】（1）解：过点D作，交的延长线于点E，如图． ∵在中，（米） ∴（米） 答：点D到的距离为300米； （2）解：过点D作于点H，如图． ∵，， ∴四边形是矩形． ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米）， （米）， ∵． 答：小红经过点D到达点C的这条路较近． 23．如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）如图，连接，，根据圆周角定理得到，证出四边形为正方形，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接， ， ，， ，， 四边形为正方形， ， ∴， ， ， ， 图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 24．随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 【答案】(1)一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩 (2)王伯伯至少还需要27个人同时打药 【分析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一个人打药的面积为x亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：一个人打药的面积为5亩，则一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩． （2）解：设王伯伯还需要y个人同时打药，由题意得： ， 解得：； 答：王伯伯至少还需要27个人同时打药． 25．在中，，D是的中点，E是线段上一点(不与点B，D重合)，，交于点F，M是的中点，连接． (1)如图1，若．连接，求证：是等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，当的值为多少时，？ (3)如图2，E是的中点，在线段上截取，连接，试探究四边形的形状． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)四边形EFMN是平行四边形，过程见解析． 【分析】（1）证明得到即可证明结论； （2）由得到，证明，设，则，得到即可解答； （3）如图：过点F作，垂足为G，连接交于点P，四边形是矩形，根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据中点的定义、线段的和差以及等量代换即可解答．． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：∵， ∴． 由（1）知：， ∴平分． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． 设，则， ∴， ∴． （3）解：如图：过点F作，垂足为G，连接交于点P． ∵， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 26．已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 【答案】(1) (2)或 (3)直线必经过定点 【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，可得，得出的值即可． （2）先根据点、两点坐标得出点的坐标，从而求出的解析式，与抛物线解析式联立求出，过P作轴交于S点，设，则，可得，再解方程即可； （3）过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设，，先证得，得出，从而证得 ，令直线的解析式为，与抛物线解析式联立得出，得出直线的解析式即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点． ∴设抛物线的函数解析式为， ∴，即， 解得：， 抛物线的函数解析式： （2）解：∵抛物线， 当，， ∴， 由（1）知，点； ∵ ， ∴， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：或， ∴， 如图，过P作轴交于S点， 设，则， ∴ ∴， ∴或． ∴或； 即：在直线下方的抛物线上存在点P，使． （3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， ∴ ， 令直线的解析式为， ∴， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线必经过定点. 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线解析式的求法和性质，相似三角形的性质和判定，二次函数与面积，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，选择合适的方法解题是关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 6．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹。如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 8．如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C．四边形为菱形 D． 10．如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（   ） A．18 B．20 C．36 D．24 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．8的立方根是 ． 12．某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为 =12cm， =12cm， ， ，则杂交水稻长势比较整齐的是 试验田．（填“甲”或“乙”） 13．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 14．已知直线向下平移2个单位后经过点，则的值为 ． 15．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为 ． 16．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 17．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 18．新定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“关联点”； 若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中正确结论是 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 22．（8分）春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米．（参考数据：） (1)求点到的距离； (2)点处有直饮水，小红从点出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点，请计算说明她走哪一条路较近？ 23．（9分）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 24．（9分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 25．（10分）在中，，D是的中点，E是线段上一点(不与点B，D重合)，，交于点F，M是的中点，连接． (1)如图1，若．连接，求证：是等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，当的值为多少时，？ (3)如图2，E是的中点，在线段上截取，连接，试探究四边形的形状． 26．（10分）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（湖南卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 6．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光辉的足迹。如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（   ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 8．如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C．四边形为菱形 D． 10．如图，抛物线与轴交于点，，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，，与轴交于点，，，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（   ） A．18 B．20 C．36 D．24 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．8的立方根是 ． 12．某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为 =12cm， =12cm， ， ，则杂交水稻长势比较整齐的是 试验田．（填“甲”或“乙”） 13．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 14．已知直线向下平移2个单位后经过点，则的值为 ． 15．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，若，则的长为 ． 16．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为 17．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 18．新定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，有下列结论： 点，都是点的“关联点”； 若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为； 抛物线上存在两个点是点的“关联点”；其中正确结论是 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）2025年横空出世的DeepSeek可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过与人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了DeepSeek的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对DeepSeek掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩x/分 频数 频率 A 8 0.16 B m 0.24 C n 0.48 D 6 p 调查结论 …… (1)上述表格中，样本容量为________，________，________，________； (2)所抽取学生成绩的中位数落在________组；补全频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于80分的学生有多少名？ 22．（8分）春天是踏青的好季节，小红决定去公园出游踏青．如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米．（参考数据：） (1)求点到的距离； (2)点处有直饮水，小红从点出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点，请计算说明她走哪一条路较近？ 23．（9分）如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 24．（9分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时． (1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积． (2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？ 25．（10分）在中，，D是的中点，E是线段上一点(不与点B，D重合)，，交于点F，M是的中点，连接． (1)如图1，若．连接，求证：是等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，当的值为多少时，？ (3)如图2，E是的中点，在线段上截取，连接，试探究四边形的形状． 26．（10分）已知抛物线与轴分别交于点，点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，在直线下方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，、是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线、分别交轴于、两点，若，求证：直线必经过一定点． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$