专练01（最新好题速递）数列解答题突破必刷题型（8大题型45题）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专练01 数列解答题突破必刷题型（8大题型45题） 题型1 分组和并项求和 一、解答题 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 4．（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 题型2 裂项相消求和 一、解答题 1．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 2．（23-24高二上·宁夏·期中）已知数列各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求的取值范围． 3．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 5．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 7．（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 题型3 错位相减求和 一、解答题 1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型4 倒序相加求和 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 2．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型5 含奇偶项讨论问题 一、解答题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 3．（24-25高二下·广西·开学考试）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 5．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 6．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知数列满足. (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 题型6 数列证明类问题 一、解答题 1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，且的前项和为，求证：. 2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和，并证明． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且. (1)当时，求与的值； (2)求证：当时，. 4．（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，. (1)求的值； (2)探究是否存在唯一的最大项； (3)证明：. 6．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 题型7 插入数或者项构成新数列问题 一、解答题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的项，公差． (1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； (2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 2．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 3．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 6．（24-25高二下·山东德州·开学考试）已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 题型8 数列新定义问题 一、解答题 1．（24-25高二下·上海青浦·期中）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 6．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练01 数列解答题突破必刷题型（8大题型45题） 题型1 分组和并项求和 一、解答题 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用化简可知，即可得证. （2）由（1）可知，所以，利用分组求和法计算即可求得. 【详解】（1）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （2）由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列. 所以，即:. 所以数列的前n项和为： . 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式； （2）利用并项求和法可求． 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 3．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 4．（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【详解】（1）设公差为，则，即 解得或 ，所以或； （2）因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 题型2 裂项相消求和 一、解答题 1．（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知数列. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以， . 2．（23-24高二上·宁夏·期中）已知数列各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)记数列前项的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用等差数列的定义求解;(2)利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为各项均为正数，， 所以， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列， （2）， 因为，故 所以,又，所以 所以 3．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； (2)利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 4．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用，，成等比数列列出关于公差的方程，再利用等差数列的通项公式即可； （2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简，最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 5．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由等比数列定义可证明为等比数列，由等比数列通项公式计算可得； （2）根据表达式利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）由已知得， 因此为常数， 可得数列为等比数列. 即数列为首项为2，公比为2的等比数列； 可得， 即 （2）由（1）可得， ∴的前和为 ； 所以 . 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）先根据时的条件求出.再用和时的式子相减，得到与的关系，变形后发现符合等比数列定义，进而确定其首项和公比. （2）由第一小问得出的的通项公式，求出的表达式，再得到. （3）先根据求出，对变形为可裂项相消的形式.然后用裂项相消法求出.接着分析的范围，由得上限；通过知递增，求出得下限. 【详解】（1）（1）因为，所以当时，， 即，所以. 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列 （2）解：由（1）知，， 所以. （3）解：由（2），得， 所以， 因为，所以， 又， 所以是递增数列， 所以， 所以. 7．（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用给定条件再结合求解通项公式即可. （2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再结合数列单调性证明即可. 【详解】（1）因为，又， 所以，即， 由题意得，于是，而， 即是以1为首项，1为公差的等差数列， 从而，即，因此， 而满足上式，故. （2）由（1）知，则， 因此， 则， 显然数列单调递减，于是， 则，故. 题型3 错位相减求和 一、解答题 1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可. （2）利用错位相减法求解数列前项和即可. 【详解】（1）由，得， 又，是以1为首项，3为公比的等比数列， ，， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则，① 得，② ①－②得 ， 故． 2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又因为数列的公比为2，所以， 即，解得，所以． （2）由（1）知，则， 所以，    ① ，    ② ①②得 ． 所以． 又因为， 所以是递增数列，所以，所以． 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据条件得到为等差数列，从而求出通项公式，再设的公比为，根据得到公比，求出通项公式； （2），错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）， 又，，故， 故为等差数列，首项为2，公差为2， 所以； 设的公比为，则， 又，故，解得， 又，所以； （2）， 设数列的前项和为， 则①， ②， 则①-②得 ， 故 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解； （2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. （2）当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 题型4 倒序相加求和 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案. 【详解】（1）； （2）由题知，当时，， 又，两式相加得 ， 所以， 又不符合， 所以. 2．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案； （2）根据倒序相加法，可得答案. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 3．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案； （2）根据等差数列的性质推出，即得，由此利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】（1）由于数列为等差数列，设公差为d，故， 从而可知，即，求得， 则数列的通项公式为； （2）由于,故数列的前项和为， 由于为等差数列，，所以，所以， 即， 同理， 得到， 则由倒序相加法可知 ， 即. 4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倒序相加法可求得； （2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）解：由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 题型5 含奇偶项讨论问题 一、解答题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是等比数列，由已知条件求出，进而可求得的通项公式； （2）由（1）知，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 3．（24-25高二下·广西·开学考试）已知函数且. (1)计算，； (2)求通项公式； (3)设为数列的前n项和，求； 【答案】(1)；5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接代入运算即可得，； （2）分类讨论n的奇偶性，结合题中递推公式运算求解即可； （3）根据（2）可得若n为奇数，则，分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以；. （2）因为， 当n为奇数，则； 当n为偶数，则； 所以. （3）由（2）可知， 若n为奇数，则，可得： 当n为偶数时，； 故当n为奇数时； 所以. 4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）在数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推公式，得出，则 是公比为2的等比数列. 再由等比数列知识求解即可． （2）结合（1），求出．分奇偶讨论求和即可 【详解】（1）， 是公比为2的等比数列. ， . （2）， 所以. 当n为偶数， . 当n为奇数 综上：. 5．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 6．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知数列满足. (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据所给条件推导出，即可求出的通项公式，再分奇、偶讨论，求出的通项公式； （2）由（1）可得，再利用分组求和与错位相减法求出，最后再分奇、偶讨论，求出. 【详解】（1）由题可知， 当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故. （2）由（1）可得， 所以 ， 记，① 则，② ①②得 ， 所以， 则， 所以当为偶数时，， 当为奇数时， . 故. 题型6 数列证明类问题 一、解答题 1．（24-25高二下·山东聊城·阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，且的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列求和公式的性质先得，再利用等比中项计算公差，求通项公式即可； （2）先根据等差数列求和公式得，作商计算得即可. 【详解】（1）由题意，得，解得. 又∵，，成等比数列， ∴，即， 解得或（舍去，）， ∴， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，又，则，则， ∴. ∵，∴. 2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)，证明见解析 【分析】（1）由已知可得，进而可得等比数列，可求的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法，可求得，进而可得结论. 【详解】（1）由得，所以， 因此数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，得， 因此数列的通项公式． （2）由（1)知 ， ， 对任意的，，所以. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且. (1)当时，求与的值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系代入，解方程可得；利用的关系，代入可得； （2）通过分析法转化为证明，再利用基本不等式可证. 【详解】（1），， ，得. 又，，得. ，，. （2）要证当时，，由题意，故只需证， 即证，即证，. 即证，即证. 当时，由题意， 则， 当且仅当时，等号成立，得证. ∴当时，. 4．（23-24高二下·山西·期中）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行证明即可. 【详解】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，. (1)求的值； (2)探究是否存在唯一的最大项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)最大项不唯一 (3)证明见解析 【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义可得出关于、的方程组，根据可得出的值； （2）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，即可得出结论； （3）求得，利用裂项法可求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，取前项知、、成等差数列，即， 因为为等比数列，取前项知、、成等比数列，即， 代入得，即，也即， 所以（舍去）或，因为，故. （2）由（1）可得，即， 则， 当时，则，可得， 当时，则，可得， 当时，，可得，此时，数列单调递减， 所以，即数列的最大项不唯一. （3）因为， 于是， 因此. 6．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)65 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2） 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. （3）由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得：. 即. 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)已知，求数列的前项和，并证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）先根据时的条件求出.再用和时的式子相减，得到与的关系，变形后发现符合等比数列定义，进而确定其首项和公比. （2）由第一小问得出的的通项公式，求出的表达式，再得到. （3）先根据求出，对变形为可裂项相消的形式.然后用裂项相消法求出.接着分析的范围，由得上限；通过知递增，求出得下限. 【详解】（1）（1）因为，所以当时，， 即，所以. 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列 （2）解：由（1）知，， 所以. （3）解：由（2），得， 所以， 因为，所以， 又， 所以是递增数列， 所以， 所以. 8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)选①②，答案均为； (2)证明过程见解析 【分析】（1）选①，根据，得到，为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式；选②，，求出为首项和公差均为1的等差数列，得到，根据求出通项公式； （2）求出，求和得到，并作差得到，得到的最小值为，证明出结论. 【详解】（1）选①，，， 因为， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以，， 所以， 又，，所以为首项和公差均为1的等差数列， 所以，， 所以当时，，当时，， 显然满足， 综上，； 选②，①，当时，，解得， 当时，， 故， 又因为数列的各项均为正数，所以， 故，即， 又，故为首项和公差均为1的等差数列， 所以，解得， 所以当时，，当时，， 显然满足， 综上，； （2）由（1）知，，， ， 所以， 因为， 所以， 所以为递增数列，故的最小值为， 所以. 题型7 插入数或者项构成新数列问题 一、解答题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的项，公差． (1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； (2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质可求得的公差，可求得的通项公式； （2）由题意可得的第50项在和之间，进而利用分组求和法可求得的前项的和. 【详解】（1）由题意可得，， ∵是等差数列，设公差为， ∴， ∴． （2）因为，，， 即的第50项在和之间． 所以数列的前50项中含有数列的前9项，含有数列的前41项， 所以数列的前50项的和为 . 2．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）法一：应用的关系求得、，根据等比数列的定义写出通项公式；法二：应用等比数列的通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【详解】（1）法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 3．（24-25高二上·贵州黔西·期末）若数列的首项，且满足，令． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求的前n项和； (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解. （3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证. 【详解】（1）由，得， 而，则，又， 所以数列是等比数列，，. （2）由（1）知，， ，则， 两式相减得， 所以 （3）依题意，，即，解得， 假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则， 即，则，由成等差数列，得， 因此，整理得，则，与互不相等矛盾， 所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列 【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和． 【答案】(1)证明见解析； (2)， (3). 【分析】（1）利用给定的递推公式计算即可得证. （2）由（1）按奇偶求出的通项公式，再列式求出的公差，进而求出通项公式. （3）根据数列的构成规律，求出前项中数列与的项数，再结合等差数列、等比数列前项和公式计算即可. 【详解】（1）数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为. （2）由（1）知，，， 所以数列的通项公式为； 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为. （3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项， 因此数列中，前共有项，当时，， 当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 5．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，推得，再求得，得到数列为等比数列，即可求解； （2）①根据题意，求得的值，结合，求得，即可求解； （2）根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为在数列中，， 当时,， 两式相减得，可得， 又因为时,，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故. （2）①当时，可得，当时，得，当时,得， 因为数列为等差数列，可得，可得， 当时，由，可得， 又由，当时，数列为等差数列； ②由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，则，理由如下， 从而必是数列中的某一项， 则 ， 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意,舍去； 综上所述,满足题意的正整数仅有. 6．（24-25高二下·山东德州·开学考试）已知数列的前项和为满足，且，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件结合等差数列通项公式求数列的通项公式，再由与关系求，由取求，当时，用替换，两式相除可得结论； （2）由（1）可得，等式两边同乘，两式相减可得，再利用错位相减法求结论； （3）由（1）结合等差数列等比数列求和公式求，再求，结合等差数列求和公式化简不等式求结论. 【详解】（1）因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； （2）由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； （3）依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用错位相减法先求出，然后再次利用错位相减法求结论. 题型8 数列新定义问题 一、解答题 1．（24-25高二下·上海青浦·期中）对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列． (1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，利用无穷互补数列的定义判断即可. （2）判断数列的前512项是的所有整数，除去之后剩下的整数，再根据等差数列与等比数列的求和公式求解. 【详解】（1）因为，，∴， 即，不满足②， 因此与不是无穷互补数列. （2）因为，所以， 因为与是无穷互补数列， 所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数， 所以数列的前512项的和为： . 2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列的通项公式； （2）由数列既是等方差数列，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列为常数列． 【详解】（1）由等方差数列的定义可知， 由此可得， 又，所以． （2）证明：因为是等差数列，设其公差为， 则． 又是等方差数列，所以． 故， 所以， 即， 所以，故是常数列． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 【答案】(1)； (2)8. 【分析】（1）根据数列新定义可得，再利用累乘法求得的表达式. （2）利用（1）的结论解数列不等式，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，二阶等比数列的二阶公比为，则， 于是当时，， ， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，不等式，而， 由，得，又的值随n的增大而增大，且， 当时，，当时，， 数列是递增数列，因此， 所以使的最小正整数的值为8. 4．（24-25高二上·陕西西安·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中.已知数列满足，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. 5．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 【答案】(1) (2)不存在符合要求的实数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果. （2）先假设存在实数，使得对恒成立， 等价于对恒成立.推出矛盾即可证明. （3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列” 【详解】（1）由题知，，且， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）不存在， 理由如下：由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以. 假设存在实数，使得对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立. 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数. （3）由题意，设数列的公比为且，则. 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项. 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 综上所述，数列是“超1数列”. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对(1)问求解，然后结合新定义及假设存在，最后推出矛盾即可对（2）问进行求解.对于第（3）问则根据题干中的条件正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况分别证明即可. 6．（24-25高二上·山东枣庄·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，成等比数列，列式运算得解； （2）根据数列的新定义运算证明； （3）根据题意可得，即，得数列是等比数列，运算得解. 【详解】（1）由题意可知成等比数列． 则 即， ，解得. （2）； ， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质． （3）由数列具有性质，则为等比数列， 因为 所以， 故数列为以2为首项以2为公比的等比数列． 则， 于是， 即，由． 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 得． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用数列性质求出数列的通项，构造证明数列是等比数列，得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$