第四章第05讲 章节复习专题：因式分解（3个知识点+9大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第04讲 章节复习专题：因式分解 目录 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 5 【考点四 判断能否用公式法因式分解】 6 【考点五 综合提公因式和公式法因式分解】 8 【考点六 利用因式分解求值】 12 【考点七 十字相乘法因式分解】 14 【考点八 分组分解法因式分解】 19 【考点九 因式分解的应用】 23 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·贵州·模拟预测）多项式的公因式是（ ） A．a B． C．b D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）多项式的公因式是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【考点四 判断能否用公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点五 综合提公因式和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）因式分解 (1)． (2)． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）因式分解： (1) (2) 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）因式分解 (1) (2) (3) 4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【考点六 利用因式分解求值】 例题：（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果，，那么代数式的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知， ，则代数式的值是 ． 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现：， (1)若，那么m的值是______，n的值是______； (2)若，求的值． 【考点七 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 2．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【考点八 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 2．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： ①． ②． (2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 4．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【考点九 因式分解的应用】 例题：（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）若的三边长a，b，c满足，则是（　　） A．等边三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级下·福建·期中）若一个整数能表示成（、都是整数）的形式，则称这个数为完美数．例如，5是完美数，因为．再如，（，都是整数），所以也是完美数． (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完美数； (2)已知（、都是整数，是常数），要使为完美数，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (3)如果，都是完美数，试说明也是完美数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 章节复习专题：因式分解 目录 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 5 【考点四 判断能否用公式法因式分解】 6 【考点五 综合提公因式和公式法因式分解】 8 【考点六 利用因式分解求值】 12 【考点七 十字相乘法因式分解】 14 【考点八 分组分解法因式分解】 19 【考点九 因式分解的应用】 23 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 知识点02 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 知识点03 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项B：，原分解错误； 选项C：属于整式乘法，不是因式分解． 选项D：符合因式分解定义． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，由此逐项分析即可得解． 【详解】解：A、是乘法运算，故不符合题意； B、符合因式分解的定义，故符合题意； C、中等号右边不是积的形式，故符合题意； D、是乘法运算，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意， ，则B不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 是乘法运算，则D不符合题意， 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期末）下列式子是和的公因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：和的公因式的是， 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·贵州·模拟预测）多项式的公因式是（ ） A．a B． C．b D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）多项式的公因式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查多项式公因式，解题的关键是找出多项式各项系数的最大公因数以及各项都含有的相同字母的最低次幂． 分别分析多项式各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂，从而确定公因式． 【详解】在多项式中，8和12的最大公因数是4； 对于字母，在中的次数是3，在中的次数是1，相同字母的最低次幂是； 对于字母，在和中的次数分别是3和2，即相同字母的最低次幂是； 对于字母，中不含，所以公因式中不含． 综合起来，多项式的公因式是， 故答案选：B． 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 【考点四 判断能否用公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 2．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）（2）（3）（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：，故（1）符合题意； 不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意； ，故（3）符合题意； ，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意； 所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3）， 故选：B 【考点五 综合提公因式和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的几种基本分解方法并能灵活应用是关键； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解： ； 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 4．（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式和完全平方公式进行因式分解，运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，注意分解要彻底． （1）运用平方差公式进行分解即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续进行分解即可得到答案； （3）将式子化为两个数的平方差，再运用平方差公式进行分解即可得到答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【考点六 利用因式分解求值】 例题：（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了平方差公式．将利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）已知， ，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，掌握因式分解的方法，二次根式的加减运算是解题的关键．先利用平方差进行因式分解，则变形为，然后把，分别代入进行计算即可． 【详解】解：，， 故答案为： 2．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可． 【详解】解：， 把，，代入， 原式， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）学完多项式乘以多项式，爱思考的小明发现：， (1)若，那么m的值是______，n的值是______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式法则展开合并同类项得，再比较，即可作答． （2）同理得，再与比较得，然后处理，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意 ∵， ∴， 则 则把代入， 得． 【考点七 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务． 2024年12月12日  阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为． 例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解： ． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数a的所有可能的值是， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为， 则； （2）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把中看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 2．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 【答案】(1)2，4，2，4 (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；； 所以． 故答案为：2，4，2，4． （2）解：一次项为：，则常数项为， 则． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可． 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． 【考点八 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：        分成两组 ．            各组提公因式因式分解 乙：        分成两组 ．            平方差公式因式分解 请你在他们解法的启发下，因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法和提取公因式因式分解成为解题的关键． 按照乙的思路运用分组法和公式法因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）应用分组分解法直接分解因式即可； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：的三边长，，满足， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． 2．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式： ①． ②． (2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． （1）①根据“”分法即可得出答案；②根据“”分法即可得出答案； （2）运用完全平方公式进行分解因式，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，，， ，， 的周长． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查因式分解： （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法和公式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（24-25七年级下·重庆·期中）仔细阅读下列解题过程： 若，求、的值。 解： ， ， 根据以上解题过程，试探究下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知、、是的三边，且满足，求中最长边的取值范围； (3)已知：，，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解的应用、确定第三边的取值范围、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解、完全平方公式、非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x和y，代入求得数值； （2）用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得a和b，进而根据三角形三边关系且为最长边，即可求解； （3）先把代入，得到关于和的式子，再仿照（1）（2）题求解得出，进而即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，； ∵、、是的三边， ∴即 又∵为最长边 ∴； （3）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【考点九 因式分解的应用】 例题：（24-25九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式和合并同类项法则进行化简，得出，然后进行判断即可． 【详解】解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）若的三边长a，b，c满足，则是（　　） A．等边三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义．利用因式分解得到，则，得到或，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或，即或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 3．（24-25九年级下·福建·期中）若一个整数能表示成（、都是整数）的形式，则称这个数为完美数．例如，5是完美数，因为．再如，（，都是整数），所以也是完美数． (1)请你再写出一个小于10的完美数，并判断34是否为完美数； (2)已知（、都是整数，是常数），要使为完美数，试求出符合条件的一个值，并说明理由； (3)如果，都是完美数，试说明也是完美数． 【答案】(1)8，是 (2)13，理由见解析 (3)见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， （3）设，，再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完美数， ， 是完美数； （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴也是整数， ∴当，即，是完美数； （3）证明：设，，，，，为整数）， ， ∵是整数， ∴都是整数， 是完美数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$