精品解析：湖北省襄阳市老河口市实验中学2024-2025学年度八年级下学期期中考数学试题

八年级下学期期中复习数学试题 一、单选题 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，且不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 2. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴； 故选A． 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．先将代数式变形为，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长． 【详解】解：如上图所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC， ∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查三角形中位线定理．解题关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 5. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　） A. ①，② B. ①，④ C. ③，④ D. ②，③ 【答案】D 【解析】 【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求得的长度，进而可求得的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标． 【详解】根据题意，可知， ， ∴． 又点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键． 7. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足， ∴电流． 故电流的值为， 故选：B． 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦，股，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵弦，股， ∴， ∴小正方形的面积为． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O． ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 10. 如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形． 故选：B． 二、填空题 11. 写出一个使在实数范围内有意义的值：__________．（写出一个即可） 【答案】4 【解析】 【分析】根据，得到，从满足要求的范围内任取一个数值即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键． 12. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为对角线相等的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定解决实际问题是解题的关键． 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质．能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴n的最小值是2． 故答案为：2． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 15. 如图，在中，，F是的中点，E是上一点，连接，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意利用平行线性质和全等判定即可得到①正确，再利用等边三角形判定无法证明③正确，利用角的转化即可证明④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，即①正确， 延长与的延长线交，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即④正确， ∵， ∴不是等边三角形，即③不正确， ∴正确结论为：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查平行四边形性质，中点性质，角平分线定义，平行线性质，等边三角形判定等． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，于，，，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】由勾股定理求出DC=3，则可求出AB的长． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵AC＝5，AD＝4， ∴CD， ∵ ∴ ∴AB2， 故的长为2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 18. 在中，对角线AC平分．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． ∴． ∵AC平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形ABCD是菱形． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出，再结合平分线即可得出，进而得出结论； 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 19. 学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 【答案】 证明：连接BF，如图所示： ∵AC＝b， ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a， ∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠BAE＝90°， ∵∠BAC＝∠EAF， ∴∠EAF+∠BAE＝90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积为：c2+（b﹣a）（a+b）＝c2+（b2﹣a2）， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2＝c2+（b2﹣a2）， ∴b2＝c2+b2﹣a2， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2＝c2． 【解析】 【分析】连接，将拼接后的四边形ABDF分成两个三角形，根据题中信息，先证明△BAF为等腰直角三角形，进而得出中相关线段长，求出各个图形面积，再利用拼接前后两个图形的面积相等即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用拼图的方法，再利用面积相等证明． 20. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证； （2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点O作于点F， ∵四边形是矩形， ∴点O是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在中，由勾股定理可得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键． 21. 海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图在中，，，． （1）请你用海伦—秦九韶公式求的面积； （2）你还能用其他方法求的面积吗？试试看． 【答案】（1） （2） 过点作， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的化简，求三角形的面积： （1）利用公式进行计算即可； （2）过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”． （1）根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段间的位置关系． （2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，，点C到线段的距离为4（单位长度），求出洞穴到赤石的距离． 【答案】（1）点与线段的垂直平分线上 （2）洞穴到赤石的距离为5个单位长度 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置； （2）如图，建立坐标系如下：再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置，如图所示： ． ∴点与线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：如图，建立坐标系如下： 由题意可得：，，而， ∴， ∴洞穴到赤石的距离为个单位长度． 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 24. 【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 【知识应用】 （2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路和，使得，则这两条路等长吗？为什么？ 【拓展延伸】 （3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为______，此时的长度是______． 【答案】（1）相等， （2）相等，理由如下： 过点作过点作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）； 【解析】 【分析】（1）通过证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）过点作过点作，交于点，可得四边形均为平行四边形，得到，证明即可； （3）连接，得到，勾股定理求出的长，翻折，证明，求出的长，过点作，同法（2）可得：，，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：（1）相等，； ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； （2）略 （3）如图：连接 ∵ ∴当三点共线时，最小，最小值为的长度 ∵ ∴ 由对称性可知：，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作， 同法（2）可得：， ， ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等．掌握相关结论是完成几何推导的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中复习数学试题 一、单选题 1. 下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 若，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为(　　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　） A. ①，② B. ①，④ C. ③，④ D. ②，③ 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（ ） A. 2 B. C. D. 6 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦，股，则小正方形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、填空题 11. 写出一个使在实数范围内有意义的值：__________．（写出一个即可） 12. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________． 13. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为______． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 15. 如图，在中，，F是的中点，E是上一点，连接，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为 ________（填序号）． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，于，，，，求的长． 18. 在中，对角线AC平分．求证：四边形ABCD是菱形． 19. 学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程． 20. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 21. 海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图在中，，，． （1）请你用海伦—秦九韶公式求的面积； （2）你还能用其他方法求的面积吗？试试看． 22. 有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”． （1）根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段间的位置关系． （2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，，点C到线段的距离为4（单位长度），求出洞穴到赤石的距离． 23. 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 24. 【课本再现】 （1）如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ 【知识应用】 （2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路和，使得，则这两条路等长吗？为什么？ 【拓展延伸】 （3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为______，此时的长度是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $