精品解析：上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 命题人：______ 审核人：______、______ 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第题每题5分） 1. 已知拋物线，则其准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 2. 已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可求解. 【详解】因为母线长为2，底面半径为，则该圆锥的高为，则所求圆锥的体积为. 故答案为：. 3. 设为正整数，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知且，由可得， 整理可得，解得. 故答案为：. 4. 设，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数定义及基本初等函数的导数计算求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 5. 4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答） 【答案】384 【解析】 【分析】视每对双胞胎为一个整体作全排列，再排列各对双胞胎即得. 【详解】每对双胞胎视为一个整体作全排列，有种，而每对双胞胎的排列有， 所以不同的站法种数是是. 故答案为：384 6. 设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为______. 5044664421 6606580562 6155643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】 【解析】 【分析】利用随机数表法的规则读数即可. 【详解】根据从随机数表第1行第6个数开始读，第一个编号是64，舍去；第二个编号是42； 第三个编号是16；第四个编号是60，舍去；第五个编号是65，舍去；第六个编号是80，舍去；第七个编号是56， 所以入选的三个个体编号分别为42，16，56， 故答案为：42，16，56. 7. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为______. 【答案】33 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，所以该组数据的第30百分位数为33. 故答案为：33 8. 设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 故答案为：. 9. 已知函数和满足，函数满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据商的导数的运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 10. 小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由“星队”在两轮比赛中共投中3球的可能情况结合互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式即可求解. 【详解】“星队”在两轮比赛中共投中3球，则两轮比赛中一轮甲、乙有一人未投中，一轮两人均投中， 所以其概率为：. 故答案为： 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【详解】 如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得， 又由双曲线定义可得，则， 又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得，化简得，即， 即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.即. 故答案为：8. 12. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合已知变形得出，令，可得，，再由另一条件得，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论． 【详解】由题意，， 因为，所以， ，所以， 令，则，且， ， 由得， 所以， 所以，当且仅当，，共线且，共线时等号成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，向量模的绝对值三角不等式，解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，并得出，利用此式，得出的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．实际上本题从向量数量积的几何意义，向量的运算法则可容易得出关系式，本题对学生的转化与化归思想，运算求解能力要求较高，属于难题． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14邀每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项求导判断即可. 【详解】因为：， ， ， 故ACD计算正确； 因为，故B计算错误. 故选：B 14. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的外接圆半径即为球的半径可求解. 【详解】因为四边形为正方形，且边长为2. 所以正方形外接圆半径为：，即为已知半球的半径. 所以半球的表面积为：. 故选：C 15. 对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（ ） A. 与不互斥 B. 与不对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（ ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A. ② B. ③ C. ①② D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】利用“伴随点”的定义可判断①；在圆上任取一点，推导出其“伴随点”仍在该圆上，可判断②；在曲线上取两点、，推导出这两点的“伴随点”在曲线上，可判断③. 【详解】对于①，取点，若点不是原点，则， 设点的“伴随点”为，则， ， 即点的伴随点为，①错； 对于②，在圆上任取一点， 则点的伴随点为，即点， 因为，即点在圆上， 所以圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身，②对； 对于③，在曲线上取两点、，这两点关于轴对称， 点的“伴随点”为，点的“伴随点”为， 点、都在“伴随曲线”上，且点、关于轴对称，故曲线关于轴对称，③对. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，三棱柱中，底面是的中点. （1）求证：平面； （2）若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直和等腰三角形性质分别证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角， 【小问1详解】 底面，底面， ， 是的中点, ， 则平面，平面， 平面. 【小问2详解】 因为，所以， 则三棱柱的体积，所以. 如图，以点为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以. 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围. 【小问1详解】 因为，求导得， 令代入，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为且，， 求导得， 且因为定义域为，函数有两个不同的驻点， 故在有两个不同正解，令，故， 设两个不同正解分别为和， 即，解得，即. 19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为. （1）求图中的值； （2）估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率的和为1可求的值. （2）根据频率分布直方图估计数据的平均数. （3）先求出评分在，的受访职工人数，再根据古典概型概率计算公式求概率. 【小问1详解】 因为，解得：. 【小问2详解】 因为：， 所以估计该企业100名职工对该部门评分的平均数为. 【小问3详解】 因为评分的受访职工有人，评分的受访职工有人，从这10人中任选2人，这2人评分都在的概率为： . 20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； （3）过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积. （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【小问1详解】 由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以. 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：. 所以. 又点到直线：的距离为：. 所以. 【小问3详解】 如图： 设直线：，代入抛物线得：， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取“”. 则. 21. 已知且，曲线. （1）若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； （2）设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； （3）设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质求其离心率. （2）先根据平面向量数量积的几何意义确定点在圆上，再与椭圆方程联立，根据点所在位置，可求点坐标. （3）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再根据直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列列式，化简即可. 【小问1详解】 若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. 【小问2详解】 当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. 【小问3详解】 如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 命题人：______ 审核人：______、______ 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第题每题5分） 1. 已知拋物线，则其准线方程为______. 2. 已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为__________. 3. 设为正整数，若，则______. 4. 设，则______. 5. 4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答） 6. 设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为______. 5044664421 6606580562 6155643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 7. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为______. 8. 设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______. 9. 已知函数和满足，函数满足，则______. 10. 小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为______. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______. 12. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是__________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14邀每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 15. 对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（ ） A. 与不互斥 B. 与不对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（ ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A. ② B. ③ C. ①② D. ②③ 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，三棱柱中，底面是的中点. （1）求证：平面； （2）若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为. （1）求图中的值； （2）估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； （3）过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 21. 已知且，曲线. （1）若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； （2）设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； （3）设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $