培优课程21：第9章二元一次方程组章节复习提升 培优课程讲义 ----2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第8章二元一次方程组（培优课程） 专题21 第9章二元一次方程组章节复习提升 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 1、概念三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 2、解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 题型1:概念辨析 【例1】（22-23上宝中学期末）若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 【答案】8 【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义． 【例2】（20-21六年级·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型2:已知二元一次方程组的解求参数 【例3】（23-24徐汇中学阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解答本题的关键． 根据题意得，二元一次方程，变形得到，利用已知条件，均为正整数，得到满足条件的解有，，，由此选出答案． 【详解】解：由已知得： 二元一次方程， ， 又，均为正整数， ，，， 二元一次方程的解的组数有组， 故选：． 【例4】（23-24闵行区期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键； 先将方程的解代入方程，求出，在整体代入求值即可． 【详解】将代入得： ， 【例5】（22-23青浦区期末）关于x，y的方程组的解是  ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可．正确求出的值是解题关键． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 【例6】（2023莘松中学月考）若二元一次方程组的解中与的值相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的意义及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．把代入二元一次方程组中不含、的方程，先求出、的值，再把、的值代入方程组中的另一个方程，求出的值． 【详解】解：与的值相等， 把代入中， 得：，解得， 将代入中， 得：， 整理，得． ． 故答案为：． 【例7】（23-24市西中学阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组，先根据题意组成新的方程组，解得，代入即可求解，掌握二元一次方程组的解法，正确求解方程组的解是解题的关键． 【详解】由满足， 则， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为， 把代入得， 解得：， 故选：． 【例8】（2024进才实验月考）已知关于的方程组，下列说法正确的有 ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 【答案】②③ 【分析】根据二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义分析判断说法①②；根据是方程组的解，可得，再结合求出的值，即可判断说法③④． 【详解】解：若是第一个方程的解，则不一定是第二个方程的解，故说法①错误； 若是方程组的解，则一定是第二个方程的解，说法②正确； 若是方程组的解，则有， 将两个方程相加，可得，整理可得， 又因为，即有，解得， 故说法③正确，说法④错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程（组）的解的知识，理解并掌握二元一次方程（组）的解的定义是解题关键． 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】 本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 题型3:代入消元法与加减消元法 【例10】（2023闵行中学期末）计算：按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，，将代入②式得，，解得，，将代入①式得，； （2）得，，解得，，将代入①式得，，计算求出值，进而可得结果． 【详解】（1）解：， 由得，， 将代入②式得，，解得，， 将代入①式得，， ∴； （2）解：， 得，，解得，， 将代入①式得，，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【例11】（2023金山区期末）按要求解二元一次方程方程组： (1)；（代入消元法） (2)．（加减消元法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求运用代入消元法求解； （2）按要求运用加减消元法求解． 【详解】（1）， 把①代入②中，得， 解得：， 把代入①，得， ∴方程组的解为． （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【例12】（2024崇明区六年级期末）解方程组：． 【答案】 【分析】化简后，选择适当方法解方程组即可． 【详解】∵ ∴, 两式相减，得， 解得， 把代入， 解得， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查了方程组的解法，选择适当的方法是解题的关键． 【例13】（2022市北中学期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法即可解决； （2）先将原式化为整式后利用加减消元即可． 【详解】（1） ①②得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：. 故原方程组的解为：. （2）原方程组可化为：， 得：， 解得： 把代入得：. 故原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键． 题型4:二元一次方程组的特殊解法 【例14】（23-24大同中学阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相减，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可． 【详解】解：， 得：，即，解得：． 故答案为：2． 【例】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可； （2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可； （3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． （3）解：依题意，令则原方程组为， 即 得， 解得：， 得，， 解得： ∴ 得，， 解得： 得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型5：二元一次方程组的错解问题 【例15】（22-23进才实验阶段练习）解方程组时，一学生把c看错而得而得正确的解是，那么a、b、c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【答案】B 【分析】将代入中可求c，由题得可求a、b； 【详解】解：将代入中， 得， ∴， 将、代入中得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出a、b的二元一次方程组是解题的关键． 【例16】（2023奉贤区期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与看错方程问题，将错解代入未看错的方程求出a、b的值是解决此题的关键．先建立关于a，b的方程组求出a，b，然后代入原方程组解题即可． 【详解】解：把代入得③， 把代入得， 联立③得，解得：， 把代入原方程得， 解得：， 故答案为：． 【例17】（2022黄浦区期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①＋②得出，求出，再代入①求出即可； （2）把代入求出，再求出，再根据方程组解的定义可得答案． 【详解】（1）解：当时，方程组为， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）设， ∵，互为相反数， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴方程组的解是， ∴， 解得：， ∴原题中“”是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解（2）的关键． 题型6：构造二元一次方程组求解 【例18】（22-23春浦东新区期末）若与的值互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用非负数的性质得出，，，进而利用整体思想得出答案． 【详解】解：与的值互为相反数， ∴， ∵，， ，， ， 得： ， 故． 故选：A． 【点睛】此题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，利用整体思想求解是解题关键． 【例19】（2024浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　　． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值． 【解答】解：根据题中的新定义得：， 解得：， 则1*2＝1×2+2×1＝2+2＝4， 故答案为：4 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例20】对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出关于的一元二次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据新定义列出二元一次方程组是解题的关键． 题型7：同解方程组 【例21】已知方程组和有相同的解，则的值为 【答案】 【分析】根据题意得出方程组，进而得出、的值，代入另两个方程求出、的值，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组， 将方程组中的两个方程相加，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 将代入和，得：和， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键． 【例22】若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两方程组同解，可得出原来两方程组的解与方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入方程组中，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有相同的解， ∴原来两方程组的解与方程组的解相同． 解方程组得：． 将代入方程组得：， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同解方程组，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 【例23】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两个方程组共解可得到方程组的解即为原方程组的解，解方程组后，将x，y的值代入计算出m，n的值即可计算代数式的值． 【详解】解：解方程组可得：， 将代入可得解得：， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义，根据共解求出方程组的解是解决本题的关键． 【例24】已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解； 【详解】解方程组， 解之得， 代入得， 代入得， 故； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握消元思想是解题的关键． 【例25】已知关于x，y的方程组与有相同的解， (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解，这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)对，见解析 【分析】（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可； （2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出，即说明这句话对． 【详解】（1）由题意可得：， 解得； （2）将代入含有的方程得：， 解得：； （3）将代入，得： ， 化简得：，即． 所以无论取何值，都是方程的解． 【点睛】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． 题型8：解三元一次方程组 【例26】已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 【例27】已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【例28】解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】5.（1） ①＋②，得4x＋z＝5，④ ③＋④，得5x＝10，解得x＝2 把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0 把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3 所以原方程组的解为． （2） ①＋②，得x＋z＝2，④ ②＋③，得5x－8z＝36，⑤ ④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2 把z＝－2代入④，得x＝4 把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0 所以原方程组的解是． 题型9：一次方程组的应用 【例29】现欲将一批荔枝运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨．现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：： (1)辆型车和辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨； (2)该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车． 【分析】（1）设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由“用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合、均为非负整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨， 由题意得：， 解得：， 答：辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵、均为非负整数， ∴或或 ，∴该物流公司共有种租车方案， 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【例30】小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走米，下坡路每分钟走米，上坡路每分钟走米，从家里到学校需分钟，从学校到家里需分钟．小明从家到学校的下坡路长 米． 【答案】800 【分析】设从小明家到学校的下坡路长x米、平路为y米，根据时间=路程÷速度结合从家里到学校需20分钟、从学校到家里需30分钟，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设从小华家到学校的下坡路长x米、平路为y米， 根据题意得：， 解得：． 所以，从小明家到学校的下坡路长800米． 故答案为：800． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据数量关系时间=路程÷速度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 【例31】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【答案】(1)40，15 (2)6 (3)16 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． 【例32】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)1100 (3)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第8章二元一次方程组（培优课程） 专题21 第9章二元一次方程组章节复习提升 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 1、概念三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 2、解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 题型1:概念辨析 【例1】（22-23上宝中学期末）若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 【例2】（20-21六年级·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型2:已知二元一次方程组的解求参数 【例3】（23-24徐汇中学阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【例4】（23-24闵行区期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【例5】（22-23青浦区期末）关于x，y的方程组的解是  ，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（     ） A． B． C． D． 【例6】（2023莘松中学月考）若二元一次方程组的解中与的值相等，则 ． 【例7】（23-24市西中学阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】（2024进才实验月考）已知关于的方程组，下列说法正确的有 ①若是第一个方程的解，则一定是第二个方程的解； ②若是方程组的解，则一定是第二个方程的解； ③若是方程组的解，且，则； ④若是方程组的解，且，则． 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 题型3:代入消元法与加减消元法 【例10】（2023闵行中学期末）计算：按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【例11】（2023金山区期末）按要求解二元一次方程方程组： (1)；（代入消元法） (2)．（加减消元法） 【例12】（2024崇明区六年级期末）解方程组：． 【例13】（2022市北中学期末）解方程组： (1) (2) 题型4:二元一次方程组的特殊解法 【例14】（23-24大同中学阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【例】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______． (3)请你用上述方法解方程组 题型5：二元一次方程组的错解问题 【例15】（22-23进才实验阶段练习）解方程组时，一学生把c看错而得而得正确的解是，那么a、b、c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【例16】（2023奉贤区期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，则原方程组的解为 【例17】（2022黄浦区期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 题型6：构造二元一次方程组求解 【例18】（22-23春浦东新区期末）若与的值互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例19】（2024浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　　． 【例20】对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 题型7：同解方程组 【例21】已知方程组和有相同的解，则的值为 【例22】若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【例23】已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【例24】已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为 ． 【例25】已知关于x，y的方程组与有相同的解， (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解，这句话对吗？请你说明理由． 题型8：解三元一次方程组 【例26】已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【例27】已知x、y、z满足，则的值为 . 【例28】解下列三元一次方程组： (1) (2) 题型9：一次方程组的应用 【例29】现欲将一批荔枝运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨．现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：： (1)辆型车和辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【例30】小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走米，下坡路每分钟走米，上坡路每分钟走米，从家里到学校需分钟，从学校到家里需分钟．小明从家到学校的下坡路长 米． 【例31】安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【例32】某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$