培优课程20：简单的三元一次方程组 - 培优课程讲义---2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题20 简单的三元一次方程组 知识点1 三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 知识点2 三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 知识点3 解三元一次方程组的基本思路 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 知识点4 解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 知识点5 三元一次方程组的应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 题型1：三元一次方程组的概念 【例1】下列方程中，三元一次方程共有(   　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】下列方程组不是三元一次方程组的是(    　  ) A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 题型2：三元一次方程（组）的解 【例3】已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例4】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【跟踪训练】 1.下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 2.三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 3.如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______． 题型3：用消元法解三元一次方程组 【例5】解方程组：． 【例6】解方程组： 【例7】解方程组． 【跟踪训练】 1.解方程组： ． 2.解方程组：． 3.解方程组：． 4.解方程组： 5.解方程组：． 题型4：连等型三元一次方程组的解法 【例8】解方程组：． 【跟踪训练】 1.解方程组：． 2.解方程组：． 题型5：构造三元一次方程组求解 【例9】已知满足，求的值 【例10】已知，当时，；当时，；当时，，求、、的值． 【例11】若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【跟踪训练】 1.若，则 ， ， ． 2.已知，当时，，当时，；当时，． （1）求a、b、c的值； （2）求当时，y的值． 3.方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 题型6：三元一次方程组的应用 【例12】一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（    ） A．215 B．216 C．217 D．218 【例13】购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 2.一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（    ） A．215 B．216 C．217 D．218 3.汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？ 1、 选择题 1．（2024上海市静安区实验中学课时练习）下列方程中，三元一次方程共有( 　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024上海市静安区实验中学课时练习）下列方程组不是三元一次方程组的是( 　 ) A． B． C． D． 3．（2024普陀区期末）三元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 2、 填空题 4.（2023嘉定区期末）如果 ，那么的值为 5．（2022春·上海嘉定·六年级校考期中）三元一次方程组的解是________. 6．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）已知，，那么__________． 7.（2023-2024建平中学西校期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8.（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 9．（2019·全国课时练习）方程组的解为______． 10.（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．16 3、 解答题 11．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）解方程组： ． 12．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：． 13．（2021春·上海闵行·六年级统考期末）解方程组： 14．（2021春·上海松江·六年级校考期末）解方程组． 15．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）解方程组： 16．（2021春·上海·六年级上海市西南模范中学校考期末）解方程组：． 17. （2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 18.（2023下·全国·七年级期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题20 简单的三元一次方程组 知识点1 三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程。 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 知识点2 三元一次方程组的解 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 知识点3 解三元一次方程组的基本思路 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 知识点4 解三元一次方程组的一般步骤 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组。（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程。 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值。 知识点5 三元一次方程组的应用 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案。 题型1：三元一次方程组的概念 【例1】下列方程中，三元一次方程共有(   　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用三元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程； （2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程； （3），是三元一次方程； （4）分母含有未知数，是分式方程； 则三元一次方程有2个， 故选：B 【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键． 【例2】下列方程组不是三元一次方程组的是(    　  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程． 故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的知识，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 【跟踪训练】 1.若是一个关于的三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，0． 2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解： A选项：4个未知数，错误； B选项：2个未知数，错误； C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确； D选项，方程的次数为2，错误； 故选：C． 【点睛】本题考查三元一次方程组的定义，是基础题．清楚三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素是关键． 题型2：三元一次方程（组）的解 【例3】已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案 【详解】解：根据题意， 把代入方程组，得， 由①+②+③，得， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算 【例4】三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【答案】C 【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可． 【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解； 当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解； 当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解； 所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）． 故选：C． 【点睛】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论 【跟踪训练】 1.下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 2.三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【答案】C 【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案． 【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解； 当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解； 当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解； … 当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解； ∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝＝2001000个 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解 3.如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______． 【答案】9 【分析】三个方程相加可得结论． 【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18， ∴x+y+z＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型． 题型3：用消元法解三元一次方程组 【例5】解方程组：． 【答案】 【分析】由①②相加消去y，与③组成关于x、 z的二元-次方程组， 进一步解二元一次方程组， 求得答案即可． 【详解】解： ①+②得，3x+z＝6④ ③④组成二元一次方程组得， 解得， 代入①得，y＝2， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程组较简单． 【例6】解方程组： 【答案】. 【分析】①+②可求出y，①+③可求出z，②+③可求出x. 【详解】解：， ①+②得：2y=-6，解得：y=-3， ①+③得：2z=10，解得：z=5， ②+③得：2x=14，解得：x=7， ∴方程组的解为：. 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，通过消元的思想将三元一次方程组转化为二元一次方程组是解题的关键． 【例7】解方程组． 【答案】 【分析】运用加减消元法得到一个关于a、b的二元一次方程组，求解可得a、b，然后将a、b代入求解即可． 【详解】解： ①-②得：2b-2a＝2，即b-a＝1， ①+③得：3a+4b＝18， 解可得 把a＝2，b＝3代入方程①得：2+3+c＝6，解得：c＝1． 则方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法成为解答本题的的关键． 【跟踪训练】 1.解方程组： ． 【答案】 【分析】由②①，得：④，由③②，得：⑤，再由由⑤④，得：，再将代入④，可得，然后将，代入①，可得，即可求解． 【详解】解： ， 由②①，得：④， 由③②，得：⑤， 由⑤④，得：， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， 将，代入①，得： ， 解得： 方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键． 2.解方程组：． 【答案】 【详解】解：， ②③得：④， 由④和①组成一个二次一次方程组， 解得：， 把代入③， 解得：， 所以原方程组的解是：． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3.解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法和代入消元法求解即可 【详解】解：①②得，④， ③④得，， 解得， 代入③得，， 代入①得，， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解，正确的计算是解决本题的关键． 4.解方程组： 【答案】 【分析】将①+②可得得：④，再由③+④可得，然后把和代入①可得，即可求解． 【详解】解： 将①+②得：④， 将③+④得：，解得：， 将代入④得：， 将和代入①得：， 原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键． 5.解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解该三元一次方程组即可． 【详解】 ②③得，④， ③①得，⑤， ⑤④得，， ，把代入④，得： 解得：， 把，代入①，得： 解得：． ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．掌握解三元一次方程组的方法是解题关键． 题型4：连等型三元一次方程组的解法 【例8】解方程组：． 【答案】 【分析】设，分别用k的代数式表示出x，y，z，后代入第二个方程确定求解即可． 【详解】， 由①设， ∴，，， 代入②得：， ∴   ∴， ∴k＝3， ∴x＝13，y＝11，z＝13， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握设参数法求解是解题的关键． 【跟踪训练】 1.解方程组：． 【答案】 【分析】由①设，把，，代入②，求得，进而即可求得． 【详解】， 由①设， ∴，，， 把，，代入②， ∴，． ∴，，． ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据比例式设参数是解题的关键． 2.解方程组：． 【答案】 【分析】设，分别用k的代数式表示出x，y，z，后代入第二个方程确定求解即可． 【详解】， 由①设， ∴，，， 代入②得：， ∴   ∴， ∴k＝3， ∴x＝13，y＝11，z＝13， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握设参数法求解是解题的关键． 题型5：构造三元一次方程组求解 【例9】已知满足，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组即可解答． 【详解】解：由题意得： 解得： 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解三元一次方程组，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负性分别为0；以及解三元一次方程组的方法和步骤． 【例10】已知，当时，；当时，；当时，，求、、的值． 【答案】 【分析】根据已知条件建立三元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：当时，； ， 当时，， ， 当时，， ， ∴ ， 解得： 【点睛】本题考查了解三元一次方程，熟练掌握三元一次方程的解法是解题的关键． 【例11】若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 解：，互为相反数， ，即， 将代入原方程组， ， 整理可得， ， 得，，即， 将代入②得，． 【点拨】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 【跟踪训练】 1.若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 2.已知，当时，，当时，；当时，． （1）求a、b、c的值； （2）求当时，y的值． 【答案】（1），，；（2）28 【分析】此题考查了三元一次方程组和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把x、y的三对对应值分别代入，列出方程组，再求解； （2）把代入，求解． 解：（1）解：由题意得：， 解得：， ∴，，； （2）解：由（1）知， 当时，． 3.方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 题型6：三元一次方程组的应用 【例12】一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（    ） A．215 B．216 C．217 D．218 【答案】C 【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即得． 【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z， 根据题意得： ， 解得： ，所以，原来的三位数字是217． 故选C． 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位数的表示方法，根据题意列出方程 【例13】购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解． 解：依题意，得：． 故选：A． 【跟踪训练】 1.在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 【答案】11 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元，根据题意列三元一次方程组，利用加减消元法得到，即可得到答案． 解：设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元， 则， 由得：， 解得：， 即买1斤西瓜和1斤橙子需付11元， 故答案为：11． 2.一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（    ） A．215 B．216 C．217 D．218 【答案】C 【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即得． 【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z， 根据题意得： ， 解得： ，所以，原来的三位数字是217． 故选C． 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位数的表示方法，根据题意列出方程组. 3.汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡时每小时行驶28千米，下坡时每小时行驶35千米，去时行驶142千米的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米？去时上、下坡路各有多少千米？ 【答案】平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米 【分析】设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米，然后根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米． 由题意得，解得． 答：平路有30千米，去时上坡路有42千米，下坡路有70千米． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 1、 选择题 1．（2024上海市静安区实验中学课时练习）下列方程中，三元一次方程共有( 　 ) (1)x + y + z = 3； (2) x · y · z = 3；(3) ；(4) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用三元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：（1）x + y + z = 3，是三元一次方程； （2）x · y · z = 3，含有未知数的乘积项，是三元三次方程； （3），是三元一次方程； （4）分母含有未知数，是分式方程； 则三元一次方程有2个， 故选：B 【点睛】本题考查三元一次方程的知识，熟练掌握三元一次方程的定义是解题的关键． 2．（2024上海市静安区实验中学课时练习）下列方程组不是三元一次方程组的是( 　 ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：根据三元一次方程组的定义，可知A、B、C都是三元一次方程组，而选项D含有未知数的乘积项，是三元三次方程． 故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的知识，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 3．（2024普陀区期末）三元一次方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据2x=3y=6z，设x=3k,y=2k,z=k，代入求值即可解题． 【详解】解：∵2x=3y=6z，∴设x=3k，y=2k，z=k， ∵x+2y+z=16，即3k+4k+k=16，解得：k=2∴，故选：C． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解，中等难度,根据等量关系设未知数是解题关键． 2、 填空题 4.（2023嘉定区期末）如果 ，那么的值为 【答案】 【分析】此题考查了加减法解三元一次方程组，①＋②＋③得到，即可得到答案． 解： ①＋②＋③得到， ， ∴， 故答案为： 5．（2022春·上海嘉定·六年级校考期中）三元一次方程组的解是________. 【答案】 【分析】将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出x的值，就可以把y、z的值都求出来． 【详解】由题意可知： 将-得x-z=2 ∴2x=-2 ∴x=-1 ∴-1-z=2 ∴z=-3 ∴y=3 故原方程组的解为 故答案为：． 【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．熟练掌握消元法解方程组是解决本题的关键． 6．（2021春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）已知，，那么__________． 【答案】-4 【分析】根据，，即可得到①，②，再用① -②即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴①，②， 用① -②得， 故答案为：-4． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，三元一次方程组的解法，解题的关键在于能够准确观察出式子之间的关系． 7.（2023-2024建平中学西校期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解．用将表示出来，代入式子，求解即可． 解：联立，可得 ，即，解得 将代入可得 ， 故选：B． 8.（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 【答案】 【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数，得出与的关系，再得出与的关系，最后求比值．本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系． 解：， ①②得：，， ①②得：，， ． 故答案为：． 9．（2019·全国课时练习）方程组的解为______． 【答案】 试题分析：由①可得：x=5-y，然后代入②，与③一起联立成关于y和z的二元一次方程组，然后利用消元法求出方程组的解． 试题解析：，由①可得：x=5-y④，将④代入②可得：2(5-y)+z=13，即-2y+z=3⑤，⑤-③可得：-3y=0，解得：y=0；将y=0代入①可得：x=5；将y=0代入③可得：z=3；所以，原方程组的解为：． 10.（24-25七年级下·全国·课后作业）在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查三元一次方程组，把当时，；当时，；当时，代入中，解出的值即可求出结果． 解：根据题意：， 解得：， ∴， 故选：D． 3、 解答题 11．（2021春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）解方程组： ． 【答案】 【分析】由①＋②可得3x＋4y＝24④，再由①＋③可得6x－3y＝15⑤，然后④⑤可得y＝3，再把把y＝3代入④，可得x＝4，最后把x＝4，y＝3代入①，即可求解． 【详解】解： ， ①＋②得3x＋4y＝24④ ①＋③得6x－3y＝15⑤ ④⑤得8y＋3y＝48－15 解得：y＝3， 把y＝3代入④，得：3x＋12＝24， 解得：x＝4， 把x＝4，y＝3代入①，得：4＋3＋2z＝15， 解得：z＝4， ∴方程组的解为 ． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组得基本方法是解题的关键． 12．（2021春·上海长宁·六年级华东政法大学附属中学校考期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用消元的方法将三元一次方程组化为二元一次方程组，再利用消元的方法将二元一次方程组化为一元一次方程组，再求出未知数的值，将求出的未知数的值代入方程中求出另外两个未知数的值． 【详解】解： 由①得： 将④代入②和③中整理得： 得： 将代入⑤中得： 将，代入④中得： ∴该方程组的解为 【点睛】本题主要考查了用消元法解方程组，熟练掌握消元法解方程组是解答此题的关键． 13．（2021春·上海闵行·六年级统考期末）解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①+②，得 4x+5z=13，④ 由④-③，得6z=6， 解得，z=1， 把z=1代入③，得x=2， 把x=2，z=1代入①，解得，y=-3， 故原方程组的解是． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 14．（2021春·上海松江·六年级校考期末）解方程组． 【答案】 【分析】分别将①与②相加，③减去①，联立得到关于x和z的二元一次方程组，求解并代入原方程组任意方程即可求解． 【详解】解：， ①+②得， ④， ③-①得，⑤， ④-⑤得，， ， 把代入④得， ， ， 把，代入②， ， ， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，选择一个比较容易消去的未知数进行消元，能够使运算更加简便． 15．（2021春·上海青浦·六年级校联考期末）解方程组： 【答案】 【分析】消去未知数z或y，把三元一次方程组先化为二元一次方程组，求解二元一次方程组后再求出另一个未知数． 【详解】解： 由①+②，得， 由①+③，得， 由④⑤组成方程组为， 解这个方程组，得， 把代入①，得； ∴原方程组的解为； 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组化为二元一次方程组是解决本题的关键． 16．（2021春·上海·六年级上海市西南模范中学校考期末）解方程组：． 【答案】 【分析】根据解三元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： ①+②得，解得， ③-①得，即，解得， 将代入①得， 解得， 故方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程的方法是解题的关键． 17. （2024七年级下·全国·专题练习）某汽车在相距的两地往返行驶，因为从A到B的行程中有一坡度均匀的小山，所以该汽车从A地到B地需要，而从B地回到A地需要．假设汽车在平地上的平均速度为，上坡的平均速度为，下坡的平均速度为，从A地到B地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡各是 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，本题还需注意去时的上坡路是回时的下坡路，去时的下坡路是回时的上坡路，平路不变．正确找到三个等量关系是解题关键设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，根据从甲地到乙地，平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；从乙地到甲地：平路所用时间加上坡所用时间加下坡所用时间等于；平路加上坡路加下坡路等于千米，列方程组求出、、的值即可得答案 解：设从地到地的行程中，平路为千米，上坡路为千米，下坡路为千米，则 ∴， 解得：，，， 答：平路千米、上坡路千米、下坡路千米 18.（2023下·全国·七年级期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$