培优课程19：二元一次方程组的应用 培优课程讲义----2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题19 二元一次方程组的应用 知识点一、实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点二、 二元一次方程组的应用 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示题目中的两个未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 题型1 和、差、倍、分问题 【例1】（2024·上海浦东新区·）为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练习簿和10支水笔，共花了36元．已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如果设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目中有两个相等关系：买20本练习簿的钱数+买10支水笔的钱数=36元，每支水笔的价格－每本练习簿的价格=1.2元；据此列出方程组即可． 【详解】解：设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，根据题意，得. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意、找准相等关系是正确列出方程组的关键. 【例2】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）某班共有学生49人，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，列出关于x，y的方程组为________________. 【答案】 【分析】此题中的等量关系有： ①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半； ②男生人数＋女生人数＝49． 【详解】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x−1＝y，即y＝2（x−1）；根据该班共有学生49人，得x＋y＝49． 所以列方程组为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查列二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案． 【例3】（浦东期末28）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人；男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人．求这个班级的学生人数． 【答案】39人； 【解析】解：设这个班级男生人数有x人，女生人数有y人．根据题意，得，解这个方程组，得，故人；答：这个班级的学生人数为39人． 题型2 行程问题 【例4】 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。问甲、乙两人每小时各行多少千米？ 解：设甲乙两人每小时各行驶x千米、y千米． 根据题意，得 解得 答：甲乙两人每小时各行驶千米、千米． 【例5】 在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？ 解：设甲乙两人的平均速度为x千米/小时、y千米/小时． 根据题意，得 解得 答：甲乙两人的平均速度为9千米/小时、12千米/小时． 【例6】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）甲、乙两人同时绕400米的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2.5分钟可以相遇；如果他们同时从同一点同向而行，12.5分钟甲能追上乙．求甲、乙每人每分钟各走多少米？ 【答案】甲每分钟走96米，乙每分钟走64米． 【分析】设甲每分钟x米,乙每分钟y米 ,根据题目中相遇问题和追及问题的等量关系可得:,解方程组即可. 【详解】设甲每分钟x米,乙每分钟y米 ,根据题意可得: ,解得:. 答:甲每分钟走96米,乙每分钟走64米. 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组解决行程问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题中追及和相遇问题的等量关系. 【例7】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）一艘轮船顺流从重庆到上海需5天，而逆流从上海到重庆要7天，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要________天． 【答案】35 【分析】设重庆到上海的路程为单位“1”，根据以及 ，即可求出水流的速度，从而求出木排从重庆顺流漂到上海的天数． 【详解】解：设船的速度为V船，顺流的速度为V顺流，逆流速度为V逆流，水流速度为V水，则 ， 由①-②得： ∴，∴有一木排从重庆顺流漂到上海要35天 故答案为：35 【点睛】本题考查了方程组的实际应用，当一些必须的量没有时，应设为未知数，在计算过程中消除即可． 【例8】“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟，根据顺风5分钟走1000里及逆风5分钟走了600里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可． 【解析】解：设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟， 依题意，得 解得 答：风的速度为40里/分钟． 故选B． 题型3 工程问题 【例9】（青浦期末25）某工厂准备义务为灾区加工600顶帐篷，并计划将这项任务交线甲、乙两个车间共同完成. 如果甲车间每天比乙车间多加工10顶，那么10天恰好完成任务.问：甲、乙两车间每天各加工多少顶帐篷？ 【答案】35顶，25顶； 【解析】解：设甲车间每天加工 x顶，乙车间每天加工y项，根据题意，得方程组 ，解这个方程组，得，答：甲、乙两车间每天各加式35、25顶帐篷. 【例10】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【解析】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 【例11】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 【答案】B 【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论． 【解析】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水， 依题意，得， 解得：， ∵5ax=30a+5a， ∴x=7． 答：要同时开动7台机组． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键． 题型4 销售、利润问题 【例12】（金山2023期末27）开学初，小芳和小亮去文具店购买商品，小芳用18元买了1支钢笔和3本笔记本，小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本，求每支钢笔和笔记本的单价． 【答案】3元，5元； 【解析】解：设每支钢笔x元，每本笔记本y元，根据题意，得，解之得 ，答：每支钢笔的单价为3元，每本笔记本的单价为5元. 【例13】（松江2023期末27）班级组织有奖知识竞赛，班委会花100元购买了笔记本和水笔共29件作为班级奖品，已知每本笔记本的价格是5元，每支水笔的价格是2元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支水笔？ 【答案】笔记本14本、水笔15支； 【解析】解:设班委会购买了x本笔记本，y支水笔，依题意可得，解之得: ， 答: 班委会购买了14本笔记本，15支水笔. 【例14】甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟读题目，找出题目中的关系，列出方程组，从而解方程组． 设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，则根据题意列出二元一次方程组，解方程组，求出x的值，即可得到答案． 【解析】解：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元， 则甲店的耳机进价为：元；标价为：元； ∵甲乙两店的利润率分别为和， ∴， 解得：， ∴乙店每副耳机的进价为元； 故答案为：． 【例15】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组 ． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系，建立方程组． 【解析】解：由题意知，今年收入为，今年支出，故 故答案为： 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键． 【例16】（普陀期末27）某网店经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，盈利率为60%；乙种商品每件售价60元，盈利率为50%. （1）甲各商品每件售价为 元，乙种商品每件进价为 元； （2）如果该网店同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，那么网店购进甲种商品多少件？ （3）“双十一”期间，网店搞八折促销活动，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款400元，那么他购买了甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】（1）80，40；（2）10；（3）甲1件、乙7件；或者甲4件、乙3件； 【解析】解：（1）甲商品每件售价为元，乙商品每件进价为m元，则，解得元； （2）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意得：，解得，答：购进甲种商品10件；（也可以设一个未知数，列一元一次方程求解） （3）设他买了甲种商品a件、乙种商品b件；则，化简得. 符合方程的正整数解是： . 【例17】2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 【答案】(1)该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱 (2)该商场可获得利润2400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合该商家用13800元购进甲、乙两种水果共500箱，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润=每箱甲种水果的销售利润×销售数量（购进数量）+每箱乙种水果的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论． 【解析】（1）解：设该商场购进甲种水果x箱，乙种水果y箱， 根据题意得： ， 解得：． 答：该商场购进甲种水果300箱，乙种水果200箱； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该商场可获得利润2400元． 题型5 数字问题 【例18】（黄浦2023期末18）如果一个两位正整数交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么这个数可以是 ．（写出所有满足条件的数） 【答案】16、27、38、49. 【解析】设这个两位数为，则根据题意得：，化简得：，故满足条件的解有：，所以这个数可以是：16、27、38、49. 【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组． 【解析】根据题意，得． 故选：C． 题型6 配套问题 【例20】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）已知用6米铜管分别做2张桌子或3张椅子的框架，如有500米铜管可生产出几套桌椅（ ） A．150套 B．125套 C．100套 D．60套 【答案】C 【分析】设有500米铜管可生产出x套桌椅，分别求出一张桌子和一张椅子所需的钢管，再列出方程求解即可 【详解】解：有500米铜管可生产出x套桌椅， 6÷2=3（米），6÷3=2（米） ， 解得：x=100， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是求出一张桌子和一张椅子所需的钢管并列出方程． 【例21】（奉贤2023期末27）一家桌椅工厂共有28位工人，每人每天生产3张双人桌或8把单人椅，怎样分配工人，可以使一天生产的双人桌和单人椅配套？ 【答案】16人生产双人椅，12人生产单人椅； 【解析】解：设 x人生产双人桌， y人生产单人椅，由题意得：，解之得：. 答：16人生产双人椅，12人生产单人椅，可使一天生产的双人椅与单人椅配套. 【例22】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）一家眼镜厂，有28个工人加工镜架和镜片，每人每天可加工镜架68副或镜片102副．为了使每天加工的镜架和镜片成套，应如何分配工种人数？ 【答案】12个工人加工镜架，16个工人加工镜片． 【分析】先设分配x人加工镜架，则分配（28-x）人加工镜片，根据加工的镜片数是镜架数的2倍建立方程求出其解即可． 【详解】设x个工人加工镜架，则（28-x）个工人加工镜片. 由题意得：，解得：x=12 ∴28-x=16（人） 答：12个工人加工镜架，16个工人加工镜片. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答时根据加工的镜片数是镜架数的2倍建立方程是关键． 题型7 分配问题 【例23】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）某校运动员分组训练，若每组7人则余3人，若每组8人，则缺5人，设运动员的人数为人，组数为，则下列方程组正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题中不变的是全班的人数x人．等量关系有：①每组7人，则余下3人；②每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人．由此列出方程组即可． 【详解】解：根据每组7人，则余下3人，得方程7y＋3=x，即7y=x−3； 根据每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人，得方程8y−5=x，即8y=x＋5． 可列方程组为：， 故选：C． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中不变的是全班的人数，用不同的代数式表示全班的人数是本题的关键． 【例24】某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【解析】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 【例25】（浦东四署2019期末25）暑假快到了，王老师想让自己女儿的假期生活过得充实点，于是就花了14500元给女儿报了一个英语口语班和一个儿童绘画班，两门课程合计55课时. 英语口语一课时的学费是300元，儿童绘画一课时的学费是220元，问王老师给女儿分别报了多少课时的英语口语和多少课时的儿童绘画？ 【答案】30；25； 【解析】设分别报了x课时的英语口语和y课时的儿童绘画. 根据题意，得 ，解得：. 答：分别报了30课时的英语口语和25课时的儿童绘画. 【例26】（黄浦2023期末26）学校计划用1000元购买甲、乙、丙三种奖品，其价格如表． （注：1000元必须全部用完） （1）如果购买甲、乙、丙三种奖品的数量之比是2:3:4，问共可以买多少件奖品？ （2）如果总共需要购买48件奖品，且甲、乙两种奖品数量之比是2:5，问甲、乙、丙种奖品各购买多少件? 【答案】（1）45；（2）8、20、20件； 【解析】解（1）设购买甲、乙、丙三种奖品分别是，，件． 由题意，得 ． 解，得．． 答：可以买45件奖品. （2）设购买甲、乙、丙三种奖品分别是，，件． 由题意，得 ，解之得 ，答：甲、乙、丙种奖品分别购买8、20、20件． 题型8 几何问题 【例27】在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ） A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2 【标准答案】D 【思路指引】 设小长方形的长为，宽为 ，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解详析】 设小长方形的长为，宽为 ，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 故选D． 【名师指路】 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【例28】如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【答案】124 【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm． 由题图可知，解得 所以题图中阴影部分的面积为20（11＋2y）－9xy＝20×（11＋2×3）－9×8×3＝124（cm2）． 【例29】如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x,宽为y,则小正方形的边长为,根据图中各边之间的关系列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再利用正方形的面积公式计算即可．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【解析】解：设小长方形的长为x,宽为y,则小正方形的边长为, 依题意得：，解得：， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为36． 【例30】某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以下列出的方程组中正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无盖纸盒的长方形和正方形纸板关系得到方程组即可． 【解析】解：因为能做成x个A型盒子，y个B型盒子， 根据A种长方体形状的无盖纸盒需要1个正方形、4个长方形，B种长方体形状的无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， 正方形和纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完， 所以可以列出方程组：． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找到等量关系列出方程． 题型9 图表信息问题 【例31】下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．请将九年级课外兴趣小组活动次数填入表格． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 ___________ _____________ 【标准答案】 2 2 【思路指引】 设文艺小组每次活动时间为x小时，科技小组每次活动时间为y小时，根据题意列方程，求出方程的解，设九年级该月文艺小组活动a次，科技小组活动b次，得到，根据a，b为自然数，得到答案． 【详解详析】 解：设文艺小组每次活动时间为x小时，科技小组每次活动时间为y小时，由题意得 ， 解得， 设九年级该月文艺小组活动a次，科技小组活动b次， ∴， ∵a，b为自然数， ∴． 故答案为：2，2． 【名师指路】 此题考查二元一次方程组的实际应用，以及求二元一次方程的整数解，正确理解表格的意义列得方程组是解题的关键． 【例32】宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ． 5 n 1 m 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题是解题的关键．由每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出方程可求解． 【解析】解：由题意可得：， ， 故答案为：2． 【例33】某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 【答案】55 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程，根据“对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程，联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数． 【解析】解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则 ， 解得：， ∴参加竞赛的学生人数为（人）． 故答案为：55． 题型10 方案问题 【例34】小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 【答案】 8 5 【分析】（1）根据题意可得A奖品的总价格为，B奖品的总价格为，故可得，把代入方程，即可解答； （2）将变形为，根据实际意义可得为正整数，即可解答． 【解析】解：（1）根据题意可列方程， 当时，可得方程，解得， 故答案为：8； （2）将变形为， 为正整数， 观察式子，可得只能取偶数，且， 可解得，，，，， 故有5种不同的选购方案， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据为正整数来思考是解题的关键 【例35】（2023·上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表： 购票张数 1—40张 41—80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问： (1)甲、乙两班各有多少名同学？ (2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级设计一个最省钱的购票方案． 【答案】(1)（1）甲班有46名同学、乙班有36名同学 (2)甲、乙两班联合购买80张门票 【解析】 【分析】 （1）甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，根据题意可知，，即可列出方程组，解出x，y，即得出答案． （2）分别计算出①甲、乙两班联合买门票、②甲、乙两班分别独自买票和③甲、乙两班联合购买80张门票的价钱，在比较即得出答案． (1) 设甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游， ∵甲、乙两个班共82人，且甲班比乙班人多 ∴，， ∴可列方程组：， ②①得，， 解得：， 把代入①得， 解得：， 故甲班有46名同学、乙班有36名同学． (2) 甲班有8人不能参加春游， 甲班有人参加春游， 若甲、乙两班联合买门票，则需要（元）， 若甲、乙两班分别独自买票，则需要（元） 若甲、乙两班联合购买80张门票，只需（元）， 故最省钱的购买方案是甲、乙两班联合购买80张门票． 【点睛】 本题考查二元一次方程组的实际应用．特别注意（2）不需要特意购买与参加人数相同的票数． 1．（2023·上海闵行·期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 _____． 【答案】42 【解析】 【详解】 解：设较大的数为x，较小的数为y， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝14×3＝42， 故答案为：42． 【点睛】 此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 2．（2023··期中）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 【答案】58 【解析】 【分析】 设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】 解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴10x+y=58． 故答案为：58． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023·上海九年级专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，根据题意，列出的方程组是__________． 【答案】 【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人， 依题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元， 乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？ 解：设这个人买了甲种水果x千克，买了乙种水果y千克． 由题意得 解得 答：这个人买了甲种水果8千克，买了乙种水果5千克． 5．（2023·上海市第四中学期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘80人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 【答案】共有240个学生，有5辆汽车 【解析】 【分析】 首先设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得等量关系是：①汽车辆数×45+15=学生人数；②（汽车辆数-1）×80=学生人数，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】 解：设一共有汽车x辆，该学校有y人，由题意得： ， 解得：， 答：共有5辆汽车，该校有240人． 【点睛】 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 【答案】甲每小时走千米，乙每小时走千米 【分析】设甲每小时走千米，乙每小时走千米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设甲每小时走千米，乙每小时走千米， 根据题意，得． 整理，得． 解得． 答：甲每小时走千米，乙每小时走千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 7．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米． 【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米， 由题意，得：， 解得：， ∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分； 答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键． 8．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 【答案】5千米 【分析】设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校，利用小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校和出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校列出方程组即可求解． 【详解】解：设小北每小时骑行x千米，骑行y千米到达学校， 由题意可得， 解得， 答：小北需要骑行5千米到达学校． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出题目的等量关系是解题的关键． 9．（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？ 【答案】甲、乙两组每天个各生产700、800个产品 【分析】设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又各自生产了7天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组各自生产5天，则乙组比甲组多生产200个产品两个等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产x、y个产品，根据题意得： 解得： 答：甲、乙两组每天个各生产700、800个产品． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤，抓住等量关系是解题关键． 10．六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 解：设钢笔每支x元，笔记本每本y元． 由题意得： 解得： 答：钢笔每支5元，笔记本每本3元． 11．（2023·上海市延安初级中学期末）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况． 销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元） 中杯 大杯 第一天 20 30 690 第二天 25 25 675 (1)根据表格数据，这款奶茶中杯和大杯的销售单价各是多少元？ (2)已知这款奶茶中杯成本3元/杯，大杯成本4元/杯，奶茶店每天最多供应200杯奶茶，如果奶茶店老板希望每天该款奶茶的利润不低于2000元，则至少需卖出多少杯大杯奶茶？ 【答案】(1)这杯奶茶中杯和大杯的销售单价分别为12元，15元 (2)至少需卖出100杯大杯奶茶 【解析】 【分析】 （1）根据题意列出二元一次方程组； （2）根据题意列出不等式． (1) 解：设这款奶茶中杯的销售单价为x元，大杯的销售单价为y元， 根据题意可得： 解得， 故这杯奶茶中杯和大杯的销售单价分别为12元，15元． (2) 解：设卖出m杯大杯奶茶， 则卖出杯中杯奶茶， 根据题意可得： ． 故至少需卖出100杯大杯奶茶． 【点睛】 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用；根据题意列出等量关系或不等关系建立方程或不等式是解题关键． 12．（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元． (1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 【答案】(1)玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元 (2)小瑞所带的钱还剩下31元 【分析】（1）设每支玫瑰x元，每支百合y元，利用总价=单价×数量，结合小瑞带的钱数不变，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出； (2)设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元，所以列方程 ，用含m的代数式解出x和y，又因为且一共只买8支玫瑰，所以剩下的钱为：m-8x即可求解； （1） 解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元． 由题意可得 解之得 答：玫瑰和百合单价分别是每支2.5元和每支9.5元． （2） 解：设玫瑰的单价是每支x元，百合单价是每支y元，因为小瑞带的钱为m元 所以有 ， 解得： ， 又因为且一共只买8支玫瑰， 所以剩下的钱为：m-8x=m- =31 （元） 答：小瑞所带的钱还剩下31元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 13．（2024·上海市静安区实验中学九年级专题练习）某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分需加价收费．已知小丽家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元．你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？ 【答案】三口之家在限定量以内的水费每吨1.8元，超过部分的水费每吨2.5元． 【分析】设三口之家在限定量以内的水费每吨元，超过部分的水费每吨元,由于4月的用水为24吨，那么4月的水费应该是20吨按每吨元收费，剩余4吨按每吨元收费，即，而5月用水29吨，那么5月的水费应该是20吨按每吨元收费，剩余9吨按每吨元收费，即，列出方程组求解即可； 【详解】解：设三口之家在限定量以内的水费每吨元，超过部分的水费每吨元 根据题意，得，解得： 三口之家在限定量以内的水费每吨1.8元，超过部分的水费每吨2.5元． 【点睛】本题主要结合梯度计价问题，考查二元一次方程组的实际应用，充分理解题意是解决本题的关键. 14．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 解：甲、乙两件服装的成本各是x元、y元． 由题意得： 解得： 答：甲、乙两件服装的成本各是300元、200元． 15．已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 解：设第一次邮购x件，第二次邮购y件． 根据题意，第一次每件付款为 10（1+10%）=11（元）， 第二次每件付款为 10×90%=9（元） 得 解得 答：第一次邮购80件，第二次邮购120件． 16．（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数． 【答案】12 【分析】设原数个位数为a，十位数为b，然后根据“个位上的数是十位上的数的2倍”和两数的关系列方程组求出a和b，最后求出原数即可． 【详解】解：设原数个位数为a，十位数为b 则有： ，解得 所以原数为10×1+2=12． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 17．某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套． 分析：由“某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽”得一等量关系： （1）生产螺栓的工人数 ＋ 生产螺帽的工人数 ＝ 28人 由“一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套”得另一个等量关系： （2）生产的螺栓的个数：生产的螺帽的个数＝ 1：2 解：设x人生产螺栓，y人生产螺帽． 由题意得 解得 答：12人生产螺栓，16人生产螺帽． 18．某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？ 解：设x人生产甲零件，y人生产乙零件． 由题意得 解得 答：35人生产甲零件，16人生产乙零件． 19．（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌． 【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可． 【详解】解：设用立方米的木料做桌子，用立方米的木料做椅子， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，方程组的解符合题意． 所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键． 20．（2023·上海市嘉定区金鹤学校期中）六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【解析】 【分析】 设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】 解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21．（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题： 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元 【分析】设小长方形的长为米，宽为米，则根据长方形的性质可列方程组 再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米 依题意得 解得 所以（元）． 答：每块小长方形的长为10米，宽为4米；要完成这块绿化工程预计材料花费75600元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据长方形的性质列出方程组是解本题的关键． 22．（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【答案】82 【详解】解：设小长方形长为x，宽为y。 依题意，得 解此方程组，得 所以S阴影＝22×（7＋3×3）－10×3×9＝82。 答：图中阴影部分的面积为82。 23．（2023·上海·华东政法大学附属中学期末）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众的欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分计算．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 速度y（千米/时） 里程数x（千米） 车费（元） 小明 60 8 12 小刚 50 10 16 (1)求p，q的值； (2)如果小华也用该打车方式，车速55千米/时，行驶了11千米，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】(1)p的值为1，q的值为 (2)小华的打车总费用为17元 【解析】 【分析】 （1）由题意得，打车的总费用= 里程数+ 行车的时间，根据表中的数据，可先算出两人分别的时间，再代入等量关系，列二元一次方程组进行解答即可； （2）根据题意，小花的里程数为11千米，则时间为12分，根据（1）中的数量关系代入计算即可． (1) ，， 则小明用时：     小刚用时： 由题意得 解得 所以， p的值为1，q的值为 ； (2) ，则小花用时： 由题意得， （元） 所以，小华的打车总费用为17元． 【点睛】 本题主要考查了列二元一次方程组的实际应用及代入求值，找准等量关系是解题的关键． 24．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元 (3)商店是打八折出售这两种商品的 【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可． （1） 根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物， 故答案是：三； （2） （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元； （3） 设商店是打m折出售这两种商品， 由题意得，， 解得：m=8． 答：商店是打八折出售这两种商品的． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 25．2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？ (2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案． 【答案】(1)3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨 (2)租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车 【分析】（1）设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可得出结论； （2）设租辆甲种货车，辆乙种货车，根据（1）求得的结果可列二元一次方程， 然后在讨论其整数解即可． (1) 解：设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨， 依题意，得：， 解得：， ∴（吨）． 答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货吨． (2) 设租辆甲种货车，辆乙种货车，依题意得： ， ∵欲租用这两种货车运送， ∴、都是整数， ∴，，， 答：租1辆甲种货车和7辆乙种货车，或租3辆甲种货车和4辆乙种货车，或租5辆甲种货车和1辆乙种货车． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，关键是找准等量关系，正确列出方程组或方程． 26．（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨 (2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可； （2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可． （1） 设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨． 根据题意得 解得． 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨． （2） 设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得 ，即， 又因为均为正整数， 所以或或， 所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆； 方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆． 方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）； 方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）； 方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）； 因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题19 二元一次方程组的应用 知识点一、实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点二、 二元一次方程组的应用 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示题目中的两个未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 题型1 和、差、倍、分问题 【例1】（2024·上海浦东新区·）为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练习簿和10支水笔，共花了36元．已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如果设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）某班共有学生49人，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，列出关于x，y的方程组为________________. 【例3】（浦东期末28）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人；男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人．求这个班级的学生人数． 题型2 行程问题 【例4】 甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。问甲、乙两人每小时各行多少千米？ 【例5】 在42千米的环形赛车跑道上，如果甲、乙两人同时同地相对而行，2小时首次相遇，如果甲、乙两人同时同地同向而行，乙需要14小时才能第一次追上甲，求甲、乙两人的平均速度各是多少？ 【例6】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）甲、乙两人同时绕400米的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2.5分钟可以相遇；如果他们同时从同一点同向而行，12.5分钟甲能追上乙．求甲、乙每人每分钟各走多少米？ 【例7】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）一艘轮船顺流从重庆到上海需5天，而逆流从上海到重庆要7天，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要________天． 【例8】“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 题型3 工程问题 【例9】（青浦期末25）某工厂准备义务为灾区加工600顶帐篷，并计划将这项任务交线甲、乙两个车间共同完成. 如果甲车间每天比乙车间多加工10顶，那么10天恰好完成任务.问：甲、乙两车间每天各加工多少顶帐篷？ 【例10】现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【例11】某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（    ） A．6台 B．7台 C．8台 D．9台 题型4 销售、利润问题 【例12】（金山2023期末27）开学初，小芳和小亮去文具店购买商品，小芳用18元买了1支钢笔和3本笔记本，小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本，求每支钢笔和笔记本的单价． 【例13】（松江2023期末27）班级组织有奖知识竞赛，班委会花100元购买了笔记本和水笔共29件作为班级奖品，已知每本笔记本的价格是5元，每支水笔的价格是2元，那么班委会购买了多少本笔记本、多少支水笔？ 【例14】甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为 元． 【例15】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组 ． 【例16】（普陀期末27）某网店经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，盈利率为60%；乙种商品每件售价60元，盈利率为50%. （1）甲各商品每件售价为 元，乙种商品每件进价为 元； （2）如果该网店同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，那么网店购进甲种商品多少件？ （3）“双十一”期间，网店搞八折促销活动，某顾客同时购买了甲、乙两种商品，实际付款400元，那么他购买了甲、乙两种商品各多少件？ 【例17】2023年的中秋节和国庆节恰逢同一周，为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，青岛市某商场在双节黄金周前投入13800元资金购进甲、乙两种水果共500箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该商场将甲种水果按成本价提高后标价，又以7折销售；乙种水果以标价的9折销售．若这500箱水果在双节黄金周结束后全部售完，则该商场可获得利润多少元？ 题型5 数字问题 【例18】（黄浦2023期末18）如果一个两位正整数交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为45，那么这个数可以是 ．（写出所有满足条件的数） 【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 题型6 配套问题 【例20】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）已知用6米铜管分别做2张桌子或3张椅子的框架，如有500米铜管可生产出几套桌椅（ ） A．150套 B．125套 C．100套 D．60套 【例21】（奉贤2023期末27）一家桌椅工厂共有28位工人，每人每天生产3张双人桌或8把单人椅，怎样分配工人，可以使一天生产的双人桌和单人椅配套？ 【例22】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）一家眼镜厂，有28个工人加工镜架和镜片，每人每天可加工镜架68副或镜片102副．为了使每天加工的镜架和镜片成套，应如何分配工种人数？ 题型7 分配问题 【例23】（2024·上海市静安区实验中学课时练习）某校运动员分组训练，若每组7人则余3人，若每组8人，则缺5人，设运动员的人数为人，组数为，则下列方程组正确的有（ ） A． B． C． D． 【例24】某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【例25】（浦东四署2019期末25）暑假快到了，王老师想让自己女儿的假期生活过得充实点，于是就花了14500元给女儿报了一个英语口语班和一个儿童绘画班，两门课程合计55课时. 英语口语一课时的学费是300元，儿童绘画一课时的学费是220元，问王老师给女儿分别报了多少课时的英语口语和多少课时的儿童绘画？ 【例26】（黄浦2023期末26）学校计划用1000元购买甲、乙、丙三种奖品，其价格如表． （注：1000元必须全部用完） （1）如果购买甲、乙、丙三种奖品的数量之比是2:3:4，问共可以买多少件奖品？ （2）如果总共需要购买48件奖品，且甲、乙两种奖品数量之比是2:5，问甲、乙、丙种奖品各购买多少件? 题型8 几何问题 【例27】在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ） A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2 【例28】如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 cm2． 【例29】如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和阴影部分无缝隙拼合而成的一个大长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【例30】某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等），做成如图2所示的A种与B种两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板180张，长方形纸板340张，刚好全部用完若设能做成x个A型盒子y个B型盒子则以下列出的方程组中正确的为（　　） A． B． C． D． 题型9 图表信息问题 【例31】下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．请将九年级课外兴趣小组活动次数填入表格． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 ___________ _____________ 【例32】宋代数学家杨辉称幻方为纵横图，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉在他的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．则的值是 ． 5 n 1 m 【例33】某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 题型10 方案问题 【例34】小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 【例35】（2023·上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表： 购票张数 1—40张 41—80张 80张以上 每张票的价格 60元 55元 50元 如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问： (1)甲、乙两班各有多少名同学？ (2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级设计一个最省钱的购票方案． 一、填空题 1．（2023·上海闵行·期末）如果两个数的和是17，它们的差是11，那么这两个数的积是 _____． 2．（2023··期中）一个两位数，个位数字和十位数字的和是13，如果将个位数字和十位数字对调后得到的新数比原数大27，则原来的两位数是_________． 3．（2023·上海九年级专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是钱，共同购买该物品的有人，根据题意，列出的方程组是__________． 二、解答题 4．某人买甲乙两种水果，甲种水果比乙种水果多买了3千克，共用去44元．已知甲种水果每千克3元， 乙种水果每千克4元．问这个人买了甲乙两种水果各多少千克？ 5．（2023·上海市第四中学期末）某学校学生乘车外出春游．若每辆汽车乘45人．则15人没有座位，若每辆汽车乘80人，则正好空出一辆汽车，问共有多少个学生？有几辆汽车？ 6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲乙二人分别从相距千米的A，两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么小时后两人还相距千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？ 7．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 8．（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）小北同学早晨骑车去上学，半小时可到达学校，妈妈发现他的数学书丢在家中，在小北出发小时后乘上出租车去学校送书，出租车每小时的速度比小北骑车的速度快20千米，由于市政建设，出租车到校行驶的路程比小北骑车行驶的路程多1千米，恰好与小北同时到达学校．求小北需要骑行多少千米到学校？ 9．（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产7天，则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了5天，则乙组比甲组多生产200个产品；求两组每天各生产多少个产品？ 10．六（3）班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长去商店买奖品，下面是班长与售货员的对话： 班长：阿姨，我只有100元，请帮给我买10支相同的钢笔和15本相同的笔记本． 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，还剩余5元给你． 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 11．（2023·上海市延安初级中学期末）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况． 销售情况 销售数量（单位：杯） 销售收入（单位：元） 中杯 大杯 第一天 20 30 690 第二天 25 25 675 (1)根据表格数据，这款奶茶中杯和大杯的销售单价各是多少元？ (2)已知这款奶茶中杯成本3元/杯，大杯成本4元/杯，奶茶店每天最多供应200杯奶茶，如果奶茶店老板希望每天该款奶茶的利润不低于2000元，则至少需卖出多少杯大杯奶茶？ 12．（2022·江苏南通·七年级期末）小瑞去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元． (1)若小瑞所带的钱是51元，请分别求出玫瑰和百合单价是多少元？ (2)若小瑞所带的钱是m元，且一共只买8支玫瑰，请直接写出小瑞所带的钱还剩下多少元？ 13．（2024·上海市静安区实验中学九年级专题练习）某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分需加价收费．已知小丽家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元．你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？ 14．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？ 15．已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司两次共邮购这种商品200件，其中第一次的数量不满100件（第二次超过），两次邮购总计付款1960元，问第一次、第二次分别邮购多少件？ 16．（2022·甘肃·高台县第三中学八年级期末）一个两位数，其个位上的数是十位上的数的2倍，若交换一下位置，所得新的两位数比原两位数大9，求原两位数． 17．某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套． 18．某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？ 19．（2022·山东菏泽·七年级期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 20．（2023·上海市嘉定区金鹤学校期中）六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为4：3，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 21．（2022·安徽淮南·七年级期末）列二元一次方程组解应用题： 某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算每块小长方形的长和宽；要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 22．（2022·全国·七年级课前预习）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 23．（2023·上海·华东政法大学附属中学期末）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众的欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分计算．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 速度y（千米/时） 里程数x（千米） 车费（元） 小明 60 8 12 小刚 50 10 16 (1)求p，q的值； (2)如果小华也用该打车方式，车速55千米/时，行驶了11千米，那么小华的打车总费用为多少？ 24．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量（个） 购买商品B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 8 16 1440 第二次购物 7 15 1314 第三次购物 9 17 1252.8 (1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物； (2)求出商品A、B的标价； (3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 25．2022·广东珠海·七年级期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货12吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货27吨． (1)3辆大货车和5辆小货车一次可以运货多少吨？ (2)现有17吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，请列出所有的运输方案． 26．（2022·黑龙江·桦南县第三中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$