培优课程18：二元一次方程组的解法 -培优课程讲义---2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题18 二元一次方程组的解法 知识点一、二元一次方程组的概念 1．定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 要点： （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 2. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 要点： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 要点： 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 题型1：二元一次方程组的概念 【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义（方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，此项不符题意； B、方程组是二元一次方程组，此项符合题意； C、方程组中项的次数是2，不是二元一次方程组，此项不符题意； D、方程组中项的次数是2，不是二元一次方程组，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟记定义是解题关键． 【例2】已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据二元一次方程组的定义得且，即可求解； 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴且，， ∴． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键． 【跟踪训练】 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 2．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型2：二元一次方程组的解 【例3】如果是方程组的解，那么______，______． 【答案】          【分析】将代入方程组，解方程组即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程组得：， 解得， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义（一般地，使二元一次方程组中两个方程的两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解）是解题关键． 【跟踪训练】 1．下列方组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【解析】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 2．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的方法，把方程组的解代入方程组，解关于的方程组，即可求出的值． 【解析】解：根据题意可得， 即， 两个方程相减得到, 把代入可得, 故选：． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的特殊解法，先代入方程组的解可得，再把两个方程相加即可． 【解析】解：由题意得：， 得：， 故选：A． 题型3：二元一次方程组的解法（代入消元法） 【例4】解方程组: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得，解得的值，进而求得的值即可 （2）利用加减消元法，将方程②×2，得③，然后与方程①相减即可求得y的值进而将y的值代入方程②求得x的值即可． （1） 解： 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴原方程组的解为； （2） 解： ②×2，得 ③ ①－③，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键． 【例5】解方程组： (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键． （1）根据代入法解二元一次方程组， （2）根据加减法解二元一次方程组即可求解． （2）解：， 得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【跟踪训练】 1．解方程组：(1)； （2） (3)． 【解析】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 故方程组的解为； （2）【详解】解：由①－②得， ∴ 把代入②，得 ∴ ∴原方程组的解为． （3）解：， 得，，解得，， 将代入①式得，，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型4：二元一次方程组的解法（加减消元法） 【例6】用适当的方法解下列方程组： (1)(2)(3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）根据代入消元法的步骤求解即可； （4）根据加减消元法的步骤求解即可； （1） 解：， 由②-①，得：， 将代入①，得：， 解得：， 故原方程组的解为：； （2） 解： 由3×①-②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 故原方程组的解为：； （3） 解： 由②得：， 将③代入①，得：， 解得：， 将代入③，得：， 故原方程组的解为：； （4） 解： 由3×①-2×②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 故原方程组的解为：； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法解方程组的步骤是解题关键． 【例7】解方程组： 【答案】 【分析】直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解： ①+②得，，解得， 把代入①得，，解得， 所以，方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解方程组常用的代入消元法和加减消元法． 【例8】解方程组： 【答案】 【分析】此题运用加减消元法求出方程组的解即可． 【详解】解： ①×8-②×7，得： ∴ 把代入①得， ∴ ∴方程组的解为 【点睛】此题主要考查了运用加减消元法解二元一次方程组，解二元一次方程组的方法有：代入消元法和加减消元法，基本思想是“消元”，要熟练掌握，注意加减消元法的运用． 【跟踪训练】 1．解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用代入法解方程组； （2）利用加减法解方程组； （3）利用代入法解方程组； （4）先将方程组化简，再利用加减法解方程组． （1） 解：， 将①代入②，得6x+2x=8， 解得x=1， 将x=1代入①，得y=2， ∴方程组的解为； （2） ， ①+②得，2x=8， 解得x=4， 将x=4代入①，得4+3y=7， 解得y=1， ∴方程组的解为； （3） ， 由①得，x=3y-2③， 将③代入②得，2（3y-2）+y=3， 解得y=1， 将y=1代入③，得x=3-2=1， ∴方程组的解为； （4） 将原方程组化简为， ①+②×5，得17m=85， 解得m=5， 将m=5代入②，得15+n=13， 解得n=-2， ∴方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键． 2．解方程组 (1) (2) (2) （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键. (2) （2）， 得， 解得， 把代入①得 故方程组的解为． 3．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先整理方程组，再用加减消元法进行求解； （2）先整理方程，再用加减消元法进行求解． （1） 解：整理得： ①+②得：4y=16， y=4 把y=4代入①得：3x-4=5 x=3 ∴原方程组的解为：． （2） 解：整理得： ①-②得：5y=5 y=1 把y=1代入①得：x+7=2 x=-5 ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，正确地将方程组进行整理以及熟练掌握消元的思想是解题的关键． 题型5：构建二元一次方程组 【例9】如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（  ） A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0 【答案】D 【分析】根据相反数的意义可得关于x、y的二元一次方程，继而根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】∵(x+y-5)2与│3y-2x+10│互为相反数， ∴(x+y-5)2+│3y-2x+10│=0， ∴， 解得， 故选D. 【点睛】本题考查了相反数的意义，非负数的性质，解二元一次方程组等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【跟踪训练】 1．已知，当时，；当时，． （1）求，的值； （2）当取何值时，的值为？ 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）根据已知条件列出等式计算即可； 【详解】（1）由题意可得，， 可得：； （2）由（1）得， ∵的值为， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的综合，准确计算是解题的关键． 题型6：二元一次方程组与二元一次方程的综合求值 【例10】若关于,的二元一次方程组的解满足,则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加减法，先用含k的代数式表示出x+y，根据x+y=7，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【详解】解： （1）×2+（2），得3x+3y=12k-3， ∴x+y=4k-1， ∴4k-1=7，解得k=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x+y． 【跟踪训练】 1．关于x,y的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是(     ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先解方程组用含m的代数式表示出x，y后，代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20，可得到关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解方程组得 把x，y代入二元一次方程x＋3y＋7m＝20得 ＋7m＝20 解得m＝2， 故选A. 【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键. 2．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程-y=4，求m的值． 【答案】-12 【分析】先解方程组得，再将代入-y=4求解即可. 【详解】解：， ②+①×2得：7x=14m， 解得：x=2m， 把x=2m代入①得：4m+y=5m， 解得：y=m， ∴方程组的解为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程-y=4， ∴-m=4， 解得：m=-12． 【点睛】本题考查了含参的二元一次方程组的解，将参量当成已知数进行计算，表示出未知数，求出方程的解是解题关键. 题型7： 根据两个二元一次方程组解的情况求值 【例11】关于、的方程组与有相同的解，则______． 【答案】 【分析】联立方程组求出，，将，代入剩余方程求出，即可． 【详解】解：联立得：， 解得， 把代入剩余方程得：， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解二元一次方程组的步骤． 【跟踪训练】 1．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为_____. 【答案】2 【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-b）20018的值． 【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则 ， 解得：， 把代入得：； ∴原式=120018+(−×10)20018=1+1=2． 故答案为2 【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算． 2．已知方程组的解也是方程组的解求的值． 【答案】 【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案． 【详解】① ②，①×（-5）－②得，，解得， 把代入①得，，解得， 所以方程组的解是， 把代入方程组，得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组． 题型8：二元一次方程组的错解复原问题 【例12】小明和小文解一个二元一次方程组，小明正确解得，小文抄错了，解得，已知小文抄错了外没有发生其他错误，则＝______． 【答案】7 【分析】把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】把代入，得c+3=-2， 解得：c=-5， 把与分别代入ax+by=2，得， 解得：， 则==7． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【跟踪训练】 1．甲、乙二人解同一个方程组甲因看错①中的a得解为乙因看错了②中的b解得求a，b的值. 【答案】a=2，b=5. 【分析】把x＝6，y＝7代入方程②可求出b，把x＝1，y＝5代入方程①可求出a. 【详解】把代入②，得，． 把代入①，得，. 【点睛】本题考查了方程组解的定义，根据条件得到关于a，b的方程是关键． 2．甲、乙二人同时解一个方程组，甲解得，乙解得.甲仅因为看错了方程(1)中的系数，乙仅因为看错了方程(2)中的系数，求方程组正确的解. 【答案】. 【分析】由题意可求出a与b的值，然后代回原方程组中即可求出方程组的解． 【详解】解：根据题意可知： 解得：， 把a=-3，b=5分别代入原方程组，得 解得：. 【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 一、选择题 1．（2023春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得． 【解答】解：A：方程组含有x2，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； B：方程组含有xy二次，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C：方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； D是二元一次方程组． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 2.（2023徐汇期末14）二元一次方程组的解是（ ） A.； B. ； C. ； D. . 【答案】C 【解析】解：，由①+②得，将代入①得，，所以原方程组的解为，故答案选C. 3．（2024·上海市静安区实验中学课时练习）若，则的值是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】方程组中两方程相减可得出结果． 【详解】解：，①-②得，-x+y=1，即y-x=1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握基本运算法则是解题的关键． 4．（2011·上海全国·专题练习）由方程组，可得出x与y的关系是( ) A．x+y=1 B．x+y=-1 C．x+y=7 D．x+y=-7 【答案】C 【分析】将两个方程相加即可得到结论. 【详解】 由①+②得：x+y=7. 故选C. 【点睛】考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 5．以下解方程组的步骤正确的是（    ） A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得 C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键．利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案． 【解析】解：A、代入法消去m，由①得，故符合题意； B、代入法消去n，由②得，故不符合题意； C、加减法消去n，得，故不符合题意； D、加减法消去m，得，故不符合题意； 故选A． 6．用代入消元法解方程组比较合理的变形是（    ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】D 【解析】略 二、填空题 7．（2023春•浦东新区期末）将x+2y＝4变形成用含x的式子表示y，那么y＝　2﹣x　． 【分析】利用等式的性质将等式进行变形求解． 【解答】解：x+2y＝4， 移项，得：2y＝4﹣x， ∴y＝， 故答案为：2﹣x． 【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 8．（2023•闵行区二模）二元一次方程组的解是　　． 【分析】利用加减消元法即可求解． 【解答】解：， ①+②，得4x＝20，解得x＝5， 把x＝5代入②，得5﹣2y＝5，解得y＝0， 故方程组的解为． 故答案为：． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9．（2024·上海市静安区实验中学课时练习）已知方程组，则_______． 【答案】32 【分析】方程组两方程相加可先求出x+y的值，从而可求出8x+8y的值． 【详解】解：， ①+②得，9x+9y=36， ∴9(x+y)=36，∴x+y=4， ∴8x+8y=8（x+y）=32． 故答案为：32． 【点睛】此题考查了加减消元法，利用了整体思想是解本题的关键． 10．（2024·上海市静安区实验中学课时练习）用加减法解方程组时，若先求出的值，则应将两个方程_______；若先求出的值，则应将两方程______． 【答案】相加 相减 【分析】根据方程组中两个方程x、y的系数特点：含x的项系数相同，含y的项系数互为相反数，求x两式相加消去y，求y两式相减消去x． 【详解】解：∵方程组中的两个方程，含x的项系数相同，含y的项系数互为相反数， ∴求x的值，应将两个方程相加，消去y， 求y的值，应将两个方程相减，消去x． 故答案为：相加；相减． 【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组的一般方法，需要熟练掌握． 11．（2024·上海市静安区实验中学课时练习）若，则_________． 【答案】-6 【分析】先根据加减消元法求出方程组的解，再将x，y的值代入即可得出结果． 【详解】解：， 由①×5得：10x+15y=20③， 由②×3得：12x-15y=-42④， ③+④得：22x=-22，解得x=-1， 把x=-1代入①得：-2+3y=4，解得y=2， ∴原方程组的解是，∴8x+y=-8+2=-6．故答案为：-6． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及代数式的求值，掌握基本运算法则是解题的关键． 12.（宝山2023期末9） 如果是方程组的解，那么 . 【答案】； 【解析】将代入方程组得. 13．（浦东四署2019期末9）若，则= . 【答案】3； 【解析】解：，由①－②×3得b=1，将b=1代入②得a=2，故. 14．（上海·专题练习）若方程组的解与的和为0，则的值为（ ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】C 【详解】解关于x、y的方程组，x，y即可用m表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于m的方程，从而求得k的值． 解答：解：解方程得： 根据题意得：（2m-6）+（4-m）=0 解得：m=2 故选C． 15．（2023春•松江区期末）在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 　　． 【分析】根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可． 【解答】解：∵x和y是相反数， ∴x＝﹣y， 把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12， 解得：y＝﹣6， ∴x＝6， ∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键． 16．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　　． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简为二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出所求式子的值． 【解答】解：根据题中的新定义得：， 解得：， 则1*2＝1×2+2×1＝2+2＝4， 故答案为：4 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题 17．（2024春•普陀区期末）解方程组：． 【分析】利用加减消元法求解可得． 【解答】解：， ①×2，得：2x﹣2y＝2 ③， ②+③，得：5x＝7， 解得x＝， 将x＝代入①，得：﹣y＝1， 解得y＝， 所以方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18．（2023春•浦东新区期末）解方程组：． 【分析】①+②×2得出7x＝10，求出x，再把x＝代入②求出y即可． 【解答】解：， ①+②×2，得7x＝10， 解得：x＝， 把x＝代入②，得+y＝2， 解得：y＝﹣， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 19．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）解方程组： 【答案】. 【分析】①×2+2可求出x=1，将x=1代入①可求出y. 【详解】解：， ①×2+2得：11x=11，解得：x=1， 将x=1代入①得：4+y=5，解得：y=1， 所以方程组的解为：. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题关键. 20.（金山2023期末23）解方程组：. 【答案】； 【解析】解：由①式去括号移项，得③，由②-③，得，将代入②，得，故原方程组的解为. 21.（宝山2023期末25）解方程组：. 【答案】； 【解析】解：，由②×2+①得，， 解得，，将代入②得， ，所以原方程组的解为. 22．（松江2023期末23）解方程组： 【答案】； 【解析】解法1：+②得，求出， 把代入得 求出， 所以原方程组的解为. 解法2：由得③，把③代入②得，整理得，解得，把代入③得 ，所以原方程组的解为. 23．（浦东四署2019期末21）解方程组. 【答案】； 【解析】解：，由①－②得：，将y=1代入①得：， 所以原方程组的解为. 24．（浦东2023期末23）解方程组：. 【答案】； 【解析】解：由①＋②，得，所以即．把代入①，得． 所以，原方程组的解是. 25．（2023春•嘉定区期末）解方程组：． 【分析】方程组利用加减消元法求解． 【解答】解：， ①×2+②可得：5x﹣7＝0， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组的方法，解题的关键是用加减消元法． 26．（2019春•浦东新区期末）解方程组：． 【分析】根据题干，先把第一个方程变形为x＝3y+5，再把这个x代入第二个方程，即可消去未知数x，从而求出y的值，再把求得的y的值代入x＝3y+5，求出x的值即可． 【解答】解： 方程①变形为：x＝3y+5③， 把方程③代入②可得：3（3y+5）+4y﹣2＝0， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③可得：x＝2， 则这个方程组的解是． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 27．（2023春•浦东新区期末）解方程组： 【分析】根据二元一次方程组即可求出答案． 【解答】解：①+②得：9x﹣33＝0 x＝ 把x＝代入①，得y＝ ∴方程组的解是 【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 28．解方程组时，由于粗心，小马虎把看错而得到，已知该方程组的正确解是．求值． 【答案】，，． 【分析】先将两组解代入原方程组的第二个方程可得一个关于b、c的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出b、c的值，然后将原方程组的正确解代入原方程组的第一个方程可求出a的值． 【解析】将代入方程得 将代入方程得 联立可得方程组 ①②得 解得 将代入①得 解得 将代入原方程组的第一个方程得 将代入得 解得 故，，． 【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，依据题意，得出一个关于b、c的方程组是解题关键． 29．（2023春·上海杨浦·六年级校考期末）甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． （1）求与的值； （2）求的值． 【答案】（1）；；（2）0． 【分析】（1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立即可求出a与b的值； （2）将a与b的值代入求出所求式子的值． 【详解】解：（1）根据题意，将代入②， 得：； 即； 将代入①， 得：， 即； （2）． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 30．（2023春•姑苏区期末）阅读以下内容： 已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值， 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学：先解方程组，再求k的值 （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题 （2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变． 【分析】（1）①+②可得17（m+n）＝11k﹣3，因为m+n＝5，整体代入求出k即可； （2）①×3+②消去a即可判断； 【解答】解：（1）， ①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3， ∵m+n＝5， ∴17×5＝11k﹣3 解得k＝8． （2） ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴不论a取什么实数，x+y的值始终不变． 【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题18 二元一次方程组的解法 知识点一、二元一次方程组的概念 1．定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 2. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 知识点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 题型1：二元一次方程组的概念 【例1】（2024春·上海静安·六年级校考期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2022春•开福区月考）已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【跟踪训练】 1．（2024春·上海松江·六年级统考期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A．B．C． D． 2．（2024·上海·六年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型2：二元一次方程组的解 【例3】（2024上海静安·六年级期末）如果是方程组的解，那么______，______． 【跟踪训练】 1．下列方组中，解为的方程组是（    ） A．B．C． D． 2．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（　　） A． B． C． D． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．7 B．5 C．4 D．3 题型3：二元一次方程组的解法（代入消元法） 【例4】解方程组: (1) (2) 【例5】解方程组：． 【跟踪训练】 1．解方程组：(1)； （2） (3)． 题型4：二元一次方程组的解法（加减消元法） 【例6】用适当的方法解下列方程组： (1)(2)(3) (4) 【例7】解方程组： 【例8】解方程组： 【跟踪训练】 1．（2023市北中学课时练习）解方程组 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解方程组 (1) (2) 3．解下列方程组： (1) (2) 题型5：构建二元一次方程组 【例9】如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（  ） A．x=3，y=2 B．x=2，y=3 C．x=0，y=5 D．x=5，y=0 【跟踪训练】 1．已知，当时，；当时，． （1）求，的值； （2）当取何值时，的值为？ 题型6：二元一次方程组与二元一次方程的综合求值 【例10】若关于,的二元一次方程组的解满足,则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．关于x,y的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是(     ) A．2 B．1 C．0 D． 2．（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程-y=4，求m的值． 题型7： 根据两个二元一次方程组解的情况求值 【例11】关于、的方程组与有相同的解，则______． 【跟踪训练】 1．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同．则的值为_____. 2．已知方程组的解也是方程组的解求的值． 题型8：二元一次方程组的错解复原问题 【例12】小明和小文解一个二元一次方程组，小明正确解得，小文抄错了，解得，已知小文抄错了外没有发生其他错误，则＝______． 【跟踪训练】 1．甲、乙二人解同一个方程组甲因看错①中的a得解为乙因看错了②中的b解得求a，b的值. 2．甲、乙二人同时解一个方程组，甲解得，乙解得.甲仅因为看错了方程(1)中的系数，乙仅因为看错了方程(2)中的系数，求方程组正确的解. 一、选择题 1．（2024春•金山区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2.（2023徐汇期末14）二元一次方程组的解是（ ） A.； B. ； C. ； D. . 3．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若，则的值是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（2011·上海全国·专题练习）由方程组，可得出x与y的关系是( ) A．x+y=1 B．x+y=-1 C．x+y=7 D．x+y=-7 5．以下解方程组的步骤正确的是（    ） A．代入法消去m，由①得 B．代入法消去n，由②得 C．加减法消去n，得 D．加减法消去m，得 6．用代入消元法解方程组比较合理的变形是（    ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 二、填空题 7．（2024春•浦东新区期末）将x+2y＝4变形成用含x的式子表示y，那么y＝　　． 8．（2024•闵行区二模）二元一次方程组的解是　　． 9．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）已知方程组，则_______． 10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）用加减法解方程组时，若先求出的值，则应将两个方程_______；若先求出的值，则应将两方程______． 11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若，则_________． 12.（宝山2023期末9） 如果是方程组的解，那么 . 13．（浦东四署2019期末9）若，则= . 14．（上海·专题练习）若方程组的解与的和为0，则的值为（ ） A．－2 B．0 C．2 D．4 15．（2024春•松江区期末）在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是 　　． 16．（2016•浦东新区二模）定义运算“*”：规定x*y＝ax+by（其中a、b为常数），若1*1＝3，1*（﹣1）＝1，则1*2＝　． 三、解答题 17．（2020春•普陀区期末）解方程组：． 18．（2024春•浦东新区期末）解方程组：． 19．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）解方程组： 20.（金山2023期末23）解方程组：. 21.（宝山2023期末25）解方程组：. 22．（松江2023期末23）解方程组： 23．（浦东四署2019期末21）解方程组. 24．（浦东2023期末23）解方程组：. 25．（2024春•嘉定区期末）解方程组：． 26．（2019春•浦东新区期末）解方程组：． 27．（2023春•浦东新区期末）解方程组： 28．解方程组时，由于粗心，小马虎把看错而得到，已知该方程组的正确解是．求值． 29．（2024春·上海杨浦·六年级校考期末）甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． （1）求与的值； （2）求的值． 30．（2024春•姑苏区期末）阅读以下内容： 已知实数m，n满足m+n＝5，且求k的值， 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学：先解方程组，再求k的值 （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题 （2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，x+y的值始终不变． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$