培优课程17：认识二元一次方程组 培优课程讲义----2024—2025学年 沪教版（五四制）数学六年级下册

上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题17 认识二元一次方程组 知识点1. 二元一次方程的概念 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点3、二元一次方程组的概念 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 题型1：二元一次方程的概念 【例1】（2023春·上海金山·六年级校考期末）下列方程中，二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022建平中学七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____． 【跟踪训练】 1．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）已知下列各式：①+y=2，②2x－3y=5，③x+xy=2，④x+y=z－1，⑤=，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m满足（    ） A． B． C． D． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（　　） A． B． C． D． 题型2：二元一次方程的解 【例3】（2022春·上海崇明·六年级校考期中）若是关于x，y的方程ax+y＝5的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程x+by=-1的两组解是和，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值． 【跟踪训练】 1．（2022春·上海·六年级校考阶段练习）已知 是方程的一个解， 那么的值是（    ）． A．1 B．3 C．－3 D．－1 2．（2022春·上海·六年级校考阶段练习）一个二元一次方程的一个解是，这个二元一次方程可以是　　．（只要写出一个符合条件的方程即可）． 3．若是二元一次方程的一个解，则的值是（　　） A． B． C．2 D．6 3．（2022·闵行七年级期末）已知是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 题型3：二元一次方程化为用含x的代数式表示y 【例5】（2023春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）在方程x－3y＝4中，用含x的代数式表示y，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）将方程2x+y﹣1＝0变形为用含有y的式子表示x，则x＝__________________． 2．（2023·上海·六年级期末）如果将方程变形为用含的式子表示，那么_______． 题型4：二元一次方程的整数解 【例6】（2022春·上海嘉定·六年级校考期中）方程2x+y=8的正整数解有（ ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【例7】（2023春·上海静安·六年级校考期末）二元一次方程的非负整数解是______． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海浦东新·六年级校考期末）二元一次方程2x＋3y＝14的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 2．（2023春·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期末）已知正整数x、y满足，则______． 3．（2023春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）写出二元一次方程的所有非负整数解______． 4．（2023春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）二元一次方程x+2y=5的正整数解为___ 题型5：二元一次方程组的概念 【例8】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例9】（2022春•开福区月考）已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【跟踪训练】 1.（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 题型6：二元一次方程组的解 【例10】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于，的方程组的解是，则的值是（      ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组的解为，则a＋b的值为 ． 题型7：综合拓展 【例11】（2023秋·上海嘉定·六年级统考期末）一个长方形的周长为厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是______平方厘米． 【例12】（2023春·六年级校考课时练习）下列叙述正确的是（   ） A．由于方程x+y=6有无数个解，所以任何的一对x、y的值都是该方程的解 B．是二元一次方程x-3y=8的一个解 C．二元一次方程x-3y=8的解集是 D．方程x=y不是二元一次方程 一、选择题 1.（金山2024期末1）下列方程中是二元一次方程的是（ ） （A）； （B）； （C）；　 （D） 2.（浦东四署2024期末3）下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（ ） A. ； B.； C. ； D. . 3.（普陀2024期末1）下列方程中，二元一次方程是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 4．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）下列叙述正确的是（ ） A．由于方程x+y=6有无数个解，所以任何的一对x、y的值都是该方程的解 B．是二元一次方程x-3y=8的一个解 C．二元一次方程x-3y=8的解集是 D．方程x=y不是二元一次方程 5．（2024·上海民办华二浦东实验学校月考）方程的自然数解的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．下列万程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 二、填空题 7.（青浦期末12）二元一次方程的正整数解是 . 8．（浦东2024期末11）将方程变形为用含的式子表示是 ． 9.（浦东四署2024期末14）若是关于x、y的二元一次方程的解，则m= . 10.（金山2024期末13）将方程变形为用含的式子表示，那么= . 11.（宝山2024期末8） 将方程变形为用含的式子表示，则 . 12. （普陀2024期末13）如果将等式变形为用含的式子表示，那么所得新等式是 . 13.（金山2024期末11）如果是方程的一个解，那么实数 . 14．（黄浦2024期末12）将方程变形为用含x的式子表示y为 ． 15．（松江2024期末5）将方程变形为用含的式子表示,那么______________. 16.（浦东四署2024期末13）将方程写成用含x的代数式表示y，则= . 17．（松江2024期末6）已知 是方程的一个解，那么__________. 18.．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）下列方程①x+y； ②； ③3x+1=8y+；④xy=5 ；⑤x+=5中，是二元一次方程的是_________(只填序号)． 19．（2023·上海市静安区实验中学九年级专题练习）二元一次方程2x+y=4的非负整数解有_____________组． 20．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个． 21．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）将方程5x+2y=11变形为用含x的式子表示y，________． 22．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）若是二元一次方程，则m=_____n=______． 23．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）若方程ax+(b-1)y=3是关于x和y的二元一次方程，则a_____，b______． 三、解答题 24．（2023·上海市静安区实验中学课时练习）将方程3x-2y=25变形为用含y的式子表示x，并分别求出当y=-4，y=7，y=时相应的x的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海初中六年级数学新教材第9章二元一次方程组（培优课程） 专题17 认识二元一次方程组 知识点1. 二元一次方程的概念 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点3、二元一次方程组的概念 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 题型1：二元一次方程的概念 【例1】（2023春·上海金山·六年级校考期末）下列方程中，二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程，故本选项符合题意； C、是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是二元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数均为1次的整式方程是解题的关键． 【例2】（2022建平中学七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义：有2个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，得出的等量关系，解出答案即可． 【详解】解：由题意得， ，， ∴，， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握并理解二元一次方程的定义是解本题的关键． 【跟踪训练】 1．（2022春·上海崇明·六年级校考期中）已知下列各式：①+y=2，②2x－3y=5，③x+xy=2，④x+y=z－1，⑤=，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：①+y=2不是二元一次方程； ②2x－3y=5是二元一次方程； ③x+xy=2是二元二次方程，不是二元一次方程； ④x+y=z－1是三元一次方程，不是二元一次方程； ⑤=是一元一次方程，不是二元一次方程； 故二元一次方程有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的判定，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 2．下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①属于二元一次方程，故符合题意； ②中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意； ③中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意； ④属于二元一次方程，故符合题意； ⑤中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意； ⑥中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意； 故其中二元一次方程有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题关键．根据二元一次方程的定义即可得． 【解析】解：方程可化为， 方程是关于的二元一次方程， ， 解得， 故选：C． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．据此进行解答即可． 【解析】解：是关于，的二元一次方程， ，， 解得：． 故选：D． 题型2：二元一次方程的解 【例3】（2022春·上海崇明·六年级校考期中）若是关于x，y的方程ax+y＝5的解，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把x＝2，y＝1代入方程得出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：∵是关于x、y的方程ax+y＝5的解， ∴2a+1＝5， 解得：a＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知方程解的定义是解题的关键． 【例4】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程x+by=-1的两组解是和，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值． 【答案】-23 【分析】根据题意把两组解代入组成一个新的二元一次方程组，然后求出a、b的值，代入含有a、b的代数式求解即可 【详解】解：将 和 代入x+by=-1， 得， 解得 ． ∴（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）=（4﹣3）×[44﹣2×42×（﹣3）2+（﹣3）2]=﹣23． 【点睛】二元一次方程组的解法是本题的考点，熟练掌握其知识根据已知条件转换成二元一次方程组是解题的关键. 【跟踪训练】 1．（2022春·上海·六年级校考阶段练习）已知 是方程的一个解， 那么的值是（    ）． A．1 B．3 C．－3 D．－1 【答案】A 【分析】把x=1，y=-1代入方程2x-ay=3中，解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：把x=1，y=-1代入方程2x-ay=3中，得： 2×1-a×（-1）=3， 2+a=3， a=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，对方程解的理解，直接代入方程求值即可． 2．（2022春·上海·六年级校考阶段练习）一个二元一次方程的一个解是，这个二元一次方程可以是　　．（只要写出一个符合条件的方程即可）． 【答案】x+y=1（答案不唯一） 【详解】解：x+y=1的一个解为：， 故答案是：x+y=1（答案不唯一） 3．若是二元一次方程的一个解，则的值是（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．根据二元一次方程组的解的定义得出得出，整体代入即可求解． 【解析】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2022·闵行七年级期末）已知是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】把代入二元一次方程求解即可得到答案； 【详解】把代入二元一次方程得到： ， 即：，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，掌握二元一次方程的解使该方程等号两边成立是解题的关键． 题型3：二元一次方程化为用含x的代数式表示y 【例5】（2023春·上海浦东新·六年级上海市建平中学西校校考期末）在方程x－3y＝4中，用含x的代数式表示y，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，移项、系数化为1，可得答案． 【详解】可化为：， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程的知识，利用移项、系数化为1解题是关键． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海奉贤·六年级校联考期末）将方程2x+y﹣1＝0变形为用含有y的式子表示x，则x＝__________________． 【答案】 【分析】将y看作已知数求出x即可． 【详解】解：2x+y﹣1＝0 2x＝1-y， x＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，先用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，本题即是将y看作已知数求出x． 2．（2023·上海·六年级期末）如果将方程变形为用含的式子表示，那么_______． 【答案】 【分析】先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：移项，得：， 方程两边同时除以，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，将x看作常数，把y看做未知数，灵活应用等式的性质求解是关键． 题型4：二元一次方程的整数解 【例6】（2022春·上海嘉定·六年级校考期中）方程2x+y=8的正整数解有（ ）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】由于二元一次方程2x+y=8中y的系数是1，可先用含x的代数式表示y，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数x=1代入，算出对应的y的值，再把x=2代入，再算出对应的y的值，依此可以求出结果． 【详解】解：∵2x+y=8， ∴y=8-2x， ∵x、y都是正整数， ∴x=1时，y=6； x=2时，y=4； x=3时，y=2． ∴二元一次方程2x+y=8的正整数解有或或，共3组， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的正整数解，即此方程中两个未知数的值都是正整数，这是解答本题的关键．注意最小的正整数是1． 【例7】（2023春·上海静安·六年级校考期末）二元一次方程的非负整数解是______． 【答案】， 【分析】利用二元一次方程的解的概念，进行列举即可． 【详解】，则非负整数解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解的应用，根据题中条件进行列举是解题的关键． 【跟踪训练】 1．（2023春·上海浦东新·六年级校考期末）二元一次方程2x＋3y＝14的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 【答案】B 【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解． 【详解】解：2x＋3y＝14， 解得：y=， ∵方程的解为正整数， ∴当x=1时，y=4；当x=4时，y=2； 故正整数解共有2组， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y． 2．（2023春·上海浦东新·六年级上海中学东校校考期末）已知正整数x、y满足，则______． 【答案】9或5 【详解】解：∵，x，y为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或5． 故答案为9或5 【点睛】此题考查正整数概念，大于零的整数；方程的解：代入方程可以使等式成立；列出方程的解是解题的关键． 3．（2023春·上海·六年级上海市南洋模范初级中学校考期末）写出二元一次方程的所有非负整数解______． 【答案】，， 【分析】首先用y表示出x，然后根据x、y均为非负整数，来判断x、y的取值． 【详解】由，得， x，y都是非负整数， ，1，2，3，4，5，6相应的，，，2，，，0， 故符合题意的有：，， 故答案为：，， 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，比较简单，但要注意不重不漏． 4．（2023春·上海浦东新·六年级上海市进才中学北校校考期末）二元一次方程x+2y=5的正整数解为___ 【答案】； 【详解】试题分析：先对原方程移项，可得x=5-2y，然后分别让y=1，y=2可求得x=3或x=1，即原方程的正整数解为：. 题型5：二元一次方程组的概念 【例8】（2023·上海·七年级期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 【例9】（2022春•开福区月考）已知方程组是二元一次方程组，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据二元一次方程组的定义得且，即可求解； 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴且，， ∴． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，掌握相关定义是解题的关键． 【跟踪训练】 1.（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意； ②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 题型6：二元一次方程组的解 【例10】（2023春·四川南充·七年级校考期末）关于，的方程组的解是，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把与的值代入方程计算求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程组得：， 解得：，， 则原式， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和绝对值，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【跟踪训练】 1．（2023春·浙江嘉兴·七年级统考期末）若二元一次方程组的解为，则a＋b的值为 ． 【答案】-4035 【分析】方程组的两个方程相加，即可得出x+y=-4035，代入求出即可． 【详解】解：， ①+②得：x+y=-4035， ∵二元一次方程组的解为， ∴a+b=-4035， 故答案为：-4035． 【点睛】题考查了解二元一次方程组和二次一次方程组的解，能选择适当的方法解二元一次方程组是解此题的关键． 题型7：综合拓展 【例11】（2023秋·上海嘉定·六年级统考期末）一个长方形的周长为厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】设这个长方形的长为厘米，宽为厘米，根据长方形的周长构建方程，再把问题转化为素数和整数解问题即可． 【详解】解：设这个长方形的长为厘米，宽为厘米，， 根据题意得：，， 长和宽都是素数， ∴长方形的面积为：(平方厘米)， 故这个长方形的面积是平方厘米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用问题，长方形的周长和面积，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【例12】（2020春·六年级校考课时练习）下列叙述正确的是（   ） A．由于方程x+y=6有无数个解，所以任何的一对x、y的值都是该方程的解 B．是二元一次方程x-3y=8的一个解 C．二元一次方程x-3y=8的解集是 D．方程x=y不是二元一次方程 【答案】B 【分析】根据使方程成立的未知数的值是方程的解可判断A、B、C；根据二元一次方程的定义可判断D． 【详解】解: A：能使等式成立的值才是方程的解,所以此选项错误； B. 满足二元一次方程x-3y=8，所以是此方程的一个解，此选项正确； 选项C：二元一次方程x-3y=8的解有无数个，所以此选项错误； 选项D：方程x=y中含有两个未知数，且最高次是一次，所以这个方程是二元一次方程，所以此选项错误. 故答案是：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解的定义，注意二元一次方程有无数个解． 一、选择题 1.（金山2024期末1）下列方程中是二元一次方程的是（ ） （A）； （B）； （C）；　 （D） 【答案】C； 【解析】A、是二元二次方程；B、是分式方程；C、是二元一次方程；D、是二元二次方程；故选C. 2.（浦东四署2019期末3）下列各组数中，是二元一次方程的一个解的是（ ） A. ； B.； C. ； D. . 【答案】B； 【解析】将以上各数代入方程中，因为，故B符合题意，因此选B. 3.（普陀2024期末1）下列方程中，二元一次方程是（ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 【答案】C； 【解析】二元一次方程是C，而A是二元二次方程；B是一元一次方程；D是分式方程，故选C. 4．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列叙述正确的是（ ） A．由于方程x+y=6有无数个解，所以任何的一对x、y的值都是该方程的解 B．是二元一次方程x-3y=8的一个解 C．二元一次方程x-3y=8的解集是 D．方程x=y不是二元一次方程 【答案】B 【分析】根据使方程成立的未知数的值是方程的解可判断A、B、C；根据二元一次方程的定义可判断D． 【详解】解: A：能使等式成立的值才是方程的解,所以此选项错误； B. 满足二元一次方程x-3y=8，所以是此方程的一个解，此选项正确； 选项C：二元一次方程x-3y=8的解有无数个，所以此选项错误； 选项D：方程x=y中含有两个未知数，且最高次是一次，所以这个方程是二元一次方程，所以此选项错误. 故答案是：B. 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解的定义，注意二元一次方程有无数个解． 5．（2019·上海民办华二浦东实验学校月考）方程的自然数解的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】首先用x表示y，再进一步根据x等于0、1、2、3、4、5，对应求出y的值即可． 【详解】解：∵x＋y＝5，∴y＝5−x，当x＝0时，y＝5；当x＝1时，y＝4； 当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝1；当x＝5时，y＝0， 共6个，故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是设x的值为定值，然后求出y的值，看y值是否为自然数即可． 6．下列万程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意； ②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键 二、填空题 7.（青浦期末12）二元一次方程的正整数解是 . 【答案】； 【解析】由得，，因为x、y均为正整数，故，当时，，所以原方程的正整数解是. 8．（浦东2024期末11）将方程变形为用含的式子表示是 ． 【答案】； 9.（浦东四署2019期末14）若是关于x、y的二元一次方程的解，则m= . 【答案】4； 【解析】将代入得，解得 10.（金山2024期末13）将方程变形为用含的式子表示，那么= . 【答案】； 【解析】由得，所以. 11.（宝山2024期末8） 将方程变形为用含的式子表示，则 . 【答案】； 【解析】由得，所以. 12. （普陀2024期末13）如果将等式变形为用含的式子表示，那么所得新等式是 . 【答案】； 【解析】由等式移项，得，所以. 13.（金山2024期末11）如果是方程的一个解，那么实数 . 【答案】4； 【解析】将代入中得，所以. 14．（黄浦2024期末12）将方程变形为用含x的式子表示y为 ． 【答案】； 【解析】由得，所以. 15．（松江2024期末5）将方程变形为用含的式子表示,那么______________. 【答案】； 【解析】由方程移项，得，所以. 16.（浦东四署2019期末13）将方程写成用含x的代数式表示y，则= . 【答案】； 【解析】. 17．（松江2024期末6）已知 是方程的一个解，那么__________. 【答案】2； 【解析】将代入方程，得，所以. 18.．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列方程①x+y； ②； ③3x+1=8y+；④xy=5 ；⑤x+=5中，是二元一次方程的是_________(只填序号)． 【答案】③ 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的最高次数是1的整式方程．据此判断即可. 【详解】解：①x+y不是等式，所以不是方程，更不是二元一次方程； ②不是整式方程，所以不是二元一次方程； ③3x+1=8y+是二元一次方程； ④xy=5是二元二次方程，不是二元一次方程； ⑤x+=5是一元一次方程.，不是二元一次方程. 故答案是：③. 【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，缺一不可． 19．（2020·上海市静安区实验中学九年级专题练习）二元一次方程2x+y=4的非负整数解有_____________组． 【答案】三 【分析】利用方程求得关于的表达式，即，再根据已知条件求解即可； 【详解】由题意可得： 要使均为非负的，那么可以有以下3种情况： 故答案是：三 【点睛】本题主要考查二元一次方程的非负整数解问题，用其中一个未知数表示另外一个会更容易判断，熟练掌握这一点是解决本题的关键. 20．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个． 【答案】 无数 【分析】把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况． 【详解】解：方程3x+8y=27，解得：, ∵当x、y是正整数时，9-x是8的倍数，∴x=1，y=3； ∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即； ∵当x、y是整数时，9-x是8的倍数， ∴x可以有无数个值，如-7,-15,-23，……； ∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个. 故答案是：；无数. 【点睛】此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x看做已知数求出y． 21．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）将方程5x+2y=11变形为用含x的式子表示y，________． 【答案】 【分析】要用含x的代数式表示y，或用含y的代数式表示x，就要将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数．先移项，再将系数化为1即可． 【详解】解：移项得， 2y=11-5x， 系数化为1得，. 故答案是：. 【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，用其中一个未知数表示另一个未知数，解题时可以参照一元一次方程的解法，把一个未知数当做已知数，利用等式的性质解题． 22．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若是二元一次方程，则m=_____n=______． 【答案】2 2 【分析】根据二元一次方程的定义得到m-1=1；3-n=1，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵是二元一次方程，∴m-1=1；3-n=1， ∴m=2； n=2.故答案是：2； 2. 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据定义列出等式是解题关键. 23．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若方程ax+(b-1)y=3是关于x和y的二元一次方程，则a_____，b______． 【答案】≠0 ≠1 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于a、b的不等式，通过解不等式求a，b的范围． 【详解】解：根据题意，得a≠0，b-1≠0， 解得，a≠0，b≠1．故答案是：≠0；≠1． 【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程． 三、解答题 24．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）将方程3x-2y=25变形为用含y的式子表示x，并分别求出当y=-4，y=7，y=时相应的x的值． 【答案】；当y=-4时，x = ；当y=7时，x =13；当y=时，x = . 【分析】将y看作已知数，将x看作未知数即可求解；然后再把y的值代入即可求出相应的x的值． 【详解】解：移项得：3x=25+2y， 系数化为1得，， 当y=-4时，= ； 当y=7时，=13； 当y=时，= . 【点睛】此题考查了解二元一次方程，将y看作已知数，将x看作未知数是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$