专题3.4 图形的平移与旋转（3大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.4 图形的平移与旋转（3大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 （1）平移不改变图形的形状和大小；（2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离；（3） 2.平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。 3.简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 【知识点2】图形的旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。 （1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）；（2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。 2.旋转的规律（性质）： 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。 3.简单的旋转作图： 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。 整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。 【知识点3】中心对称 1．概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。 2．中心对称的基本性质： （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 3．中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 5、图案的分析与设计 ① 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。 ② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。 考点与题型目录 【考点一】图形的识别 【题型1】轴对称图形与中心对称图形.............................................3 【题型2】图形的平移和旋转的识别...............................................3 【考点二】概念定义的理解 【题型3】平移的距离与方向.....................................................4 【题型4】旋转中心、旋转角、旋转对应点.........................................5 【考点三】性质的夯实 【题型5】平移的性质...........................................................6 【题型6】旋转的性质...........................................................7 【考点四】性质综合运用求解证明 【题型7】利用平移的性质求解证明...............................................7 【题型8】利用旋转的性质求解证明...............................................8 【题型9】利用中心对称的性质求解证明...........................................9 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型10】链接中考...........................................................10 【题型11】拓展延伸...........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的识别 【题型1】轴对称图形与中心对称图形 【例1】1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． （1）在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 【题型2】图形的平移和旋转的识别 【例2】（2022七年级上·江苏·专题练习）如图所示，图①经过（　　）变换得到图②． A．平移 B．旋转或轴对称 C．轴对称 D．旋转 【变式1】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【考点二】概念定义的理解 【题型3】平移的距离与方向 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将线段平移，得到线段，则点B到点的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4】旋转中心、旋转角、旋转对应点 【例4】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（    ）度． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【考点三】性质的夯实 【题型5】平移的性质 【例5】（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做“滑动对称变换”．如图，是由沿着直线滑动对称变换得到的，下列不一定正确的是（   ） A． B． C．与关于某点中心对称 D．直线垂直平分 【变式】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【题型6】旋转的性质 【例6】（22-23九年级上·北京大兴·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（2022·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点四】性质综合运用求解证明 【题型7】利用平移的性质求解证明 【例7】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知：如图，中，，．在直线的下方，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）沿直线平移线段至，连接，若直线，求的度数． 【变式1】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． （1）写出点的坐标； （2）在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【题型8】利用旋转的性质求解证明 【例8】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，线段，是由线段绕点D顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若点M是的中点，连接，，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 【变式2】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【题型9】利用中心对称的性质求解证明 【例9】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． （1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； （2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【变式2】（22-23八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； （3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例10】．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰直角三角形，． （1）如图1，D是直角边上一点，过D作于E，点F为中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将绕点B逆时针旋转到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）在（1）的条件下将绕点B顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． （1）直接写出A，B，C，D各点的坐标； （2）证明； （3）求点E的坐标； （4）如图2，平分，平分，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 图形的平移与旋转（3大知识点5大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】图形的平移 1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 （1）平移不改变图形的形状和大小；（2）图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离；（3） 2.平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。 3.简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 【知识点2】图形的旋转 1.旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。 （1）旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）；（2）图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。 2.旋转的规律（性质）： 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。 3.简单的旋转作图： 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。 整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。 【知识点3】中心对称 1．概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。 2．中心对称的基本性质： （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 3．中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 5、图案的分析与设计 ① 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。 ② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。 考点与题型目录 【考点一】图形的识别 【题型1】轴对称图形与中心对称图形.............................................3 【题型2】图形的平移和旋转的识别...............................................5 【考点二】概念定义的理解 【题型3】平移的距离与方向.....................................................6 【题型4】旋转中心、旋转角、旋转对应点.........................................8 【考点三】性质的夯实 【题型5】平移的性质...........................................................9 【题型6】旋转的性质..........................................................12 【考点四】性质综合运用求解证明 【题型7】利用平移的性质求解证明..............................................13 【题型8】利用旋转的性质求解证明..............................................16 【题型9】利用中心对称的性质求解证明..........................................21 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型10】链接中考...........................................................24 【题型11】拓展延伸...........................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的识别 【题型1】轴对称图形与中心对称图形 【例1】1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活.下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意； D、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·期中）图①、图②均为的正方形网格，点在格点（小正方形的顶点）上． （1）在图①中确定一个格点，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形； （2）在图②中确定格点，并画出以为顶点的四边形，使其为轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了中心对称图形、轴对称图形等知识点，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． （1）根据中心对称图形的定义作图即可； （2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 解：（1）解：如图①：四边形即为所求． （2）解：如图②：四边形即为所求． 【题型2】图形的平移和旋转的识别 【例2】（2022七年级上·江苏·专题练习）如图所示，图①经过（　　）变换得到图②． A．平移 B．旋转或轴对称 C．轴对称 D．旋转 【答案】D 【分析】根据旋转变换的定义及特点判断即可． 解：图形①经过逆时针旋转两次，每次旋转120°可以得到图形②， 故选：D． 【点拨】本题考查旋转变换、平移和轴对称，解题的关键是掌握旋转变换、平移和轴对称的性质，属于中考常考题型． 【变式1】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 【变式2】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 解：把型号4逆时针旋转，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠； 故选D 【考点二】概念定义的理解 【题型3】平移的距离与方向 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 解：点关于x轴对称的点为， 向右平移m个单位，得到点的坐标为， 由题意，点落在轴上， 解得． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将线段平移，得到线段，则点B到点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．掌握以上知识是解题的关键； 本题根据平移的性质进行作答，即可求解； 解：解∵线段平移，得到线段， ∴点到点的距离是， 故选：C； 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及坐标与图形变化﹣平移，根据题意得出，当点A在直线上时，n取得最小值，当点C在直线上时，n取得最大值，据此可解决问题． 解：由题知，将代入得，， 所以点N的坐标为， 将代入得，， 所以点M的坐标为， 因为点P为的中点， 所以点P的坐标为， 将点N和点P的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为， 根据所给平移方式可知，平移后各点坐标为，，， 当点A在直线上时，n取得最小值，此时将代入得， ， 解得； 当点C在直线上时，n取得最大值，将代入得， ， 解得， 所以n的取值范围是：． 故选：B． 【题型4】旋转中心、旋转角、旋转对应点 【例4】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得． 解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心． ∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，    ∴旋转中心的坐标是， 故选：B． 【变式1】（22-23八年级下·山东青岛·期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，则（    ）度． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案． 解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，， ∵，的垂直平分线交于点， ∴点是旋转中心， ∵， ∴旋转角，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 【考点三】性质的夯实 【题型5】平移的性质 【例5】（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做“滑动对称变换”．如图，是由沿着直线滑动对称变换得到的，下列不一定正确的是（   ） A． B． C．与关于某点中心对称 D．直线垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称和平移的性质，根据轴对称和平移的性质逐项判断解题． 解：A.因为，，则，故正确； B. 因为，，则，正确； C.与对应点的连线不过同一点，不是中心对称，故错误； D.因为B，关于直线l对称，则直线垂直平分，正确； 故选：C． 【变式】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确，不符合题意； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确，不符合题意； C、由平移的性质可知，故C正确，不符合题意； D、由平移的性质可知不一定等于，故D不一定正确，符合题意． 故选：D． 【题型6】旋转的性质 【例6】（22-23九年级上·北京大兴·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式】（2022·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意； 将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意； 将菱形ABCD以点A为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG； 但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【考点四】性质综合运用求解证明 【题型7】利用平移的性质求解证明 【例7】（2025七年级下·浙江·专题练习）已知：如图，中，，．在直线的下方，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）沿直线平移线段至，连接，若直线，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】（）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而由平行线的判定即可求证； （）根据图形平移的性质得出的度数，即可得的度数，由，直线可得，得，即可得的度数，最后由三角形内角和定理即可求解； 本题考查了平移的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 解：（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：沿直线平移线段至， ∴， ∴， ∴， ∵，直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． （1）写出点的坐标； （2）在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解． 解：（1）解：根据题意得，， ∴， ∵点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得对应点， ∴． （2）解：如图所示， ，设，则， ∴，， ∴，解得，， ∴点存在，且坐标为． 【点拨】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【题型8】利用旋转的性质求解证明 【例8】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，线段，是由线段绕点D顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若点M是的中点，连接，，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，，结合垂直定义，可求出，最后根据平行线的判断即可得证； （2）过E作于H，证明，得出，，结合已知可求出，在中，根据勾股定理求出，然后在中，根据勾股定理求解即可； （3）延长交于N，连接，，根据证明，得出，，再根据证明，得出，最后根据三线合一的性质证明即可． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是由线段绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过E作于H， 则， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长交于N，连接，， ∵， ∴， ∴， 又M是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴，即． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 【答案】是的垂直平分线，证明见分析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的判定定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，证明是等边三角形，进而证明，等边三角形，得出，结合，即可得证． 解：是的垂直平分线 证明：连接， 由绕点顺时针旋转一定角度所得， ，，． ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． ， ， 又， 为等边三角形，即． 又， 是的垂直平分线． 【变式2】（24-25九年级上·北京东城·期末）如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型9】利用中心对称的性质求解证明 【例9】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，． （1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点； （2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______． 【答案】（1）是中心对称，图见详解；（2） 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明四边形使得平行四边形可得结论； （2）利用中心对称图形的性质解决问题即可． 解：（1）解：是 ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是中心对称图形， 如图，对角线的交点即为旋转中心． （2）因为平分四边形的面积， 所以点是的中点， 设，则有， ， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 【变式2】（22-23八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； （3）在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1）作图见分析；（2）；（3）作图见分析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 解：（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点拨】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例10】．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）已知是等腰直角三角形，． （1）如图1，D是直角边上一点，过D作于E，点F为中点，连接，，请写出此时线段与的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将绕点B逆时针旋转到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）在（1）的条件下将绕点B顺时针旋转，请画出图形；若，，直接写出此时的长． 【答案】（1）且；（2）详见分析；（3） 【分析】（1）运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，，则，，，再利用三角形外角的性质可得结论； （2）延长交于G，可证明，点F为的中点，从而得出结论仍然成立； （3）延长交的延长线于H，连接，，首先证明，得，，再证明，得，，则是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而解决问题． 解：（1）解：且，理由如下： ∵，点F为的中点， ∴，， ∴，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴且； （2）证明：如图，延长交于G， ∵， ∴， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ； ∴此时（1）中的结论仍然成立； （3）解：延长交的延长线于H，连接，，如下图， 根据题意，， ∴， ∴， ， 又， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． 【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． （1）直接写出A，B，C，D各点的坐标； （2）证明； （3）求点E的坐标； （4）如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】（1），，，；（2）证明见分析；（3）；（4） 【分析】（1）根据立方根的性质求解的值，可得，的坐标，再利用平移的性质可得，的坐标； （2）由平移的性质可得，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）如图，取的三边中点，可得，，，证明，可得，可得，证明，可得，可得； （4）由，可得，结合三角形的内角和可得，证明，再结合角平分线的定义可得结论． 解：（1）解：∵点表示的立方根，且． ∴，， 解得：， ∴，； ∵将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴，； （2）证明：由平移可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取的三边中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，坐标与图形，立方根的含义，平移的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$