精品解析：广东省东莞市东莞中学南城学校、阳光实验中学、南城一中2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024−2025学年第二学期期中考试初二年级数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2， C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； D、，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行求解即可． 【详解】解：A．不是同类项，不能进行合并，故错误，不符合题意； B．，故错误，不符合题意； C．，故正确，符合题意； D．，故错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：在中，，， 点为斜边上的中点，则， 故选：B． 5. 如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ） A 13 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：，， 为三角形的中位线， ， 即，间的距离是， 故选：A． 6. 化简（）2的结果是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算得出答案． 【详解】解：（）2＝3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 7. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理计算出即可求解． 【详解】解：， 故点所表示的数是， 故选：C． 8. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的，即可解答． 【详解】解：A、合并，故A不符合题意； B、合并，故B不符合题意； C、∵2， ∴合并，故C符合题意； D、∵2， ∴合并，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线性质定理，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，先将的最小值转化为线段的长度，在中由勾股定理求出，再由等面积法得到，即可求解． 【详解】解：过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根数有意义的条件，根据二次根式的被开放数为非负数得到，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 12. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13 比较大小________（填“>”“<”或“=”）； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．利用平方，将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 14. 对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根式的运算，解题的关键是掌握题中的运算定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，，分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论： ①；②；③；④其中正确的结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，根据上述性质逐一判断即可，熟练证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ①错误； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ②正确； ， ， ③正确； ， ， ， ④错误． 故答案为：②③． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质及化简，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 已知：如图，的对角线相交于点、、在直线AC上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形平行四边形． 18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，． （1）求长； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积来求解； （1）直接利用勾股定理来求解即可； （2）利用大的直角三角形的面积减去小的直角三角形的面积． 【小问1详解】 解：中， 根据勾股定理可得， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即图中阴影部分的面积为． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式， （1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可； （2）将转化为，再整体代入计算即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 ． 20. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为_____________． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． 【答案】（1）DM=DN，见解析 （2）①；②仍成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接证明即可得到DM=DN； （2）①当点M与点A重合时，E是AB的中点，N与C重合，根据等边三角形ABC可得； ②倍长AE至G使AE=EG，连接GM、GN、AN，先证明，再说明三角形ANG是等边三角形即可． 【小问1详解】 DM=DN，证明如下： ∵菱形中，， ∴,， ∵ ∴ 在和中， ∴（ASA） ∴DM=DN 【小问2详解】 ①当点M与点A重合时，E是AB的中点，N与C重合， ∵的中点E，即为AB中点E ∴ ∴ 即 ②①中结论仍成立，理由如下： 延长AE至G使AE=EG，连接GM、GN、AN、MN，MN、CD交于点H ∵，E为的中点 ∴(SAS) ∴GM=AB=AD， ∴AB∥GM ∴ ∵DM=DN， ∴是等边三角形 ∴MN=DN， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴(SAS) ∴GN=AN， ∴，即 ∴是等边三角形 ∵AE=EG ∴EN⊥AE， ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、30°直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． （1）初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； （2）迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片的边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 【答案】（1）等边 （2）①，，理由见解析；②或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得得，再次折叠得，等量代换问题可求解； （2）①根据折叠性质可证即可求解；②分两种情况，当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的下方时，设，分别表示出，，有勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ，， ， ， ， 再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段， ， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边； 【小问2详解】 解：①如图2，，，理由如下： 四边形是正方形， ，， 由翻折可知，， ， ， ， ， 由翻折可知：，， ； ②当点Q在点F的下方时，如图2， ， ， ，， ， 由①知， 设，， ， ， 解得：， ， 当点Q在点F的上方时，如图3， ，， ， 由①知：， 设，， ， ， 解得：， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第二学期期中考试初二年级数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2， C. D. 5，12，13 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 5. 如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ） A. 13 B. 16 C. 18 D. 20 6. 化简（）2的结果是（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 7. 如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形是（　　） A. B. C. D. 10. 在菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 13. 比较大小________（填“>”“<”或“=”）； 14. 对于任意不相等两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则______． 15. 如图，，分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论： ①；②；③；④其中正确的结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知：如图，的对角线相交于点、、在直线AC上，并且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，王师傅在铁片中剪切下，且，，． （1）求长； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知，，求下列各式值： （1） （2） 20. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形面积． 21. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为_____________． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由． 23. 在学习了特殊平行四边形后，老师和同学们以“图形中的折叠”为主题开展数学活动． （1）初步感知 如图1，对矩形纸片进行如下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 连接，则的形状是______三角形； （2）迁移探究 将矩形纸片换成正方形纸片，先完成（1）中的“操作一”，然后在上任选一点M（点不与点A，D重合），沿折叠，使点A落在正方形内部点N处，把纸片展平，连接，，并延长交于点Q，连接． ①如图2，若点N恰好在上，连接．请判断线段与的数量关系及的度数，并说明理由： ②若正方形纸片边长为8，在以上探究中，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $