精品解析：湖南省长沙市一中教育集团联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期七年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、是有理数，不是无理数，则A不符合题意； B、是无限不循环小数，它是无理数，则B符合题意； C、是分数，它是有理数，不是无理数，则C不符合题意； D、是循环小数，它是有理数，不是无理数，则D不符合题意； 故选：B． 2. 长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（ ） A. 同位角相等 B. 内错角互补 C. 同旁内角相等 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行逐项判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，可以判定两条直线平行，符合题意； B、内错角互补，不可以判定两条直线平行，符合题意； C、同旁内角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意； D、对顶角相等，不可以判定两条直线平行，符合题意； 故选：A． 3. “天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的概念，即判断给定的和值是否满足方程．牢记方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值并能准确计算是解题是关键． 将每个选项中的和代入方程，验证等式是否成立，即可求解． 【详解】解：A．当时，，此选项不符合题意； B．当时， ，此选项不符合题意； C．当时，，此选项符合题意； D．当时，，此选项不符合题意； 故选：C. 4. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，利用二次根式加法即可解答，熟知二次根式加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 5. 如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的性质，根据平行线的性质得出，再根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中表示华氏度（），表示摄氏度（），那么将转换为华氏度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，把代入求值即可．关键是理解题意． 【详解】解：当时，， 所以将转换为华氏度为 故选：A． 7. 长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质，根据非负数的性质得，，求得的值，再计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，， ∴ ∴帛画的面积为， 故选：A． 8. 长沙市一中为提倡校园垃圾分类，需制作宣传海报．已知制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元．设类海报单价为元，类海报单价为元，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设类海报单价为元，类海报单价为元，根据制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设类海报单价为元，类海报单价为元，根据题意得， ， 故选：B． 9. 点在第二象限，且到轴的距离是7个单位长度，到轴的距离是4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离是7个单位长度，到轴的距离是4个单位长度， 点的横坐标是，纵坐标是7，即， 点P的坐标是． 故选：C． 10. 如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，过B，D，F分别作水平线的垂线，得，由平行线的性质结合已知条件可得出可得结论． 【详解】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则， ∴， ∴， 根据题意得， ，， ∴ ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若为二元一次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可． 根据二元一次方程的概念分析解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ， ， 故答案为：2． 12. 若点在轴上，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，利用轴上点的坐标特征得到，然后解方程即可，掌握坐标轴上点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点在轴上， ， 解得； 故答案为：6． 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 如图，已知，若，，则____°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据求出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论． 【详解】∵， 故答案为：40． 15. 已知a为整数，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用夹逼法得出，进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：3． 16. 甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据立方根、绝对值、乘方以及算术平方根的运算法则化简各项后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入法和加减消元法，即可． （1）由，得，再把的值代入①，解出，即可； （2）将①代入②式，解出，再把的值代入①式，解出值，即可． 【小问1详解】 解：得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为 19. 已知为的整数部分，一个数的平方根分别为，，的立方根为． （1）求，，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，平方根的定义，立方根的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）先根据无理数的估算方法得到，据此可得a的值；一个正数的两个平方根互为相反数，据此列式可求出b的值；根据立方根的定义即可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵为的整数部分， ∴； ∵一个数的平方根分别为，， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：，，， ∴， ∴的算术平方根为． 20. 我国“风云七号”气象卫星在太空中调整观测位置．原观测点构成的顶点坐标分别为，，．为优化气象监测，卫星将这三个点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． （1）在平面直角坐标系中画出平移后的；并直接写出平移后点，的坐标：　　　，　　　； （2）计算的面积． 【答案】（1）见解析，， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形面积求法以及坐标系内图形平移． （1）利用平移规律得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用割补法计算进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示； ； ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：． 21. 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴________（垂直的定义）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（________）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考了垂线的定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．首先根据垂直的定义可得，易得，进而可证明，结合可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）120° 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、垂线的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，内错角相等”可证明，结合易得，然后根据“内错角相等，两直线平行”证明结论即可； （2）首先结合垂直的定义，求得，进而可得，根据角平分线的定义易知，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． （1）普通电影票和电影票的单价各是多少元？ （2）电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【答案】（1）普通电影票的单价为元，电影票的单价为元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元． 【小问2详解】 解：由题意得： 总价， 答：该企业需要支付元． 24. 在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线． （1）请你判断在方程的图象上的点有________（填序号）； ①；②；③；④． （2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________； （3）已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简． 【答案】（1）②④ （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，一次函数的交点与二元一次方程组的关系，二次根式的化简，化简绝对值，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，数形结合是解题的关键． （1）取x的值，求出对应的y值即可判断； （2）利用两点确定一条直线，画直线，利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组； （3）根据二元一次方程组的解的定义，得出，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：在中， 令，则，故①不在方程的图象上； 令，则，故②在方程的图象上； 令，则，故③不在方程的图象上； 令，则，故④不在方程的图象上； 故答案为：②，④； 【小问2详解】 解：如图所示，取点，作出的图象， 取点，作出的图象； 观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是， 故答案为：；． 【小问3详解】 解：将中两方程相加得：， ∴， 由题知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 25. 已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）（i）26.4；(ii) 转动时间的值为18或或或或或 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是解题关键． （1）过点作，可得，，根据即可求证； （2）类比（1）同理可得：，，根据角之间的关系列方程，即可求解； （3）（i）根据题意画出对应图形，根据即可求解； （ii）根据题意画出对应图形，分3种情况：分别求得与，据此即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：类比（1）同理可得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴②， 联立①②解得：，； 【小问3详解】 解：（i）如图3所示： 由题意得：，， ， ， 即：， ， 解得：， 故答案为：； （ii）当与平行时，，解得， 当与平行时，，解得， 如图所示，当两个交点都在上方时，且与线段相交时， 由（2）得，， 则， ， ， 解得：或； 如图所示，当两个交点都在上方时，且与射线相交时，即， 由（2）得，， 则， ， ， 解得：或； 如图所示，当一个交点在上方，一个交点在下方时，即， ， 则， ， 解得：或； 综上，转动时间的值为18或或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期七年级期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 长沙地铁6号线的轨道铺设中，工程师利用了平行线的性质来确保轨道的安全性．下列选项中，能判定两条直线平行的是（ ） A. 同位角相等 B. 内错角互补 C. 同旁内角相等 D. 对顶角相等 3. “天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，将含角的直角三角板按照图示放置，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中表示华氏度（），表示摄氏度（），那么将转换为华氏度为（ ） A. B. C. D. 7. 长沙马王堆汉墓出土的文物中，有一幅彩绘帛画，其形状近似长方形．若帛画的长和宽分别为和，且满足，则帛画的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 长沙市一中为提倡校园垃圾分类，需制作宣传海报．已知制作2张类海报和3张类海报共需130元，制作4张类海报和1张类海报共需110元．设类海报单价为元，类海报单价为元，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 点在第二象限，且到轴的距离是7个单位长度，到轴的距离是4个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角与折射角约为的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度，斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角与，的数学关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若为二元一次方程，则________． 12. 若点在轴上，则________． 13. 的平方根是_______． 14. 如图，已知，若，，则____°． 15. 已知a为整数，若，则______． 16. 甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解下列方程组 （1） （2） 19. 已知为的整数部分，一个数的平方根分别为，，的立方根为． （1）求，，的值； （2）求的算术平方根． 20. 我国“风云七号”气象卫星在太空中调整观测位置．原观测点构成的顶点坐标分别为，，．为优化气象监测，卫星将这三个点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到． （1）在平面直角坐标系中画出平移后的；并直接写出平移后点，的坐标：　　　，　　　； （2）计算的面积． 21. 已知：如图，，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴________（垂直的定义）， ∴________（同位角相等，两直线平行）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（________）． 22. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 23. 今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． （1）普通电影票和电影票的单价各是多少元？ （2）电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 24. 在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线． （1）请你判断在方程的图象上的点有________（填序号）； ①；②；③；④． （2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________； （3）已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简． 25. 已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $