精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

濮阳市一高高一年级（2024级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则的最大内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 6. 已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 10. 已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ） A. 复数对应的点在第四象限 B. C. D. 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 13. 设，且，则的最小值为__________. 14. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 ，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 18. 用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图，如图所示.已知，且. （1）在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成几何体的表面积和体积. 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 濮阳市一高高一年级（2024级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法的运算得到答案. 【详解】， 故选：A. 2. 在中，若，则的最大内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可设，，，利用余弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，其中最大角为 设，，，其中， 又由余弦定理，可得． 故选：D． 3. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 4. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面积公式以及扇形弧长解得，再结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得， 则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 故选：B. 5. 2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ） A. 68m B. 70m C. 72m D. 74m 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则. 依题意，，， 而, 所以，解得， 又， 所有， 而， 所以. 故选：C. 6. 已知正三棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设顶点在底面的射影点为，延长交于点，则为的中点，连接，根据题意求出、的长，可求出的长，再利用锥体的体积公式可求得该正三棱锥的体积. 【详解】在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点，连接， 因为正的边长为，为的中点，则， 因为，则， 则， ， 由题意可知，正三棱锥侧面积为，则， 即，故， 因为为正的中心，则， 因平面，平面，则， 所以，， 因此，该三棱锥的体积为. 故选：D. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 8. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出截面图，设储物盒所地球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值. 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图， 小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B 由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误； 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积S最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误． 故选：ACD 10. 已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（ ） A. 复数对应的点在第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得A正确，再由复数根计算可求得，即B错误，解出方程的另一复数根可得C正确，由虚数无法比较大小可判断D错误. 【详解】对于A，复数，对应的点为，所以复数对应的点在第四象限，故A正确； 对于B，已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以； 解得，所以，故B不正确； 对于C，由，得方程，又知道一个根是， 所以结合韦达定理，可得另一个根是，所以，故C正确； 对于D，两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：AC． 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感，已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 1 C. 8 D. 18 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示得到的取值范围，从而选出正确答案. 【详解】取中点为，连接， 以原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 则， 因为，所以两圆的半径均为，圆心分别是和， 所以， 所以， 所以的值可能是， 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为是单位向量，所以， ， 所以，因为，所以，即与的夹角为. 故答案为：. 13. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求底面外接圆半径，结合直棱柱外接球的性质列式求半径，进而可得表面积. 【详解】设底面的外接圆圆心为，半径为，三棱柱的外接球的球心为半径为， 取的中点，可知，且∥， 则，， 可得，， 所以三棱柱的外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 ，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则化简、，再根据复数的概念得到方程，求出、的值，即可得解； （2）结合（1）得到，再根据题意得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由为实数，可得，则. 又为实数，则，得， . 【小问2详解】 ， ，则在复平面内对应的点的坐标为， 而对应的点在第四象限， ，解得或， 故的取值范围为. 16. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，结合利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果； （2）由，利用三角形的面积公式化简可得，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果； 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以， 即， 可得， 整理可得， 因在中，， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得. 18. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知，且. （1）在平面直角坐标系中作出原平面图形并求面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】（1）图形见解析，面积为18 （2）表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可． 【小问1详解】 如图所示：梯形为还原的平面图形， 作交于点， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个以为底面半径的圆柱挖去一个以为底面半径的圆锥， 所以所形成的几何体的表面积为， ， 所形成的几何体的体积为. 19. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. （1）当时，求四边形OACB的周长； （2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求 （3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）由题意可得，代入数据可得，即有OC的最大值为3，取等号时，设可得，解出后借助余弦定理即可得； （3）借助余弦定理可得，结合面积公式与诱导公式可得，结合正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，于是四边形OACB的周长为； 【小问2详解】 因为，且为等边三角形，，， 所以，所以， 即OC的最大值为3，取等号时， 所以， 不妨设， 则，解得， 所以， 所以； 【小问3详解】 在中，由余弦定理得， 所以，， 于是四边形OACB的面积为 ， 当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为， 所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$