10.2 三角形的内角和外角 课件 2024--2025学年冀教版七年级数学下册

第十章 三角形 10.2 三角形的内角和外角 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 三角形的内角和定理（第一课时） 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.会运用三角形内角和等于180°进行计算. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形任意两边之和大于第三边. 2.三角形的三边有什么关系？ 1.什么叫做三角形？ 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 三兄弟的和应为180度！ 思考：1.任意一个三角形的三个内角有怎样的数量关系呢？ 三角形三个内角的和等于180° 2.小学阶段，我们是怎样验证三角形内角和是180°的？ （1）度量法 （2）剪拼法 请利用准备好的三角形纸片，用剪拼法来验证三角形的内角和等于180°. 要求：剪拼过程中保持一个角的位置不动. A E A B C D 3 1 2 B C D E 1 2 3 知识点 三角形的内角和 A B C D E 1 2 3 D A E B C 1 2 3 已知△ABC，对∠A+∠B+∠C=180°说明理由. D A E B C 1 2 3 理由：过点A，作DE//BC. ∵DE//BC， ∴∠2=∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠3=∠C（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠1+∠3=180°（平角定义）， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）. 知识点 三角形的内角和 转换思维 E A B C D 3 1 2 D A E B C 1 2 3 怎样利用第二种拼接方法，对三角形内角和是180°进行说理？ 延长BC到点E，过点C作CD//AB. 延长BC到点E，过点C作∠DCE=∠B. 知识点 三角形的内角和 A E B C 1 2 理由：过点A，作AE//BC. ∵AE//BC， ∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）， ∠BAE+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1+∠2+∠B=180°（等量代换）， 即∠B+∠BAC+∠C=180°. 知识点 三角形的内角和 转换思维:在这里出现了两条平行线AE与BC,也可以看作：在平行线AE的帮助下， ∠B、 ∠C搬了一次家 平行线起着桥梁的作用，把角从一个位置转移到另一个位置. A E B C D A E B C D A E B C A B C A B C A B C D D D 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。 知识点 三角形的内角和 三角形内角和定理：　 三角形的内角和等于180° . 符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° A B C 知识点 三角形的内角和 全品文教初中 例 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数. A B C 解：∵∠A＋∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理), ∴∠C=180°-(∠A＋∠B). ∵∠A=30°，∠B=65°，(已知) ∴∠C=180°-(30°＋65°)=85°. 知识点 三角形的内角和 练一练：在△OAB中，∠O=90°,∠A=35°,则∠B的度数为( ) A.35° B.55° C.65° D.145° B 知识点 三角形的内角和 1.（1） 在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°， 则∠C＝ . （2）在△ABC中，∠C=62°24'，∠B=28°52'， 则∠A＝ . （3）在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C＝ . 100° 88°44' 70° （4）在△ABC中，∠A :∠B: ∠C＝1: 2: 3，则∠A、∠B 、∠C 的度数分别是 . 30°、60°、90° 2.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 60° 50° 70° 3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . 290 ° 4.说出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 5.在△ABC中，如果∠A= ∠B= ∠ C，求△ABC各内角的度数. 解:设∠A=x°, 则∠B=2x°,∠C=3x° 根据题意，得 解得 ∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 5.在△ABC中，如果∠A= ∠B= ∠ C，求△ABC各内角的度数. 解:设∠A=x°, 则∠B=2x°,∠C=3x° 根据题意，得 解得 ∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 三角形的内角和定理 内容 应用 三角形的内角和等于180° 通过作辅助线，结合平行线的性质，验证定理 求三角形的内角度数 第十章 三角形 10.2 三角形的内角和外角 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 三角形的外角及其性质（第二课时） 1.了解三角形外角的概念. 2.掌握三角形外角的性质. 1.什么是三角形的内角？其和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 ° 2.三角形按边分类，可以分成哪几类？ 两边相等的等腰三角形 三边相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 等腰三角形 三边不等的三角形 按边分 不等边三角形 上节课我们学习了三角形的内角,知道了三角形的三个内角和是180°.请大家观察下面的图形中的角.∠ACD是三角形的内角吗？ A D C B ？ 内角 内角 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. A B C D ( ∠ACD是△ABC的一个外角 与外角∠ACD不相邻的内角 与外角∠ACD相邻的内角 知识点1 三角形的外角及性质 三角形的外角应具备的条件： (1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线. （ （ （ （ （ （ A B C 1 2 3 4 5 6 A B C 问题1：△ABC如图所示，请画出△ABC的所有外角，指出来有哪几个. 有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 问题2：△ABC的6个外角有什么关系? ∠1和∠4, 是对顶角，相等； ∠2和∠5, 是对顶角，相等； ∠3和∠6, 是对顶角，相等. 知识点1 三角形的外角及性质 问题3：在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？ 解：∵∠ACD+∠ACB = 180°，(补角的定义） ∠A +∠B +∠ACB = 180°，(三角形的内角和定理） ∴∠ACD-∠A-∠B = 0. ∴∠ACD =∠A +∠B. ∵∠A＞0，∠B＞0， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 知识点1 三角形的外角及性质 三角形的外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 归纳 知识点1 三角形的外角及性质 ∠C ∠3 ∠DAC ∠4 练一练 1.如图，口答： （1）∠1 = + ； （2）∠2 = + ． B A C D 1 2 3 4 知识点1 三角形的外角及性质 全品初中 练一练 2.如图，说出图形中∠1 的度数． （1） （2） （3） （4） 30°　 60°　 1　 35°　 60°　 1 45°　 50°　 1 30°　 15°　 1 知识点1 三角形的外角及性质 全品初中 例1 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求： (1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数； A C D E B 解：(1) 在△ABC中，∵ ∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∠BCD=92°，∠A=27°，(已知) ∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°； (2) 在△BEF中，∵ ∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), ∠BED=44°，∠B=65°，(已知) ∴∠BFD=44°+65°=109°. 知识点1 三角形的外角及性质 全品文教初中 例2 (一题多解）如图，计算∠BDC. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 解：（解法一）连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. （解法二）延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 知识点1 三角形的外角及性质 全品文教初中 练一练 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解法一： ∵　∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， ∴　∠BAE +∠CBF +∠ACD = （∠2 +∠3）+（∠1 +∠3）+ （∠1 +∠2） A B F C D E 1 2 3 = 2（∠1 +∠2 +∠3）． ∵　∠1 +∠2 +∠3 =180°， ∴　∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180°=360°. 知识点1 三角形的外角及性质 全品初中 A B F C D E 1 2 3 由∠1 + ∠2 + ∠3 =180°， 得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540°- 180° =360°. 解法二： 由∠1 +∠BAE =180°， ∠2 +∠CBF =180°， ∠3 +∠ACD =180°， 得∠1 +∠2 +∠3 + ∠BAE+∠CBF +∠ACD = 540°． 归纳：三角形的外角和360°. 知识点1 三角形的外角及性质 全品初中 谈一谈 1.一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？ 2.一个三角形能不能三个内角都是锐角？ 知识点2 三角形按角分类 全品初中 问题4：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形. 三个内角都是锐角的三角形 有一个内角是直角的三角形 有一个内角是钝角的三角形 知识点2 三角形按角分类 请你试着以角为标准对三角形进行分类 两边相等的等腰三角形 三边相等的等腰三角形 三角形 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰直角三角形 等边三角形 三角形 等腰三角形 三边不等的三角形 按边分 不等边三角形 知识点2 三角形按角分类 练一练：下列说法正确的是( ) A.所有的等腰三角形都是锐角三角形 B.等边三角形属于等腰三角形 C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形 D.一个三角形中有两个锐角，则一定是锐角三角形 B 知识点2 三角形按角分类 全品初中 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于_____. F A B E C D 26° 全品初中 3.如图，已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为_______. 100° 全品初中 4. 如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数. 在△ABC中, ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 解：∵∠ADC是△ABD的外角. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又∵∠B=∠BAD， 40° A B 70° 80° C D 5.已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？ 解： 是钝角三角形 已知一个外角是55° ∴和这个外角相邻的内角是125°. ∴这个三角形是钝角三角形. 全品初中 三角形的外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角． 直角三角形 锐角三角形 三角形按角分类 钝角三角形 全品初中 第十章 三角形 10.2 三角形的内角和外角 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$