8.4 整式的乘法 课件 2024--2025学年冀教版七年级数学下册

第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 冀教版数学(七年级下) 老师:孙老师 授课时间:2025 单项式与单项式相乘(第一课时) 1.能根据乘法的交换律和结合律探究单项式与单项式相乘的运算法则. 2.掌握单项式与单项式相乘的运算法则,知道单项式与单项式相乘的实质是幂的运算. 3.能够灵活地进行单项式与单项式的乘法运算. 1.幂的运算性质有哪几条? 同底数幂的乘法法则:am an=am+n ( m、n都是正整数). 幂的乘方法则:(am)n=amn ( m、n都是正整数). 积的乘方法则:(ab)n=anbn ( m、n都是正整数). 2.计算:(1)x2 x3 x4= ; (2)(x3)6= ; (3)(-2a4b2)3= ; (4) (a2)3 a4= ; (5) . x9 x18 -8a12b6 a10 1 1.光的速度约为3 105km/s,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5 102s,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 地球与太阳的距离约是(3 105) (5 102)km 2.京京用同样大小的纸,精心制作的两幅剪贴画,如下图所示,第一幅画的画面大小与纸的大小相同,第二幅画的画面在纸的上、下方各留有 m的空白. x m m m 1.2x m (1)利用乘法交换律和结合律有: (3 105) (5 102)=(3 5) (105 102)=15 107. 想一想:怎样计算(3 105) (5 102)?计算过程中用到了哪些运算律及运算性质? 如果将上式中的数字改为字母,比如2ac5 3bc2,怎样计算这个式子? (2) 2ac5 3bc2=(2 3)(a b) (c5 c2) (乘法交换律、结合律) =6abc5+2 (同底数幂的乘法) =6abc7. 知识点 单项式与单项式相乘 计算下列算式,并说明每步计算的理论依据. 观察以上运算过程,说一说单项式乘单项式是怎样运算的. 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘单项式法则 系数相乘 相同字母的幂相乘 单独字母连同字母指数 同底数幂乘法运算性质 乘法交换律和结合律 知识点 单项式与单项式相乘 例1 计算: 解: 单项式相乘的结果仍是单项式 单独因式y别漏乘漏写 知识点 单项式与单项式相乘 下面的计算是否正确?如果不正确,请改正过来. (1)2x2 3x3 =5x5 (2)4a3 a4 =4a12 (4)6a4 2a2 =12a2 (3)2x 5x2 =10x2 不正确 不正确 不正确 不正确 2x2 3x3 = (2 3) (x2 x3) = 6x5 4a3 a4 = 4(a3 a4) = 4a7 2x 5x2 =(2 5) (x x2)=10x3 6a4 2a2 =12(a4 a2)=12a6 思考:进行单项式乘单项式的运算时,应注意哪些问题? 单项式相乘时,系数相乘,不相加 相同字母的幂相乘,指数相加,不相乘 不能忽略指数为1的幂 相同字母的幂相乘,指数相加,不相减(除) 知识点 单项式与单项式相乘 全品文教初中 比一比:看谁做的又快又准! 知识点 单项式与单项式相乘 例2 计算: 解: 有积的乘方怎么办?运算时应先算什么? 有乘方运算,先算乘方,再算单项式相乘. 注意 先算乘方 再算乘法 积的 乘方 知识点 单项式与单项式相乘 单项式乘以单项式中的“一、二、三” 一个不变:单项式与单项式相乘时,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数不变,作为积的因式. 二个相乘:把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘. 归纳总结 知识点 单项式与单项式相乘 三个检验:单项式乘以单项式的结果是否正确,可从以下三个方面来检验: ①结果仍是单项式; ②结果中含有单项式中的所有字母; ③结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和. 知识点 单项式与单项式相乘 计算: (1) (-5a2b) (-3a) (-2ab2c); (2)(-2a)3(-3a)2. 解:(1)原式= [(-5) (-3) (-2)] (a2 a a)(b b2) c = -30 a4 b3 c (2)(-2a)3(-3a)2 =-8a3 9a2 =[(-8) 9](a3 a2) =-72a5 知识点 单项式与单项式相乘 例3 计算:3x3y (-2y)2-(-xy)2 (-xy)-xy3 (-4x)2. 解:原式=3xy 4y2-x2y2 (-xy)-xy3 16x2 =12x3y3+x3y3-16x3y3 =-3x3y3 先算乘方,再算单项式相乘,最后算加减. 知识点2 混合运算 (-a)2 a3 (-2b)3-(-2ab)2 (-3a)3b 解:原式=a2a3 (-8b3)-4a2b2 (-27a3)b =-8a5b3+108a5b3 =100a5b3 知识点2 混合运算 1.计算a 3a的结果是( ) A.a2 B.3a2 C.3a D.4a 2.下列计算中,正确的是( ) A.3a3 2a2=6a6 B.2x2 3x2=6x4 C.3x2 4x2=12x2 D.5a3 3a5=15a15 B B 3.填空: (1)若长方形的宽是a2,长是宽的2倍,则长方形的面积为_. (2)一个三角形的一边长为a,这条边上的高的长度是它的 那么这个三角形的面积是_. 2a4 4.如果单项式-3x4n-by2与8x3yn+b是同类项,那么这两个单项式的积是_. -24x6y4 5.计算: (1)2xy2 5x3y; (2)-2x2y3 (-3x); 解:-2x2y3 (-3x)=6x3y3. 解:2xy2 5x3y=10x4y3. 6.若n为正整数,且x3n=2,求2x2n x4n+x4n x5n的值. 解: 2x2n x4n+x4n x5n =2x6n+x9n=2(x3n)2+(x3n)3 =2 22+23=16 ∴原式的值等于16. 2、若(a m+1b n+2) (a 2n-1b 2m)=a5b3, 求m+n 的值. 解:(am+1bn+2) (a2n-1b2m) =am+1+2n-1 bn+2+2m =am+2n bn+2m+2 =a5b3. 两式相加,得3m+3n=6,解得m+n=2. 单项式乘单项式 运算法则 注意事项 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 计算时要注意符号问题 单独的字母不要漏写漏乘 有乘方时,先算乘方 第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 冀教版数学(七年级下) 老师:孙老师 授课时间:2025 单项式与多项式相乘(第二课时) 1.能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则; 2.掌握单项式与多项式相乘的运算法则,会进行单项式与多项式的乘法运算. 3.会用图形解释单项式与多项式相乘的运算法则. 回顾:单项式乘单项式的运算法则是什么? 计算:(-2x3 yz) xy2 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 1.为了扩大绿化面积,要把街心花园的一块长b m,宽p m的长方形绿地,将长的两边分别加宽a m和c m,有几种方法计算扩大后的绿化面积? a m c m p m b m 方法一:三个长方形面积相加 方法二:求出扩大后长方形的长,再计算 ap+bp+pc (a+b+c)p 两个式子之间有什么关系? 全品初中 mn(a+b-c) 2.如图所示的大长方体是由三块小长方体拼接而成,请根据图中的数据,尝试用不同的方法表示阴影部分的体积. 方法一:阴影部分的体积= 方法二:阴影部分的体积= mna+mnb-mnc 方法三:阴影部分的体积= mn(a+b)-mnc mn(a+b-c)=mn(a+b)-mnc mn(a+b)-mnc=mna + mnb-mnc mn(a+b-c)=mna + mnb-mnc 下面单项式乘多项式,是如何进行运算的?这样运算之后,单项式乘多项式在形式上发生了什么变化? mn(a+b-c) = mna + mnb-mnc 单项式 多项式 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把积相加. 你能归纳概括出单项式乘多项式的运算法则吗? 几个单项式和的形式 单项式 单项式 单项式 多项式 转化 几个单项式的和 转化 最简形式 知识点 单项式与多项式相乘 “单项式与多项式相乘”就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加 例1 计算:(1)ab(a2+b2); (2)-x (2x-3); (3)2x(-xy)2 -x2 (xy2-y2 ). 解:(1) ab(a2+b2) (2)-x (2x-3) =ab a2 + ab b2 = a3b+ab3 = (-x) 2x + (-x ) (-3) = - 2x2 + 3x (3)2x(-xy)2 -x2 (xy2-y2 ) = 2x (-x)2 y2 + (-x2) xy2 + (-x2 ) (-y2) = 2x3y2 - x3y2 + x2y2 = x3y2 + x2y2 同类项需要合并 ※ 找准多项式中的每一项 单项式 多项式 单项式 单项式 几个单项式的和 最简形式 项:2x 和 -3 知识点 单项式与多项式相乘 归纳:单项式与多项式相乘的步骤: ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式; ②转化为单项式与单项式的乘法运算; ③ 把所得的积相加. 注意:单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同. 知识点 单项式与多项式相乘 全品初中 计算: (1)2xy(5xy2+3xy-1); 解:原式=2xy 5xy2+2xy 3xy+2xy (-1) =10x2y3+6x2y2-2xy. (2)(a2-2bc) (-2ab) 2. 解: 原式=4a2b2 a2+4a2b2 (-2bc) =4a4b2-8a2b3c. 知识点 单项式与多项式相乘 全品初中 例2 先化简,再求值: a2(a+1)-a(a2-1),其中,a = 5. 解: a2(a+1) -a(a2-1) 当 a=5 时,原式=52 + 5= 30. = a3 + a2 -a3 + a = a2 + a. 知识点 单项式与多项式相乘 全品文教初中 归纳:单项式与多项式相乘需要注意以下几点: 1. 计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时,同号相乘得正,异号相乘得负; 2.不要出现漏乘现象; 3.运算要有顺序:先乘方,再乘除,最后加减; 4.对于混合运算,注意最后应合并同类项. 知识点 单项式与多项式相乘 全品初中 1.如果一个三角形的底边长为2x-1,这条边上的高为6x,那么这个三角形的面积为( ) A.12x2-6x B.6x2-3x C.6x2-1 D.6x2-6x B 全品初中 2.下列计算中,正确的是( ) A.(ab-1)(-4ab2)=4a2b3-4ab2 B.3a(a2+2a+1)=3a3+6a2 C.9-2x(x-3)=-2x2-6x+9 D.-3x(3x-1)-2=-9x2+3x-2 D 3.今天数学课上,老师讲了单项式乘以多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+_ ,的地方被污损难辨了,你认为内应填写( ) A.3xy B.-3xy C.-1 D.1 A 4.计算: (1)(2xy2-2xy) 2xy; (2)-x(2x+3x2-2). 解:(2xy2-2xy) 2xy=4x2y3-4x2y2 解:-x(2x+3x2-2)=-2x2-3x3+2x. 5.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时,算成了加上-3x2,得到的答案是x2-2x+1,那么正确的计算结果是多少? 解:设这个多项式为A,则 ∴A=4x2-2x+1. ∴A (-3x2)=(4x2-2x+1)(-3x2) A+(-3x2)=x2-2x+1, =-12x4+6x3-3x2. a(b+c) = ab + ac 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把积相加. 单项式 单项式 单项式 多项式 转化 几个单项式的和 转化 最简形式 全品文教初中 单项式乘 多项式 法则 单项式乘多项式,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 注意 a运算要有顺序:先乘方,再乘除,最后加减;对于混合运算,注意最后应合并同类项 第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 冀教版数学(七年级下) 老师:孙老师 授课时间:2025 多项式与多项式相乘(第三课时) 1.能根据乘法分配律探究多项式与多项式相乘的运算法则; 2.掌握多项式与多项式相乘的运算法则,会进行多项式与多项式的乘法运算. 3.会用图形解释多项式与多项式相乘的运算法则. 1.如何进行单项式与多项式乘法的运算? ② 再把积相加. ① 将单项式分别乘以多项式的每一项 2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么? ① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定. 张伯伯准备把长为m m,宽为a m的长方形鱼塘进行扩建,使得长再增加n m,宽再增加b m.如图. b a m n mb ma nb na 试用不同的方式表示扩建后鱼塘的面积. (1)(m+n)(a+b) m2; (2)[(m+n)a+(m+n)b) ]m2; (3)[(a+b)m+(a+b)n] m2; (4)(am+bm+an+bn) m2. 由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积,故有 (m+n)(a+b)= ma + mb + na + nb 如何进行多项式与多项式相乘的运算? 实际上,把(m+n)看成一个整体,有: = ma+mb+na+nb (m+n)(a+b) = (m+n)a+(m+n)b 知识点 多项式与多项式相乘 体会整体思想的运用. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 多乘多,来计算,多项式各项都见面, 乘后结果要相加,化简、排列才算完. 多项式乘多项式 知识点 多项式与多项式相乘 运用多项式的乘法法则进行计算时,注意不要漏乘,为防止出错,尽可能按顺序进行,即用前一个多项式的第一项与后一个多项式的每一项依次相乘,然后再用前一个多项式的第二项与后一个多项式的每一项依次相乘,如果前一个多项式有第三项,同理依次相乘……直到前一个多项式的每一项都与后一个多项式的每一项相乘,再把结果相加,这样就不容易漏项了,注意最后能合并同类项的一定要合并同类项. (a+b)(m+n)= =ma+na+mb+nb a(m+n)+b(m+n) (a+b)(m+n) =am+an+bm+bn 单项式 多项式 多项式 多项式 转化 单项式 单项式 转化 知识点 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘,在合并同类项之前,积的项数是两个多项式的项数之积,例如二项式乘三项式,其积在没合并同类项前是六项. 例1 计算: 解: 知识点 多项式与多项式相乘 全品文教初中 例2 计算: 解: 知识点 多项式与多项式相乘 全品文教初中 归纳:计算多项式乘多项式时注意: 1.必须做到不重复,不遗漏; 2.注意确定积中每一项的符号; 3.结果应化为最简式(合并同类项). 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 1.下列计算结果为2x2-x-3的是( ) A.(2x-1)(x-3) B.(2x-3)(x+1) C.(2x+3)(x-1) D.(2x-1)(x+3) B 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 2.判断下列解法是否正确,若错,请说出理由. 解:原式 漏乘 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 解:原式 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 例3 计算求值: (4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y),其中x=1,y=-2. 解:原式= 当x=1,y=-2时, 原式=22 1-7 1 (-2)-14 (-2)2 =22+14 -56 =-20. 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 知识点 多项式与多项式相乘 全品初中 1. (x-1)(2x+3)的计算结果是( ) A.2x2+x-3 B.2x2-x-3 C.2x2-x+3 D.x3-2x-3 A 解析:因为(x+4)(x-3)=x2+x-12=x2+mx-n,所以m=1,n=12.故选D. 2.若(x+4)(x-3)=x2+mx-n,则( ) A.m=-1,n=12 B.m=-1,n=-12 C.m=1,n=-12 D.m=1,n=12 D 3.如图,有正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为a+2b,宽为a+b的大长方形,则需要C类卡片张数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 全品初中 4.计算: (1)(x-1)(x+3)=_; (2)(a+5)(3-a)=_; (3)(2m-3)(m+4)=_. 5.已知a-b=5,ab=3,则(a-1)(b+1)的值为_. 2m2+5m-12 -a2-2a+15 x2+2x-3 7 全品初中 6.计算: (1)(3x+1)(x+2); (2)(x-8)(x-y); (3) (x+y)(x2-xy+y2). 解:(1) 原式=3x x+2 3x+1 x+1 2 =3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2; (2) 原式=x x-xy-8x+8y =x2-xy-8x+8y; (3) 原式=x x2-x xy+xy2+x2y-xy2+y y2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3. 全品初中 7.先化简,再求值: (3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中x=-2. 解:原式=22x-23, 当x=-2时, 原式=-67. 多项式乘 多项式 法则 注意 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加 不要漏乘;正确确定各符号;结果要化为最简 第八章 整式的乘法 8.4 整式的乘法 冀教版数学(七年级下) 老师:孙老师 授课时间:2025 化简求值: ,x=1 解: =x2 x-x2 x-+x x x-+ =x3-x-x+x2-x2+ =x3+. x-x2+ 当x=1时,原式= 13+eq \f(1,6) 12+eq \f(1,12) 1-eq \f(1,12)=1eq \f(1,6). $$