6.3 二元一次方程组的应用 课件 2024--2025学年冀教版七年级数学下册

第六章 二元一次方程组 6.3 二元一次方程组的应用 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 二元一次方程组的应用（第一课时） 1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤. 2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念. 3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识. 3月12日是我国的植树节.这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动.如果平均每人每天挖树坑6个或植树10棵，那么怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？ 问题1 在上面的问题中，找出两个等量关系. (1) 挖树坑的人数+植树的人数=240; (2) 挖树坑的人数×6=植树的人数×10. 问题2 设每天安排x名学生挖树坑，y名学生植树，那么列出的二元一次方程组是怎样的？ 知识点1 配套问题 Administrator (A) - 通过有趣的漫画引入本课，在对话中寻求相等关系，又两个未知数、两个相等关系列出两个方程，感受二元一次方程组的优势. 问题3 请试着解2中所列的二元一次方程组. 你与小明的解答一样吗？ 将①变形为x=240-y. ③ 将③代入②，得6（240-y）=10y. 解这个方程，得y=90. 将y=90代入①，得x=150. 所以，方程组的解为 答：每天安排150名学生挖树坑，90名学生植树，才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗. 知识点1 配套问题 例1 某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件.已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1 个甲种零件与2个乙种零件为一套.如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套? 分析：本题中的等量关系是： 生产甲种零件的工人数+生产乙种零件的工人数=660； 甲种零件个数×2=乙种零件个数. 1.审 审清题意及题目中的等量关系； 2.找 审清题意及题目中的等量关系； 已知：车间工人数及每人每天的工作效率； 未知：人员如何调配. 知识点1 配套问题 6 答：设安排275人生产甲种零件，385人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. . 解：设安排x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，可使每天生产的两种零件刚好配套. 3.设 设未知数； 根据题意，得. 4.列 根据题目中的等量关系列出方程组； 解这个方程组，得 5.解 解这个方程组，求出未知数的值； 写出答案. 6.检验 检验解的正确性与合理性； 7.答 知识点1 配套问题 大家谈谈 用二元一次方程组解决实际问题一般有哪些步骤？请与同学交流你的想法. 实际问题 寻找适当的等量关系 建立二元一次方程组 解二元一次方程组 检验 实际问题的解 知识点1 配套问题 8 用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题并找相等关系：弄清题意和题目中的_________； (2)设元：用______表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用___ _____法或 解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 数量关系 字母 2 代入消元 加减消元法 知识点1 配套问题 变式练习： 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 分析： 将题中出现的量在表格中呈现 产品类型 所需人数 生产总量 螺钉 x 螺母 y 螺母总产量是螺钉的2倍 人数和为22人 1 200x 2 000y 知识点1 配套问题 解：设生产螺钉的有x人，生产螺母的有y人. 依题意，可列方程组： 解方程组，得 答：生产螺钉的有10人，生产螺母的有12人. 解决配套问题要弄清： （1）每套产品中各部分的比例； （2）生产各部分的工人数之和=工人总数. 知识点1 配套问题 例2 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了16g.已知金在水中称，金重减轻 ；银在水中称，银重减轻 . 求这块合金中含金、银各多少克. 解: 设这块合金中含金为x 克，含银为y 克. 根据等量关系得 解这个方程组得 答：这块合金中含金190克，银60克. 知识点2 和、差、倍、分问题 变式练习： 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？ 分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11； 胜场得分+平场得分=27. 胜场 平场 合计 场数 得分 x 3x y y 11 27 知识点2 和、差、倍、分问题 列二元一次方程组解应用题，一般来说，有几个未知数，就找几个等量关系，从而列几个方程，即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等. 解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 8 y 3x y 3 答：该市第二中学足球队胜8场，平3场. x 知识点2 和、差、倍、分问题 1. 小洪买了80分与60分邮票共17枚，花了12.2元. 试问：80分与60分邮票各买了多少枚？ 解：设小洪买80分的邮票共x枚,买60分邮票共y枚， 根据题意有 解得 答：小洪买80分的邮票共10枚，买60分的邮票共7枚. 2. 某星期日，七年级与八年级分别有20，30人去颐和园参观，有30，15人去圆明园参观.七年级买门票花去450元，八年级买门票花去525元.试问：颐和园和圆明园的门票各多少元？ 解：设颐和园门票为x元，园明园门票为y元， 根据等量关系得 解这个方程组得 答：颐和园门票为15元，园明园门票为5元. 隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？ 解：设有x个人，y两银， 由题意得： 5x+6=y, 6x-5=y. 3.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 解得： x=11, y=61. 答：有11个人，61两银. 4.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套? 解：设生产圆形铁片的工人有x人，生产长方形铁片的工人有y人，根据题意列出方程组得 解得 答：生产圆形铁片的工人有24人，生产长方形铁片的工人有18人. 列方程组解决问题 一般步骤： 审、找、设、列、解、验、答 关键：找等量关系 第六章 二元一次方程组 6.3 二元一次方程组的应用 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 二元一次方程组的应用（第二课时） 1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤. 2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念. 3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识. 二元一次方程组的前世今生 “方程”: 我国 : 汉 郑玄 “解九数”《九章算术》 第八卷 “方程” 13世纪 “立天元一为某某” (“设x为某某”) 西方: 古巴比伦人 古希腊人 拉T文oequation 英文equation 亚历山大里亚时期 丢番图 《算术》 “元” : 表示未知数 我国宋元时期的天元术. 李冶 《测圆海镜》和《益古演段》、 朱世杰《算学启蒙》和((四元玉鉴)). 清末 李善兰 和伟烈亚力 译英国数学家德摩根 《代数学》 创用“多元一次方程”这样的术语 现代: 二元一次方程组的重要应用 例1 我国高速铁路飞速发展，为了解 “复兴号”列车的长度和行驶速度， 小明所在的学习小组开展了一次课 外探究活动.他们分工合作，在一 架3 150 m长的铁路桥附近进行了 观察、测量和计算:“复兴号”列 车从开始上桥到完全过桥的时间约 为42.5s,列车完全在桥上的时间约为32.5 s.你能根据该小组同学 获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗? 知识点1 行程问题 列车42.5s内所行路程=桥长+车长 列车32.5s内所行路程=桥长-车长 知识点1 行程问题 思考：(1)问题中涉及了哪些量？ (2)画示意图，并寻找等量关系. (3)用x、y分别表示火车的速度(m/s) 和长度(m)， 列方程组. (4)解答上面的问题. 动画演示，形象直观，更容易理解题目. 24 知识点1 行程问题 解：设“复兴号”列车过桥时的速度为 x m/s,列车长度为 y m. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：“复兴号”列车过桥时的 速度为84m/s，列车的长度为420m. 例2 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 知识点1 行程问题 分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路. 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 走平路的时间+走下坡的时间=________， 走上坡的时间+走平路的时间= _______． 路程=平均速度×时间 10 15 知识点1 行程问题 行程问题中用线段示意图分析，确定相等关系，更直观形象. 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小华家到学校的距离为700m. 知识点1 行程问题 方法二（间接设元法） 平路 距离 坡路距离 上学 放学 解：设小华下坡路所花时间为 x min,上坡路所花时间为 y min. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小华家到学校的距离为700 m. 故 平路距离：60×（10-5）=300（m）. 坡路距离：80×5=400（m）. 知识点1 行程问题 变式练习 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 知识点1 行程问题 （1） 同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4km 甲追上乙 乙2h行程 甲2h行程 甲2h行程=4km+乙2h行程 （2） 同时出发，相向而行 甲出发点 乙出发点 4km 相遇地 甲0.5h 行程 乙0.5h 行程 甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km 知识点1 行程问题 解：设甲、乙的速度分别为x km/h,y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h. 知识点1 行程问题 例3 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？ 今年，七年级人数+高中一年级人数=500(1+18%)； 分析：本题中的等量关系 去年，七年级人数+高中一年级人数=500； 今年，七年级人数=去年七年级人数+增长数； 今年，高中一年级人数=去年高中一年级人数+增长数； 知识点2 增长率问题 解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名.根据题意，得 解得 所以 答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名. 如果将今年两个年级计划招生人数设为未知数，如何列方程组呢？ 知识点2 增长率问题 Administrator (A) - 通过用不同方法利用二元一次方程组解应用题，体会直接设未知数法和间接设未知数法的区别和各自的优势. 本题中，教师可让小组学生讨论、交流、分享. 知识点2 增长率问题 基本关系式： 增长率＝（增长后的量－增长前的量）/增长前的量×100%； 相等关系： 增长前的量×(1＋增长率) ＝增长后的量； 下降前的量×(1－降低率) ＝下降后的量． 35 【分析】设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 (1+20﹪)x (1-10﹪)y 780 x y 200 变式练习 某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元? 知识点2 增长率问题 去年的总产值-去年的总支出=200万元， 今年的总产值-今年的总支出=780万元 ． 分析 关键:找出等量关系. 今年的总支出=去年的总支出×(1-10%） 今年的总产值= 去年总产值×(1+20%） 知识点2 增长率问题 解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有 x-y=200， (1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780. 因此,去年的总产值是2 000万元，总支出是1 800万元. 解得 x=2 000， y=1 800. 知识点2 增长率问题 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [方程（组）] 解方程（组） 数学问题的解 检 验 实际问题 的答案 知识点2 增长率问题 39 1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(　 ) B B. A. C. D. 2.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100 kg，现在有含蛋白质分别为20％，12％的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 分析 本问题涉及的等量关系有： 甲配料质量+乙配料质量=总质量， 甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量. 解: 设含蛋白质20％的配料需用x kg，含蛋白质12％ 的配料需用ykg. 根据等量关系得 解这个方程组得 答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20％的配料需用37.5kg，含蛋白质12％的配料需用62.5kg. 3. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来的单价. 解: 设甲商品原来的单价为x 元，乙商品原来的单价为y 元. 根据等量关系得 解这个方程组得 答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价为60元. 4.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数各是多少? 分析 设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表. 一班 二班 两班总和 学生数 达标学生数 x y 100 87.5﹪x 75﹪y 81﹪×100 44 解:设一、二班的学生数分别为x名，y名. 根据题意,得 解得 答：一、二班的学生数分别为48名和52名. x+y=100， 87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100. x=48, y=52. 5.某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 ，自行车路段和长跑路段共5 km，共用时15 min．求自行车路段和长跑路段的长度． 分析：本问题涉及的等量关系有： 自行车路段长度+长跑路段长度=总路程， 骑自行车的时间+长跑时间=总时间. 解： 设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长度为ym. 根据等量关系，得 解这个方程组，得 因此自行车路段的长度为3 000m， 长跑路段的长度为2 000m． 二元一次方程组的应用 增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量； 原量×（1-减少率）=减少后的量. 行程问题 设元方法:直接法,间接法和设辅助元. 路程=速度×时间. 第六章 二元一次方程组 6.3 二元一次方程组的应用 冀教版数学（七年级下） 老师：孙老师 授课时间：2025 $$