精品解析：广东省惠州市知行学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2025春惠州市知行学校期中考试八年级数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分） 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：由于负数没有平方根，因此无意义，不属于二次根式． 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的识别，解题的关键是掌握定义：形如的代数式叫做二次根式，其中． 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∴， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； C、可设，，， ∴，， ∵ ∴ ∴该三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D ． 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两条直线平行，同位角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大． 写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，不符合题意； B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意； C、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，符合题意； D、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立，不符合题意． 故选C 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=16，BD=24，AC=12，则△OBC周长为(　　) A. 26 B. 34 C. 40 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16，即可求出△OBC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=6，OB=OD=12，BC=AD=16， ∴△OBC的周长=OB+OC+AD=6+12+16=34． 故选：B． 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 9. 点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 10. 如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 二填空题（本题共 5小题，每小题 3分，共 15分） 11. 计算：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则，即可求解． 【详解】原式= = =3． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． 12. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得：且． 故选：且 13. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【解析】 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由“”可证，由“”可证，由全等三角形的性质和矩形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故①正确， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 点是的中点，故③正确； ，， ， ，所以④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三．解答题（本题共 8小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先求出、，再根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 【小问2详解】 ． 18. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识. （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可. （2）运用可证, 可得. 【小问1详解】 解：∵, ∴, ∵, ∴, ∵平分 ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴； 【小问2详解】 证明: ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴， ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴. 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点O作，交点E，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，又由得到，则，即可得到结论； （2）由四边形是矩形得到，由勾股定理得到，则，证明，则，则，即可得到，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形矩形 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 20 阅读下列材料，然后解答问题： 定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的二倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断： ①等边三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”）． ②若某三角形的三边分别为1，，4，则该三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”） （2）在中，三边分别为a，b，c，且，，则这个三角形是不是奇异三角形，如果不是，请说明理由；如果是，求出b的值． 【答案】（1）①是；②不是 （2）故当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，等边三角形性质，奇异三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的三边相等，奇异三角形的定义进行判断即可； ②根据奇异三角形的定义进行判断； （2）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理，奇异三角形的定义进行判断． 【小问1详解】 解：①设等边三角形的边长为，则 等边三角形是奇异三角形； 故答案为：是； ②，， ∴； 又， 故该三角形不是奇异三角形； 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：当为斜边时，则 则，； 不是奇异三角形； 当为斜边时， 则有 是奇异三角形； 故当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形． 21. 已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，． （1）若，求的长； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线平分对角，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据三线合一即可求得，即可求解； （2）由题意，借助三角形全等的判定定理即可得证； （3）由（2）中，得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 在与中， ， ； 【小问3详解】 证明：由 （2）中得， ， ， ， ，，， ， ，， ， 设，在中，，则， ， 在中，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 阅读理解： [材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：， ． [材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题： （1）的一个有理化因式是 ，分母有理化： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2）44 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式，分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握解题方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义去解答即可； （2）利用分母有理化的方法计算即可； （3）仿照提示的解题方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的一个有理化因式是， ∵， 故答案为：，． 【小问2详解】 = 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、． 特例感知： （1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明； 深入探究： （2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得，再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形中位线定理可得答案； （2）连接，由（1）同理可证明结论； （3）连接，连接，设交于，交于，首先证明是等腰直角三角形，可得，再根据三角形三边关系知，从而解决问题． 【详解】（1）， 证明如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ； （2）仍然成立，证明如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 即， ， 为的中点， ， ； （3）如图3，连接， 设交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ， 由题意可知，， 即， 当时， 最小值 当时， 最大值 ，． 【点睛】本题四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025春惠州市知行学校期中考试八年级数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分） 1. 下列式子中，不属于二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 9，12，15 C. 5，6，7 D. 7，24，25 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两条直线平行，同位角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=16，BD=24，AC=12，则△OBC周长为(　　) A. 26 B. 34 C. 40 D. 52 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 20 二填空题（本题共 5小题，每小题 3分，共 15分） 11 计算：_______． 12. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 13. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 15. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：① ②③是的中点④；其中正确的是_____． 三．解答题（本题共 8小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 如图，在中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别，，平分． （1）当时，求的大小； （2）求证：． 19. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，． （1）求证：四边形矩形； （2）过点O作，交点E，若，，求的长． 20. 阅读下列材料，然后解答问题： 定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的二倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断： ①等边三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”）． ②若某三角形的三边分别为1，，4，则该三角形是不是奇异三角形？（ ）（填“是”与“不是”） （2）在中，三边分别为a，b，c，且，，则这个三角形是不是奇异三角形，如果不是，请说明理由；如果是，求出b的值． 21. 已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，． （1）若，求的长； （2）求证：； （3）求证：． 22. 阅读理解： [材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：， ． [材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题： （1）的一个有理化因式是 ，分母有理化： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连，取的中点M，的中点N，连接、． 特例感知： （1）若直角三角板和正方形如图1摆放，点E、F分别在正方形的边、上，请判断与之间的数量关系，并加以证明； 深入探究： （2）若直角三角板和正方形如图2摆放，点E、F分别在、的延长线．其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）若，，连接，在摆放的过程中，的面积存在最大值和最小值，请直接写出和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $