精品解析：江苏省苏州市立达中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024-2025学年第二学期期中考试试卷 初二数学 一、单选题（每题2分，共20分） 1. 下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 4. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A 7 B. 8 C. D. 6. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB， AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ） A. 四边形AEDF一定是平行四边形 B. 若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形 C. 若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 D. 若AD⊥BC，则四边形AEDF菱形 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG，下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正确的有( ) A. ① ② B. ① ② ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ③ ④ 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 若，则的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 13. 反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 15. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为_______________． 17. 如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 18. 如图，矩形顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为______． 三、解答题（共64分）（请在答题卡规定区域作答） 19. 如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 20. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间函数解析式； （2）当时，求的值． 21. 已知，如图，中，点、分别在、上，且．求证：、互相平分． 22. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 23. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若，求OE的长． 24. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接． （1）求点的坐标； （2）连接，求的面积． 25. 如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： （1）； （2）． 26. 已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． （1）点坐标_________； （2）将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； （3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中考试试卷 初二数学 一、单选题（每题2分，共20分） 1. 下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 2. 在平行四边形中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案． 【详解】解：在▱中，，且， ． 故选：D 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题的关键．由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． ∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：D． 4. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 5. 如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，垂直平分线的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算是关键．根据题意得，，由垂直平分线得到，则的周长为，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，过作轴， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴周长为， 故选：A ． 6. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB， AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ） A. 四边形AEDF一定是平行四边形 B. 若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形 C. 若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 D. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【详解】A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED=AC=AF；同理DF∥AB，且DF=AB=AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确． B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确； C、若AD平分∠A，如图，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD， ∠ADB=∠CDM，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD， ∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A ∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF， 结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角 ∴不能判定四边形AEDF是正方形； D、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确． 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出，，的值，然后比较大小即可．理解题意，求出，，的值是解题关键． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象， ， ， 故选：D． 8. 如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 9. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG，下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD；③∠CHG=∠DAG；④HG=AD．其中正确的有( ) A. ① ② B. ① ② ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ③ ④ 【答案】D 【解析】 【分析】可根据正方形的性质和和全等三角形的判定与性质判定①，再根据直角三角形斜边的中线性质可判断④，连接AH，交DG于K，利用①中证明方法可证明AH⊥DG，再根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可判断②，可证得∠DAG=2∠DAH，再证明△ADH≌△DCF得∠DAH=∠CDF，再利用三角形的外角性质可证明∠CHG=∠DAG，可判断③． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴BE=CF， ∴△BCE≌△CDF， ∴∠ECB=∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD=90°， ∴∠ECD+∠CDF=90°， ∴∠CGD=90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HG=CD=AD，故④正确； 连接AH，交DG于K， 同理可得：AH⊥DF， ∵HG=HD=CD， ∴DK=GK， ∴AH垂直平分DG， ∴AG=AD，故②正确； ∴∠DAG=2∠DAH， 同理：△ADH≌△DCF， ∴∠DAH=∠CDF， ∵GH=DH， ∴∠HDG=∠HGD， ∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF， ∴∠CHG=∠DAG．故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 13. 反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较长的线段原线段的．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：为线段的黄金分割点，，且， ． 故答案为：． 15. 如图，点A、D分别在函数、的图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点B（b，0），点C（a，0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可． 【详解】解：设点B（b，0），点C（a，0）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A（b，），即OB＝−b，AB＝， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴点D（a，），即OC＝a，CD＝， 又∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD， 即＝a−b＝， 解得a＝，b＝， ∴点A， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点B，点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键． 16. 如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 18. 如图，矩形的顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上，若矩形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，矩形的性质．先利用矩形的性质得到的面积，用表示的面积，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，， ∵四边形是矩形且面积为，边在上， ∴，，， ∴，，， ∵顶点和对角线，的交点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题（共64分）（请在答题卡规定区域作答） 19. 如图，在方格纸中绕点逆时针旋转得到，请在方格纸中画出，并标注好字母． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图，旋转，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 将点分别绕点逆时针旋转得到点，再顺次连接即可． 【详解】解：即为所作： 20. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值． （1）根据题意设，把x，y的一组值代入求解k的值即可解答； （2）把代入（1）求得的解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵与成反比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 经检验，是该方程的解． 21. 已知，如图，中，点、分别在、上，且．求证：、互相平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 证明四边形为平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 22. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）3.2 （2） （3）一个加热周期内水温不低于的时间为 【解析】 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问3详解】 解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 23. 如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若，求OE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由两组对边分别平行证明四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得到，从而证明四边形DECO是矩形； （2）由矩形性质知对角线相等且对角线互相平分，得到，由菱形的性质知邻边相等，即AD=CD，从而求得OE的长度． 【详解】证明：（1）∵ ∴四边形DECO是平行四边形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∴ ∴四边形DECO矩形 （2）∵四边形DECO是矩形 ∴CD=OE 又∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=CD ∴ 【点睛】本题考查菱形性质，矩形的证明和性质，牢记相关性质和判定的内容是解题关键． 24. 如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接． （1）求点的坐标； （2）连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，则可求出点B坐标，进而求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标； （2）根据，求出对应图形面积即可得到答案． 小问1详解】 解：如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴点； 将点代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为． 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 25. 如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 26. 已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，． （ⅰ）求证：； （ⅱ）连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证； （2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明； （ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：（i）由（1）得， 延长，交于点T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （ii）过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性． 27. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． （1）点的坐标_________； （2）将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； （3）在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)． 【解析】 【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点，， ∴，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 【小问2详解】 设反比例函数为， 由题意得：点坐标为，点坐标为， ∵点和该比例函数图象上， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为． 【小问3详解】 假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）． 以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： ①B′D′为对角线时， ∵四边形B′PD′Q为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（，0），Q（，4）； ②当B′D′为边时． ∵四边形PQB′D′为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（7，0），Q（3，2）； ∵四边形B′QPD′为平行四边形， ∴， 解得：． ∴P（-7，0）、Q（-3，-2）. 综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形， 符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$