数学（无锡卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选；A． 2．现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5， ∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 3．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： 故选：D． 4．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 7．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．连接，，证明和都是等边三角形，求得，再求得，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，， 点、在半圆上，且， ， 和都是等边三角形， ， 由条件可知， ， ， ， 故选：B． 8．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（     ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【分析】本题主要考查了条形统计图以及折线统计图的相关信息，根据统计图的信息一一计算分析判断即可． 【详解】解：A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升，说法正确，故该选项不符合题意； B．2022年到2025年增量分别为：868.9，1278.8，1643，1889.2，2026年增量为：，故增量最多的年份是2026年，原说法错误，故该选项符合题意； C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小，说法正确，故该选项不符合题意； D．2026年中国低空经济市场规模为，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故选C． 10．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点， 在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时， 则， ， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式有意义条件．根据分式的分母不能为零进行解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 12．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 14．不等式的正整数解的个数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，无理数的估算，求出解集是解答本题的关键．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数． 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为； 故答案为：． 16．设，是关于的方程的两个根，且，则 ． 【答案】-6 【分析】一元二次方程根与系数的关系：，是关于的方程的两个根，则，据此解题． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，证明为等边三角形，根据，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 根据折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， ， ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，求出扇形的半径． 18．如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接． ∵点是边上的中点，∴是的中位线，∴． ∵四边形是矩形，，∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴，∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小， ∵，，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质,掌握平行四边形的性质与矩形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 20．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 21．（本题8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探》，《熊出没重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为，《唐探》表示为．《熊出没重启未来》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为，小安同学的选择为． (1)请用列表或画树状图法求所有可能出现的结果总数； (2)求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1)种 (2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下， ∴由表可知，可能出现的结果为：、、、、、、、、，它们出现的可能性相等，一共有种． 答：所有可能出现的结果共有种； （2）解：由表可以看出，小西和小安两名同学选择观看同一电影的情况有种， 即、、． ∴小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 22．（本题10分）某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7  4.8  4.9  4.6  4.8  4.7  4.5  4.7  4.6  5.0 整理数据： 质量／kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量／箱 1 2 3 1 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.73 (1)上述表格中______，______，______； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数） 【答案】(1)2；； (2)选择平均数，共损坏，选择中位数或者众数，共损坏 (3)10.7元 【分析】本题主要考查了频数分布表，平均数，中位数，众数，正确理解题意读懂统计表是解题的关键． （1）根据所给数据可得a的值，再根据中位数和众数的定义求出b、c的值即可； （2）根据（1）所求分别估算出选择平均数，中位数和众数时的损耗即可； （3）要使不亏本，则要按照最大损耗计算，即要损，用总成本除以没有损坏的重量即可得到对应的单价． 【详解】（1）解；由题意得，， ∵重量为的箱数最多， ∴众数为，即， 把这10箱荔枝按照重量从低到高排列，处在第5名和第6名的重量分别为， ∴中位数为，即； （2）解：选择平均数，共损坏， 选择中位数或者众数，共损坏； （3）解：元， ∴该公司销售这批荔枝每千克定为元才不会亏本． 23．（本题10分）（1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 【答案】（1）①见解析；②；；（2）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的判定，画垂直平分线； （1）①根据平行线的性质可得，进而结合已知条件得出，即可得证； ②根据得出，进而代入数据，即可求解； （2）作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 【详解】（1）①证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：； （2）如图所示，作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 设交于点， ∵垂直平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形 24．（本题10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 (2)购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 25．（本题10分）如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长是 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，，且，得，则，即可证明是的切线； （2）作于点，则，所以，则，由，求得，则，所以，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 于点， ， ，，且， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：作于点，则， ， ， ， 的半径为5， ， ， ， ， ， ， 的长是． 26．（本题10分）如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，． (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， 答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离为； （2）解：过点C作于点P，于点K， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 27．（本题10分）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设． (1)的长为________，最小时d的值为________； (2)当点E在边上时． ①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）； ②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值； (3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴. 由题可知,， 根据垂线段最短可得，当时，最小，如图，则，则. 故答案为：，2； （2）解：①如图，，分别交，于点P和点Q， 此时， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴当时，以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴当在右边时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当在左边时，如图， 此时，，， ∴与重合， ∴，解得； 综上，当以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形时，或； （3）解：当在线段上时，如图， ∵点F关于直线的对称点落在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴； 同理，当在线段外时，如图， 此时，，解得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）先求出，得出，过点P作轴于点L，得出，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）根据二次函数的性质求出，过点K作于点M，交于点N，作于点G，证明，得出，，过点F作于T，证明与都是等腰直角三角形，得出，，，根据，得出，求出t即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴正半轴于点， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴ 把点、代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时， 解得：， ∴， ∴， ∵点P在抛物线上，点P的横坐标为， ∴， 过点P作轴于点L， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点K作于点M，交于点N，作于点G， 根据对称性可知：，， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 过点D作， ∵，，， ∴， ∴，， 过点F作于T， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴ ∵点P的横坐标为t， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（     ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 9．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 10．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 13．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 14．不等式的正整数解的个数有 个． 15．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为6，则的面积为 ． 16．设，是关于的方程的两个根，且，则 ． 17．如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 21．（本题8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探》，《熊出没重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为，《唐探》表示为．《熊出没重启未来》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为，小安同学的选择为． (1)请用列表或画树状图法求所有可能出现的结果总数； (2)求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 22．（本题10分）某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7  4.8  4.9  4.6  4.8  4.7  4.5  4.7  4.6  5.0 整理数据： 质量／kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量／箱 1 2 3 1 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.73 (1)上述表格中______，______，______； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数） 23．（本题10分）（1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 24．（本题10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 25．（本题10分）如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 26．（本题10分）如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，． (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 27．（本题10分）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设． (1)的长为________，最小时d的值为________； (2)当点E在边上时． ①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）； ②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值； (3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离． 28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 20、（8分） 21. （8分） 22、（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24、（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27、 （10分） 22. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28、 （12分） 23. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 5分，共 15分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10个小题，共 96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 20、（8分） 21. （8分） 22、（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24、（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（10分） 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27、（10分）22. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28、（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （13分） 2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D A B A B B C A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14．3 15． 16、 17、 18、 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分） 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 20． （本题8分） 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 21． （本题8分） 【详解】（1）解：列表如下， ∴由表可知，可能出现的结果为：、、、、、、、、，它们出现的可能性相等，一共有种． 答：所有可能出现的结果共有种； （2）解：由表可以看出，小西和小安两名同学选择观看同一电影的情况有种， 即、、． ∴小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 22． （本题10分） 【详解】（1）解；由题意得，， ∵重量为的箱数最多， ∴众数为，即， 把这10箱荔枝按照重量从低到高排列，处在第5名和第6名的重量分别为， ∴中位数为，即； （2）解：选择平均数，共损坏， 选择中位数或者众数，共损坏； （3）解：元， ∴该公司销售这批荔枝每千克定为元才不会亏本． 23． （本题10分） 【详解】（1）①证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：； （2）如图所示，作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 设交于点， ∵垂直平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形 24． （本题10分） 【详解】（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 25． （本题10分） 【详解】（1）证明：连接，则， ， 于点， ， ，，且， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：作于点，则， ， ， ， 的半径为5， ， ， ， ， ， ， 的长是． 26． （本题10分） 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， 答：站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离为； （2）解：过点C作于点P，于点K， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 27． （本题10分） 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴. 由题可知,， 根据垂线段最短可得，当时，最小，如图，则，则. 故答案为：，2； （2）解：①如图，，分别交，于点P和点Q， 此时， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴当时，以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴当在右边时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当在左边时，如图， 此时，，， ∴与重合， ∴，解得； 综上，当以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形时，或； （3）解：当在线段上时，如图， ∵点F关于直线的对称点落在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴； 同理，当在线段外时，如图， 此时，，解得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 28． （本题12分） 【详解】（1）解：∵抛物线与轴正半轴于点， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴ 把点、代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时， 解得：， ∴， ∴， ∵点P在抛物线上，点P的横坐标为， ∴， 过点P作轴于点L， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点K作于点M，交于点N，作于点G， 根据对称性可知：，， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 过点D作， ∵，，， ∴， ∴，， 过点F作于T， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴ ∵点P的横坐标为t， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∴． 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（无锡卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（     ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2023年中国低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 9．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 10．如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ． 13．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 14．不等式的正整数解的个数有 个． 15．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为6，则的面积为 ． 16．设，是关于的方程的两个根，且，则 ． 17．如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 21．（本题8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探》，《熊出没重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为，《唐探》表示为．《熊出没重启未来》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为，小安同学的选择为． (1)请用列表或画树状图法求所有可能出现的结果总数； (2)求小西和小安两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 22．（本题10分）某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7  4.8  4.9  4.6  4.8  4.7  4.5  4.7  4.6  5.0 整理数据： 质量／kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量／箱 1 2 3 1 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.73 (1)上述表格中______，______，______； (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数） 23．（本题10分）（1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 24．（本题10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 25．（本题10分）如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 26．（本题10分）如图1是某公交车的站台，主要由顶棚，站牌，底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边竖直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量，． (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 27．（本题10分）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设． (1)的长为________，最小时d的值为________； (2)当点E在边上时． ①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）； ②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值； (3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离． 28．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$