信息必刷卷02（江苏常州专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(常州专用） 考情速递 中考·新动向：常州中考数学试题逐渐从单纯的知识点考察专向能力的考察，注重学生对数学思想方法的理解与应用。数学题型结构大方向不变，但主观题尤其是压轴题呈现“小步渐进”的特点，设置3-4个梯度性问题，此外，开放性和探索性试题的比例逐渐上升。 中考·新情境：中考数学试题也越来越注重情景化的设计，通过贴近学生生活和社会热点的素材，使题目更具真实性和趣味性， 命题·大预测：基于此，考生在巩固基础知识的同时，更应该加强逻辑推理和空间想象以及数学建模能力的训练，以更好的适应新考法和新题型。以试卷第六题为例，将古代筒车与圆知识融合；16题则是一道典型的开放型问题，27.28题则是分别对函数和几何压轴的考察，符合一贯的常州中考标准。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A．每 B．天 C．开 D．心 2．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 4．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．因式分解= ． 10．比较大小：3 （填＜，＞或＝）． 11．请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ． 12．九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙3名同学中任选2名担任主持人，则甲同学被选中的概率是 ． 13．在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“”翻译成明文为“”．密文“”翻译成明文为“ ”．    14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 15．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ． 16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 17．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是 ． 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）（1）计算： （2）解不等式组，并求其整数解． 20．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 21．（本题6分）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 22．（本题8分）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 (1)求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； (2)求甲组学生成绩的平均分和中位数； (3)成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 23．（本题8分）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 24．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 25．（本题8分）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 26．（本题10分）如图（1）是某公园的一种水上滑道娱乐项目，某数学兴趣小组利用计算机模拟该项目游玩过程．如图（2）是小组绘制的水滑道截面图，游玩者从起点A处沿滑道下滑至腾空点B处，飞出后落入水面上的点C处，滑道和游玩者腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分（将游玩者看作一个点）．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与水面垂直的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．滑道的解析式为，点O与对面水池边缘点D的水平距离是14米．某游玩者腾空后形成的抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称． (1)若点B与水面的垂直距离为2米， ①直接写出a值； ②从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，求这两个点之间的水平距离． (2)直接写出a满足什么条件时，游玩者腾空后的落点C与水池边缘D的距离不少于2米，不超过6.5米． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 28．（本题10分）综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（常州专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B B D C A B 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案直接填写在横线上 9． -2（x-1）2 10．＜ 11． （答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 2 16． 2 17 . 18.①②④ 三、解答题:本大题有10个小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本题8分） 【答案】（1）2；（2）不等式组的解集为；整数解 【详解】解：原式     ； 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为． 20．（本题8分） 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 21．（本题6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球， ∴摸到白球的概率， 故答案为：； （2）解：根据题意列出表格如下： 白 红 绿 白 （白，白） （白，红） （白，绿） 红 （红，白） （红，红） （红，绿） 绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿） 由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率． 22． （本题8分） 【答案】(1)7，条形统计图见详解 (2)， (3)2 【详解】（1）解：乙组成绩条形统计图如下： 由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为， 所以乙组人数为：，则8分人数为： 所以，甲组人数也为20，， 所以，的值为7； （2）解：甲组学生成绩的平均分为：， 甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为； （3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为， 所以，这名学生至少增加2分． 23． （本题8分） 【答案】(1) (2)每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元 【详解】（1）解：设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵受市场影响，服装的定价不能超过52元 ∴当时，y取得最大值，最大值为 ∴每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 24． （本题8分） 【答案】(1)，，直线的函数表达式为 (2)15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：代入到，得， 代入到，得， ，， 设直线的函数表达式为， 代入，得，， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点， 设直线的函数表达式为， 代入得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ， ， 反比例函数图象关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， 的面积为15． 25． （本题8分） 【答案】 【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点． 由题意可知四边形和四边形是矩形． ． 由轴对称的性质可得． ， ． ． ， ， ． 在Rt中，， ． 在中，， ． ， ． 解得． ． 当点运动到点处时， 即三点共线时，取得最小值， 即． 答：连杆的最小值是． 26． （本题10分） 【答案】(1)①；②米 (2) 【详解】（1）解：①由题意得， 将代入得，，解得； ②由①知，滑道的解析式为，顶点坐标为， ∵抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称， ∴抛物线的顶点与关于点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等， ∴这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点， 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去负值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去正值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 综上，这两个点之间的水平距离为米； （2）解：∵滑道的解析式为， 同理知，抛物线的解析式为， 由题意得落点C的横坐标在之间， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴． 27． （本题10分） 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)或或 【详解】（1）解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； （3）∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 综上，或或． 28． （本题10分） 【答案】（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(常州专用） 考情速递 中考·新动向：常州中考数学试题逐渐从单纯的知识点考察专向能力的考察，注重学生对数学思想方法的理解与应用。数学题型结构大方向不变，但主观题尤其是压轴题呈现“小步渐进”的特点，设置3-4个梯度性问题，此外，开放性和探索性试题的比例逐渐上升。 中考·新情境：中考数学试题也越来越注重情景化的设计，通过贴近学生生活和社会热点的素材，使题目更具真实性和趣味性， 命题·大预测：基于此，考生在巩固基础知识的同时，更应该加强逻辑推理和空间想象以及数学建模能力的训练，以更好的适应新考法和新题型。以试卷第六题为例，将古代筒车与圆知识融合；16题则是一道典型的开放型问题，27.28题则是分别对函数和几何压轴的考察，符合一贯的常州中考标准。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（    ） A．每 B．天 C．开 D．心 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：选项A、C、D中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项B中的汉字能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：B． 2．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率． 画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：树状图如下： 设巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别为A，B，C， 共有 9 中等可能情况，其中两人恰好都选择B “荆楚文化”的情况有 1 种， 故两人都选B “荆楚文化”的概率为． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为，， ， 方程的两根异号． 故选：B． 4．已知点都在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式；设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中，得到关于m的方程，解方程即可求得m的值，从而得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把A、B两点坐标分别代入函数解析式中， 得，即， 解得：， ∴， 即函数解析式为； 故选：B． 5．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这100个数中，“神秘数”的个数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故选：D． 6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，过点作交于点，证明，即可求得，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ， ，， A，O，M三点恰好在一条直线上， ， ， 根据题意可得， ， ， ， 则此时筒车在水面下的最大深度是， 故选：C． 7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象与性质，若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取为中点，则，若连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可得到答案．分析出的几何意义是解答问题的关键． 【详解】解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，为中点，则， 连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，如图所示： 由过原点的直线的倾斜程度和直线与正半轴夹角大小有关， ， 关于，，大小关系是， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9．因式分解= ． 【答案】-2（x-1）2 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：-2x2+4x-2， =-2（x2-2x+1）， =-2（x-1）2 故答案为：-2（x-1）2． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式及公式法进行因式分解． 10．比较大小：3 （填＜，＞或＝）． 【答案】＜ 【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】∵32＝9，9＜10， ∴3＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 11．请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 【详解】解：∵一个函数表达式，使其图象经过点，且函数y随x增大而减小， ∴设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：， 故， 故函数表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．九（1）班组织“青春有为，强国有我”的主题活动，决定从甲、乙、丙3名同学中任选2名担任主持人，则甲同学被选中的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图，由树状图所有等可能的结果数和甲同学被选中的结果数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有6种等可能的情况，其中甲同学被选中的结果有4种， ∴甲同学被选中的概率为． 故答案为：． 13．在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“”翻译成明文为“”．密文“”翻译成明文为“ ”．    【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题中所给密文与明文之间的转换关系即可解决问题，能根据题意得出密文与明文之间的对应关系是解题的关键． 【详解】解：由题意知，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“”翻译成明文为“”， 由此得出：密文翻译成明文就是这个密文对应的同一条线上的字母， 密文“”翻译成明文为“”， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 15．已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点P．若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化-平移，由二次函数的图象交y轴于点P，可得，又将点P向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解． 【详解】解：∵二次函数的图象交y轴于点P， ∴， ∴将点P向右平移4个单位得到， 又∵此时在二次函数上， ∴， 解得． 故答案为：2． 16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 17．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，入射光线与轴正方向的夹角为，且，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，图形与坐标，过点作轴，则，解直角三角形得点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为，进而求得直线的解析式为，代入的坐标及可求解，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴，则， ，，则，， ∴, ， 点的坐标为，点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得： 直线的解析式为， 代入的坐标可得， ， ． 故答案为：． 18．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，得出抛物线的对称轴为直线：，根据，得出即可判断①根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，得出，根据，，得出，求出，得出，说明关于x的一元二次方程没有实数解，可判断②，根据抛物线的对称轴为：直线，设抛物线的对称轴为直线，得出，根据点，在抛物线上上，，，，分三种情况：当点，都在对称轴右侧时，当点，在对称轴两侧时，点在对称轴的左侧，即可判断③；先求出抛物线的顶点坐标在函数的图象上，根据，得出，根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得出在对称轴的右侧y随x的增大而减小，根据根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ∴，即， ∵， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，一元二次方程为， 整理得：， ∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数解，故②正确； 抛物线的对称轴为： 直线， ∵， ∴， 设抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点，在抛物线上上，，，， ∴当点，都在对称轴右侧时，， 当点，在对称轴两侧时，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点不可能都在对称轴的左侧， 综上分析可知：点，在抛物线上上，，时，，故③错误； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点， ∴顶点坐标的横坐标为，， 顶点坐标的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴顶点坐标的横坐标， 把代入顶点坐标的纵坐标， ∵顶点坐标的横坐标为， ∴， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标在函数的图象上， ∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵抛物线的顶点的轨迹上有两点，， ∴，，， ∴， ∴关于x的方程的两根之和，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）（1）计算： （2）解不等式组，并求其整数解． 【答案】（1）2；（2）不等式组的解集为；整数解 【分析】本题考查了实数的计算以及求不等式组整数解的相关知识，掌握特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，开平方的相关知识及正确解不等式组是解题的关键． （1）根据特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，开平方的相关知识先化简，再进行实数的加减运算； （2）先分别求出不等式①，②的解集，即可求出不等式组的解集，再求其整数解． 【详解】解：原式     ； 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为． 20．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键； （1）根据去分母，取括号移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘4，得 去括号得： 移项： 化系数为1， （2）解： ∴ 或 解得：， 21．（本题6分）一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式，即可解答； （2）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式，即可解答． 【详解】（1）解：∵袋子中一共有3个球，其中只有一个白球， ∴摸到白球的概率， 故答案为：； （2）解：根据题意列出表格如下： 白 红 绿 白 （白，白） （白，红） （白，绿） 红 （红，白） （红，红） （红，绿） 绿 （绿，白） （绿，红） （绿，绿） 由表可知，一共有9种等可能的情况，2次摸到的球颜色不同的情况有6种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率． 22．（本题8分）2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 (1)求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； (2)求甲组学生成绩的平均分和中位数； (3)成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 【答案】(1)7，条形统计图见详解 (2)， (3)2 【分析】本题主要考查了统计表，扇形统计图，条形统计图，平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念． （1）利用部分的实际数据除以占比得总数，即可求得结果； （2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，利用中位数的公式求得中位数； （3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可． 【详解】（1）解：乙组成绩条形统计图如下： 由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为， 所以乙组人数为：，则8分人数为： 所以，甲组人数也为20，， 所以，的值为7； （2）解：甲组学生成绩的平均分为：， 甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为； （3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为， 所以，这名学生至少增加2分． 23．（本题8分）某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示： (1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本） (2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求一次函数解析式，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法求出，然后表示出y即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵受市场影响，服装的定价不能超过52元 ∴当时，y取得最大值，最大值为 ∴每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元． 24．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一支交于，两点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)连接并延长，交反比例函数图象的另一支于点，连接，求的面积． 【答案】(1)，，直线的函数表达式为 (2)15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别代入点的坐标到，求出的值，设直线的函数表达式为，代入点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，先求出直线的函数表达式，得出点的坐标，再根据反比例函数的性质求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：代入到，得， 代入到，得， ，， 设直线的函数表达式为， 代入，得，， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：过点作轴交于点， 设直线的函数表达式为， 代入得，， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，则， ， ， 反比例函数图象关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， 的面积为15． 25．（本题8分）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接交于点，过点作于点，过点作于点．由轴对称的性质可得，求出，在Rt中，求出，在中，求出，根据求出，然后根据三点共线时，取得最小值即可求解． 【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点． 由题意可知四边形和四边形是矩形． ． 由轴对称的性质可得． ， ． ． ， ， ． 在Rt中，， ． 在中，， ． ， ． 解得． ． 当点运动到点处时， 即三点共线时，取得最小值， 即． 答：连杆的最小值是． 26．（本题10分）如图（1）是某公园的一种水上滑道娱乐项目，某数学兴趣小组利用计算机模拟该项目游玩过程．如图（2）是小组绘制的水滑道截面图，游玩者从起点A处沿滑道下滑至腾空点B处，飞出后落入水面上的点C处，滑道和游玩者腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分（将游玩者看作一个点）．以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与水面垂直的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．滑道的解析式为，点O与对面水池边缘点D的水平距离是14米．某游玩者腾空后形成的抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称． (1)若点B与水面的垂直距离为2米， ①直接写出a值； ②从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等，求这两个点之间的水平距离． (2)直接写出a满足什么条件时，游玩者腾空后的落点C与水池边缘D的距离不少于2米，不超过6.5米． 【答案】(1)①；②米 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①由题意得，利用待定系数法求解即可； ②利用中心对称的性质求得抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求得抛物线的解析式，根据题意这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点，据此分两种情况讨论，即可求解； （2）由题意求得抛物线的解析式为，，求得落点C的横坐标在之间，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得， 将代入得，，解得； ②由①知，滑道的解析式为，顶点坐标为， ∵抛物线与滑道所在抛物线关于点B成中心对称， ∴抛物线的顶点与关于点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵从起点开始到落水的运动过程中，恰有两个点到水面的垂直高度相等， ∴这两点分别在两条抛物线上，且必经过一条抛物线的顶点， 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去负值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 当经过点时， 将代入，得， 解得（舍去正值）， ∴这两个点之间的水平距离为； 综上，这两个点之间的水平距离为米； （2）解：∵滑道的解析式为， 同理知，抛物线的解析式为， 由题意得落点C的横坐标在之间， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴． 27．（本题10分）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图象顶点C的坐标是． (1)若，求二次函数表达式； (2)点，是该函数图象上的两个不同的点，若，请判断的大小关系，并说明理由； (3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)或或 【分析】（1）当时，，设二次函数表达式为，利用待定系数法可得，进而可求解； （2）由（1）可知，，可得，，则，由，得，分两种情况：当时，当时，判断的正负即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可知，，当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则，先证明，得，，则，即：，可得点在直线上，结合，求得点的坐标为或，即可求得或，进而求得的值；当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，同理即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵图象顶点C的坐标是，则设二次函数表达式为， 把代入可得：， ∴， ∵，则， ∴； （2）由（1）可知，， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， 则 ∵， ∴， 当时，， ∵，，， ∴，即：； 当时，， ∵，，， ∴，即：； 综上：当时，；当时，； （3）∵为等腰直角三角形，，且 ∴，， ∴，， 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 当点在上方时，过点作轴，交轴于，交对称轴于，则， 同理， ∴，， 则，即： ∴点在直线上， 则，解得：或 即：点的坐标为或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，；当时，； 综上，或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论，添加辅助线全等三角形，得到点在直线上，是解决问题的关键． 28．（本题10分）综合与探究 问题情境 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考 （1）请你解答老师提出的问题． 深入探究 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由． （3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或 【分析】（1）解法1连接，证明即可； 解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可． （2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$