信息必刷卷02（连云港专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(连云港专用） 考情速递 中考·新动向：连云港近年来试卷基础题目的考察更加细致，比如试卷中三视图、科学计数法、平均数、众数、方差的考法都打破了常规，需要我们更全面的梳理教材，做到全覆盖。与此同时，命题的灵活性提升，压轴题目注重综合能力，最值问题、分类讨论、数形结合的思想会继续沿用；但需注意解答题的顺序可能调整，不过核心题型稳定，灵活应对即可。 中考·新情境：中考数学试题也越来越注重情景化的设计，通过贴近学生生活和社会热点的素材，使题目更具真实性和趣味性，比如试卷的7.8题，融合了翻花绳游戏的背景和物理学知识，使得题目更加的丰富生动。 命题·大预测：连云港中考数学命题趋向“细、活、综”，需在全面覆盖的基础上，强化综合思维和细节把控，尤其注重重视几何动态问题和代数实际问题的深度结合。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D． 2．如图所示的几何体的俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．国际乒联官宣了两个榜单，一个是2024年第46周世界女子单打排名，另外一个是赛事积分单打冠军排名，孙颖莎以超高的积分和数量最多的冠军占据两个榜单首位孙颖莎虽然缺席了三场单打赛事，但是她的地位依旧无可撼动．最新女单世界排名中孙颖莎以10800分的高分蝉联第一，则10800用科学记数表示为，则关于和的说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 5．对于题目：小明在处理一组数据“12，12，28，19，■”时，不小心将其中一个数据污染了．以下两位同学给出下列结论：小红说：这组数据的平均数一定大于众数；小丽说：若被污染的数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．下列说法正确的是（   ） A．小红说的对，小丽说的错 B．小红说的错，小丽说的对 C．两人说的都对 D．两人说的都错 6．如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与的面积相等，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 7．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° 8．建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，的电阻值为 B．随着水位的升高而增大 C．当，与的关系式为 D．的电阻值为时，水位的高度 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 10．若，则代数式的值为 ． 11．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ． 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 13．一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为 ． 14．如图，已知平行四边形的四个内角的平分线组成四边形，连接．如果，那么的长为 ． 15．如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题6分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 20．（本题8分）新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本校九年级学生寒假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为C等级的如下：79，72，73，71，72，75，76． 成绩等级 竞赛成绩组 频数 A B 8 C 7 D E 10 请根据表中的信息完成以下几个问题： (1)___________，___________，___________； (2)请写出C等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； (3)请补全频数分布直方图； (4)本校九年级共有800人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是多少？ 21．（本题10分）如图是一个可以自由转动的转盘，将转盘分成面积相等的三个扇形，并涂上图中所示的颜色．（转盘转动过程中，若指针刚好指向分界线，则重新转动） (1)转动转盘，指针指向红色的概率是_____________； (2)小明和小芳分别转动转盘并记录下颜色，红色和蓝色在一起配成紫色．请用画树状图或列表的方法，求小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的概率． 22．（本题10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 24．（本题10分）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 25．（本题10分）如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 26．（本题12分）已知抛物线与x轴交于点A． (1)抛物线的对称轴是________，经过的定点坐标是________（写一个即可）； (2)若点A的坐标为，求当时函数值y的取值范围； (3)点、在抛物线上，若当，时，都有，求a的取值范围． 27．（本题14分）【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（连云港专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A B B D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 9． 且 10．2025 11． 8 12． 13． 14． 3 15． 16． 1.5 三、解答题:本大题有11个小题,共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题6分） 【答案】2 【详解】解：原式 ． 18．（本题6分） 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（本题6分） 【答案】不等式组的解是，不等式组的正整数解为1，2，3． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 原不等式组的解是， 不等式组的正整数解为1，2，3． 20．（本题8分） 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 【详解】（1）解：抽取的总人数为（人）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：等级的成绩按从小到大排列为， 中位数是，众数是， 故答案为：； （3）解：补全频数分布直方图如下， （4）解：（人）， 答：估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 21．（本题10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：转盘分成面积相等的三个扇形， ∴转动转盘，指针指向红色的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，列表如下：           小芳小明 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的结果有2种， ∴小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的概率为． 22．（本题10分） 【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析． 【详解】解：如图，AE即为的角平分线， 猜想：DF=3BF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∴ ∵AC=2AB ∴AO=AB ∵AE是的角平分线 ∴ ∴ ∴． 23． （本题10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 24． （本题10分） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 25．（本题10分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明∶方法一： 连接． 是直径， ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 方法二： ， ． ， ． ． ． 是的切线． （2）解：方法一： 连接，过点作于点． ． 在中，． ． ， ． ． ． 方法二： 过点作的垂线段，连接． ， ． ． 在和中， ． ． 在中，． 方法三： 连接交于点，连接． ， 又， ． ， ， 又， ，， ，， ， ，， ， ． 26．（本题12分） 【答案】(1)直线；和 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； ∵抛物线解析式为， ∴当函数值与a值无关时满足， ∴或， ∴抛物线经过的定点坐标为和； （2）解：把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， ∴当时，y有最大值，最大值为4， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，； （3）解：当时， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越小， ∵当，时，都有， ∴点M到对称轴的距离要大于点N到对称轴的距离， ∴， ∴； 当时，同理可得点M到对称轴的距离要小于点N到对称轴的距离， ∴或 ∴； 综上所述，或． 27． （本题14分） 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）如图3，由题意得，，， ∴， ∴； 如图4，由题意得，， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作于点，如图： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，，， 则； ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 在中，； 故的面积为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(连云港专用） 考情速递 中考·新动向：连云港近年来试卷基础题目的考察更加细致，比如试卷中三视图、科学计数法、平均数、众数、方差的考法都打破了常规，需要我们更全面的梳理教材，做到全覆盖。与此同时，命题的灵活性提升，压轴题目注重综合能力，最值问题、分类讨论、数形结合的思想会继续沿用；但需注意解答题的顺序可能调整，不过核心题型稳定，灵活应对即可。 中考·新情境：中考数学试题也越来越注重情景化的设计，通过贴近学生生活和社会热点的素材，使题目更具真实性和趣味性，比如试卷的7.8题，融合了翻花绳游戏的背景和物理学知识，使得题目更加的丰富生动。 命题·大预测：连云港中考数学命题趋向“细、活、综”，需在全面覆盖的基础上，强化综合思维和细节把控，尤其注重重视几何动态问题和代数实际问题的深度结合。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握“正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 最小， 故选：C． 2．如图所示的几何体的俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据俯视图的概念求解即可． 【详解】 解：该几何体的俯视图是： 故选：D． 3．国际乒联官宣了两个榜单，一个是2024年第46周世界女子单打排名，另外一个是赛事积分单打冠军排名，孙颖莎以超高的积分和数量最多的冠军占据两个榜单首位孙颖莎虽然缺席了三场单打赛事，但是她的地位依旧无可撼动．最新女单世界排名中孙颖莎以10800分的高分蝉联第一，则10800用科学记数表示为，则关于和的说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D． 4．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，列出方程为， 故选A． 5．对于题目：小明在处理一组数据“12，12，28，19，■”时，不小心将其中一个数据污染了．以下两位同学给出下列结论：小红说：这组数据的平均数一定大于众数；小丽说：若被污染的数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．下列说法正确的是（   ） A．小红说的对，小丽说的错 B．小红说的错，小丽说的对 C．两人说的都对 D．两人说的都错 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方差的定义，比较各量是否变化．根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【详解】解：， 数据“12，12，28，19，■”的平均数一定大于， 当■为28或19时，这组数据的众数可能为12或28或19， 小红说法不正确； 若被污染的数据在之间，则这组数据从小到大排列为“12，12，19，■，28”或“12，12，19，28，■” 中位数都为， 被污染的数据在之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故小丽说法正确， 故选：B． 6．如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与的面积相等，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；证明，得，然后证明，得根据相似三角形的性质求出，结合进而计算的值即可． 【详解】解：∵与四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 7．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（    ）．    A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴． 故选D．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． 8．建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，的电阻值为 B．随着水位的升高而增大 C．当，与的关系式为 D．的电阻值为时，水位的高度 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：根据图2可得：当时，的电阻值为；故A选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：当，的增长量是固定的，符合一次函数， 故设与的关系式为， 将，，代入得， 解得：， 即与的关系式为，故C选项说法正确，不符合题意； 当的电阻值为时，将代入， 得， 解得：， 即的电阻值为时，水位的高度鱼约为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为0，被开方数不能为负数．根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：且， 故答案为：且． 10．若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入的思想是解题的关键． 将代数式变形为，再将整体代入求值即可． 【详解】解：． 故答案为2025． 11．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】8 【详解】试题解析：这个多边形的边数是 故答案为8. 12．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．对于一元二次方程有实数根，可得，得，即可求解． 【详解】解：在方程中，，，， 则． 因为方程有实数根，所以， 即， 解不等式， 得． 故答案为：． 13．一个物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆，则这个物体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥体的表面积．根据题意可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3，先求出圆锥的母线长，即可求出物体的表面积． 【详解】解：∵物体的主视图和左视图都是高为4的等腰三角形，俯视图是半径为3的圆， ∴可判断该几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴这个物体的表面积为． 故答案为： 14．如图，已知平行四边形的四个内角的平分线组成四边形，连接．如果，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，构造辅助线． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出直角，证明四边形是矩形，然后再利用平行四边的判定和性质得出的长，根据矩形的对角线相等即可求出结果． 【详解】解： 如图所示，延长交于点，延长交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ， ， 又∵平分，平分， ，， ∴， ，， 同理，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ，平分， ， ∴是等腰三角形， ∴，垂直平分， 同理，，垂直平分， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∵点分别是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：3． 15．如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等．连接，，根据圆周角定理得出，根据题意可得，求得是等边三角形，结合图形得出，，，利用计算即可得出结果． 【详解】解：连接，， ∵为半圆O的直径， ∴， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解． 【详解】解：连接、，与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∵点G是线段上的动点，， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，绝对值，算术平方根，负整指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据零指数幂，绝对值，算术平方根的性质进行运算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先计算分式的除法运算，然后计算加减法，最后代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（本题6分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解是，不等式组的正整数解为1，2，3． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 原不等式组的解是， 不等式组的正整数解为1，2，3． 20．（本题8分）新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本校九年级学生寒假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为C等级的如下：79，72，73，71，72，75，76． 成绩等级 竞赛成绩组 频数 A B 8 C 7 D E 10 请根据表中的信息完成以下几个问题： (1)___________，___________，___________； (2)请写出C等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； (3)请补全频数分布直方图； (4)本校九年级共有800人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图的应用，中位数，众数，用样本估计总体，正确获取统计表中的数据是解题的关键． （1）根据统计图求出总人数，再求出，即可得到的值； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （3）根据的值补全频数分布直方图即可； （4）根据样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：抽取的总人数为（人）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：等级的成绩按从小到大排列为， 中位数是，众数是， 故答案为：； （3）解：补全频数分布直方图如下， （4）解：（人）， 答：估计该学校学生中成绩为D等级及以上的人数是人． 21．（本题10分）如图是一个可以自由转动的转盘，将转盘分成面积相等的三个扇形，并涂上图中所示的颜色．（转盘转动过程中，若指针刚好指向分界线，则重新转动） (1)转动转盘，指针指向红色的概率是_____________； (2)小明和小芳分别转动转盘并记录下颜色，红色和蓝色在一起配成紫色．请用画树状图或列表的方法，求小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式即可求解； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：转盘分成面积相等的三个扇形， ∴转动转盘，指针指向红色的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意，列表如下：           小芳小明 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） 由列表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的结果有2种， ∴小明和小芳转出的颜色可以配成紫色的概率为． 22．（本题10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析． 【分析】根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论． 【详解】解：如图，AE即为的角平分线， 猜想：DF=3BF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∴ ∵AC=2AB ∴AO=AB ∵AE是的角平分线 ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 24．（本题10分）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 25．（本题10分）如图，直径为，点为上的两个点，，过点的直线交延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出，根据等边对等角可得出，然后结合已知可得出，最后根据切线的判定即可得证； 方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出，结合已知可得出，则，根据切线的判定即可得证； （2）方法一：连接，过点作于点．根据勾股定理可求出，根据圆周角定理并结合已知可得出，根据正切的定义可求出，即可求解； 方法二：过点作的垂线段，连接．判断，根据正切的定义可求出．证明．得出．最后在中，根据勾股定理求解即可； 方法三：连接交于点，连接．根据正切的定义可求出，根据圆周角定理，根据等边对等角可求，进而求出，根据勾股定理可求和，即可求解． 【详解】（1）证明∶方法一： 连接． 是直径， ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 方法二： ， ． ， ． ． ． 是的切线． （2）解：方法一： 连接，过点作于点． ． 在中，． ． ， ． ． ． 方法二： 过点作的垂线段，连接． ， ． ． 在和中， ． ． 在中，． 方法三： 连接交于点，连接． ， 又， ． ， ， 又， ，， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 26．（本题12分）已知抛物线与x轴交于点A． (1)抛物线的对称轴是________，经过的定点坐标是________（写一个即可）； (2)若点A的坐标为，求当时函数值y的取值范围； (3)点、在抛物线上，若当，时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线；和 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式即可求出对称轴；根据可以求出函数值与a值无关时自变量的值，据此可求出定点坐标； （2）先利用待定系数法求出解析式，再根据开口方向得到离对称轴越远函数值越小，据此求解即可； （3）分和两种情况，根据函数的开口方向，确定离对称轴的距离与函数值的关系，再结合已给条件讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； ∵抛物线解析式为， ∴当函数值与a值无关时满足， ∴或， ∴抛物线经过的定点坐标为和； （2）解：把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， ∴当时，y有最大值，最大值为4， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，； （3）解：当时， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越小， ∵当，时，都有， ∴点M到对称轴的距离要大于点N到对称轴的距离， ∴， ∴； 当时，同理可得点M到对称轴的距离要小于点N到对称轴的距离， ∴或 ∴； 综上所述，或． 27．（本题14分）【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】（1）如图3，由题意求得，即可证明；如图4，求得，即可证明； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，推出，利用勾股定理即可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，在中，求得，；在中，利用勾股定理求得，再证明，求得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：（1）如图3，由题意得，，， ∴， ∴； 如图4，由题意得，， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作于点，如图： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，，， 则； ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 在中，； 故的面积为． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质等；正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$