精品解析：上海大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上大附中高一下学期期中考试数学试卷 试卷满分 150 分， 答题时间: 120 分钟 2025.4.9 一.填空题（本大题满分 38 分，第 1-10 题每题 3 分，第 11-12 题每题 4 分）只要求直接 填写结果， 每个空格填对得满分， 否则一律得零分. 1. 不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式，进而求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简，再由周期公式得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 3. 在锐角 中，若 ，则 等于_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 4. 已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____ 【答案】10 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 解得，因此， 所以复数的虚部为10. 故答案为：10 5. 已知复数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 6. 已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据夹角为锐角得到且不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】与夹角为锐角，故且不同向共线， 即且， 解得且， 所以的取值范围是 故答案为： 7. 设是平面上两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由三点共线，可得， 即， 则代入已知条件得： 整理得：， 因为是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得：， 解得，， 故答案为：. 8. 已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由可得， 故, 由于，故， 故答案为： 9. 在 中， 为 中点， ， ，则 _____. 【答案】99 【解析】 【分析】利用表示向量，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】由题意在中， 为 中点， ， ， 结合向量加减运算可得：， 则 . 故答案为：99 10. 如果是方程的两根，则＝________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案. 【详解】因为是方程的两根， 所以， ∴. 故答案为：. 11. “向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式计算结合辅助角公式计算求解. 【详解】平面向量  为单位向量，设平面向量  的夹角为， 则  ，由得， 又  ，设，其中， 则， 当时， 故① 而 ②， 其中为锐角且，故， 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故①②等号可同时取得； 故此时， 当时， 故③ 而 ④， 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 当时，此时，而，故， 故③④等号可同时取得； 故此时， 综上， 故答案为：. 12. 对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 分 ， 两种情况分类讨论,然后每种情况再结合的不同取值范围讨论的值，根据已知等量关系建立方程求解. 【详解】情况 1：如果，即， 又因为,所以,所以,即. 此时 ，因此：. 我们需要 ，即  在  上的最小值为. 因为, 所以  或 或  或  所以  或 或  或 . 解 得,解得, 又因为即，所以,所以或. 情况 2：，即存在使得, 此时 ，所以, 所以,所以, 因为，所以,解得, 以，解得,， 所以,所以,所以,所以. 若,则,则. 我们需要：,这不可能（左边大于零，右边小于等于0）. 所以,所以， 所以，所以 ，因此：. 如果,,则 ，则 . 则, ， 或. ，矛盾，舍去. 如果,,则 ， 则 , 即，所以, 所以， 综上所述，  的取值集合为. 故答案为：. 二.选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号用 铅笔写在答题卷上，选 对得 3 分， 不选、选错或者选出的代号超过一个， 一律得零分. 13. 以下命题：①与是否相等与的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义、向量的性质逐一判断即可. 【详解】①:两个向量模是否相等与这两向量的方向无关，故本命题正确； ②：有公共终点的向量，但是当夹角不为零角和夹角时，这两个向量就不是共线向量，故本命题不正确； ③：两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小，故本命题正确； ④：单位向量只说明向量的模为1，不能说明向量的方向，所以本命题不正确， 故选：C 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用伸缩变换和平移变换法则，结合诱导公式对四个选项一一求解，得到答案. 【详解】令， A，函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时， 函数为， 若图象再向左平行移动个单位长度， 则函数为，A正确； 经检验，BCD均不合要求. 故选：. 15. 已知集合，，若，则，之间的关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0 化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点， 集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集， 若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点， ，即a2+b2＜1 故选C． 【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题． 16. 设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案. 【详解】由，则，其中， 可得 ， 由题意可得，若，由①可得，显然③不成立， 故，则，解得，，易知， 当时，显然①③矛盾；故，可得，解得， 所以. 故选：A. 三.解答题（本大题满分 50 分 8+8+10+12+12）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17. 已知函数 （1）无论常数为何值，的图象均过一定点，写出此定点坐标； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质，过定点即求解； （2）先根据函数单调性求出解集，再根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 对于函数， 令，解得，对应函数值， 因此定点坐标为； 【小问2详解】 不等式，即， 由于，函数单调递增， 不等式等价于：. 因此解集. 又 ，即. 所以，解得：，即的取值范围为. 18. 平面内给定三个向量 ， （1）求向量在上的投影向量的坐标 （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的运算公式结合向量的坐标运算求解即可； （2）根据向量坐标的线性运算与平行向量的坐标关系列方程求解即可得实数的值. 【小问1详解】 因为 所以向量在上的投影向量为； 【小问2详解】 因为，， 又，所以，解得. 19. 已知关于 的方程 （1）若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 （2）若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可知即可； （2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可. 【小问1详解】 方程有虚数根， 解得 【小问2详解】 ① 时，; ② 时，8; 综上， 的值为 或 20. 已知函数， （1）求出函数的单调增区间； （2）当时，求函数的最大值； （3）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式得到，利用整体法求出单调递增区间； （2）求出，结合正弦图象得到最大值； （3）先求出，，当时，，当时，令，将其看作关于一次函数，其中，得到不等式组，求出参数取值范围. 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 所以函数的单调增区间为，； 【小问2详解】 由（1）知，， 时，， 由于在上单调递增， 故当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，取得最小值，最小值为， 故， ， ①当时，恒成立， ②当时，令， 将看作关于一次函数，其中， 则需满足，解得且， 综上所述，的范围为. 21. 给定函数 （1）直接写出 的值 （2）若 ，求 的值域 （3）设 ，证明:对任意 ，都存在实数 以及无穷多对正整数对 ，使得 成立 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）化简得，利用换元法转化为二次函数求值域问题即可； （3）利用调和级数是发散的结论以及逼近定理即可证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 若 令 则， 原式等价于，，对称轴为， 当，函数取最大值， 当，函数取最小值， 的值域为. 【小问3详解】 由题意知， 当时，， 易知 ， 由比较判断法知发散，即是发散的， 由逼近定理知：对于任意实数和正整数，存在整数和，其中， 使得，而对于数列在模1下是均匀分布的， 故一定存在无穷多个正整数，使得与某个整数的距离小于， 即，此时取，则，满足任意， 都存在实数及无穷多对正整数对使得成立，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上大附中高一下学期期中考试数学试卷 试卷满分 150 分， 答题时间: 120 分钟 2025.4.9 一.填空题（本大题满分 38 分，第 1-10 题每题 3 分，第 11-12 题每题 4 分）只要求直接 填写结果， 每个空格填对得满分， 否则一律得零分. 1. 不等式的解集为_____ 2. 函数的最小正周期为________. 3. 在锐角 中，若 ，则 等于_____. 4. 已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____ 5. 已知复数满足，则_____. 6. 已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为_____. 7. 设是平面上两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为_____ 8. 已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____ 9. 在 中， 为 中点， ， ，则 _____. 10. 如果是方程的两根，则＝________． 11. “向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____. 12. 对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____. 二.选择题（本大题满分 12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号用 铅笔写在答题卷上，选 对得 3 分， 不选、选错或者选出的代号超过一个， 一律得零分. 13. 以下命题：①与是否相等与的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 15. 已知集合，，若，则，之间的关系是 A. B. C. D. 16. 设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（ ） A. -2 B. 2 C. D. 三.解答题（本大题满分 50 分 8+8+10+12+12）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17. 已知函数 （1）无论常数为何值，的图象均过一定点，写出此定点坐标； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围. 18. 平面内给定三个向量 ， （1）求向量在上的投影向量的坐标 （2）若，求实数. 19. 已知关于 的方程 （1）若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 （2）若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 20. 已知函数， （1）求出函数的单调增区间； （2）当时，求函数的最大值； （3）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 21. 给定函数 （1）直接写出 的值 （2）若 ，求 的值域 （3）设 ，证明:对任意 ，都存在实数 以及无穷多对正整数对 ，使得 成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $