精品解析：江苏省常州市新北区实验中学2024--2025学年八年级数学下学期期中试卷

2024学年第二学期期中质量调研 八年级数学 （本卷满分100分 考试时间90分钟） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但它不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列分式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，则该选项不符合题意； B、，则该选项不符合题意； C、无法约分，则该选项不符合题意； D、，则该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解祥符区所有初中生观看中央电视台《开学第一课》的情况，抽取几所乡里的初中进行调查； B. 为了解全校学生周末学习的时间，小慧同学向位好友进行了调查； C. 为了解“天宫一号”空间站发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式； D. 为了解一个家庭位成员的睡眠质量，采用抽查的方式． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是抽样调查和全面调查，解题关键是熟练掌握抽样调查和全面调查的适用范围． 根据抽样调查和全面调查的适用范围对各选项进行判断即可解答． 【详解】解：选项，为了解祥符区所有初中生观看中央电视台《开学第一课》的情况，抽取几所乡里的初中学校的学生进行调查，不合适，调查范围应包含全祥符区，故选项不符合要求； 选项， 为了解全校学生寒假实践作业所花费的时间，小慧同学向位好友进行了调查，不合适，调查范围应包含全校，故选项不符合要求； 选项，为了解“天宫一号”空间站发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，合适，故选项符合要求； 选项，为了解一个家庭位成员的睡眠时间，应采用全面调查的方式，不合适，调查范围应包含全家，故选项不符合要求． 故选：． 4. 用反证法证明“若，则”，应假设（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答． 【详解】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 5. 若把分式、同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式的性质，进行计算后，即可得出结论． 【详解】解：分式的、同时扩大为原来的3倍为： ， ∴分式的值扩大3倍； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 6. 分式，，，中，最简分式有（　　） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．此题利用最简分式定义进行分析即可． 【详解】解：是最简分式； 不是最简分式； ，是最简分式； ，不是最简分式； 故选：B． 7. 如图，在矩形中，交于点O，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得即可． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 8. 如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 10. 为了了解件商品的质量问题，从中任意抽取件商品进行试验在这个问题中，样本容量是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 【详解】解：要了解5000件商品的质量问题，从中任意抽取100件商品进行试验，在这个问题中，样本包括的个体数量是100，所以样本容量是100. 故答案为100． 【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 11. 从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是_______（填序号） 【答案】②①③ 【解析】 【分析】先找出恰好是偶数的有4张卡片，小于6的有5张卡片，不小于9的有1张卡片，再根据概率公式分别进行求解，然后比较即可． 【详解】从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是偶数的概率是； 小于6的数的概率是； 不小于9的数概率是 ， 则这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③； 故答案为②①③． 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 12. 为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在左右，由此估计该湿地公园约有______只大白鹭． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，直接根据概率公式求解即可．熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 【详解】解：设该湿地公园约有x只大白鹭， ∴， 解得， 经检验：是方程的解； 故答案为：500. 13. 有一个分式，三位同学分别说出了它一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式：___________． 【答案】，， 【解析】 【详解】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是，，等，答案不唯一． 考点：分式的值 14. 如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．先根据三角形的中位线性质得到，，，证明得到，证明得到，进而可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴， ∵，，，∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点是平行四边形的对角线上一点，连接，若点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，且，则__________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．连接，先根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，，，，则，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质求得，进而由三角形的外角性质得到即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由得， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，准确应用矩形的性质是解题的关键． 在直线外做直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在直线外作直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为， ， ， 到的距离是：， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为:． 三．解答题（共9小题，17、20、21、23、24题每题8分，18、19、22题每题6分，25题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据分式的乘除法运算法则和分式的性质求解即可； （2）根据异分母的分式减法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） （1）画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； （2）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】（1）图见解析，； （2）图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 20. 将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（不完整），其中30~40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同． 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 ______ 50~60 ______ 60~70 ______ ______ 70~80 20 合计 ______ ______ （1）请把表中的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）若该雷达测速要求时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 【答案】（1）见解析 （2）违章车辆共有76辆 【解析】 【分析】本题主要考查了频数和频率分布表、频数分布直方图，解题的关键是理解题意、求出汽车总数． （1）先求出总数，然后求出相应的频数和频率，补全频数分布直方图即可； （2）求出汽车时速大于等于60千米的汽车辆数即可． 【小问1详解】 解：汽车总数是：（辆）， 的频率是：， 的频数是：（辆）， 的频数是：（辆）， 的频率是：； 表中的数据填写完整如下： 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 50~60 78 60~70 56 70~80 20 总计 200 1 补全频数分布直方图如下： ； 【小问2详解】 解：∵时速不低于60千米即为违章， ∴（辆）， 答：违章车辆共有76辆． 21. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】（1）②③ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【小问1详解】 解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ 【小问2详解】 ∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” 【小问3详解】 ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 22. 正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． （1）在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． （2）在这段时间内，求与的函数关系式． （3）当，求的值． 【答案】（1）4，0 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查平移性质、分段函数，正方形的性质，分类讨论及数形结合是解答的关键． （1）利用平移性质，结合分别求解即可； （2）先求得临界点，再分三情况讨论，利用正方形或矩形面积公式即可求解； （3）由（2）中关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， 当秒时，，此时点D与点E重合，则； 当秒时，，此时点E与点A重合，则， 故答案为：4，0； 【小问2详解】 解：当时，，此时点F与点A重合； 分三种情况讨论： 在这段时间内，如图，， ∴； 当时，小正方形在大正方形内部， ； 在这段时间内，如图： 则，则， ∴； 综上，； 【小问3详解】 当时，由或解得：或， 故t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中质量调研 八年级数学 （本卷满分100分 考试时间90分钟） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 2. 下列分式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解祥符区所有初中生观看中央电视台《开学第一课》的情况，抽取几所乡里的初中进行调查； B. 为了解全校学生周末学习的时间，小慧同学向位好友进行了调查； C. 为了解“天宫一号”空间站发射前零部件的状况，检测人员采用了普查的方式； D. 为了解一个家庭位成员的睡眠质量，采用抽查的方式． 4. 用反证法证明“若，则”，应假设（　　） A B. C. D. 5. 若把分式的、同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 6. 分式，，，中，最简分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在矩形中，交于点O，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 8. 如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分） 9. 当________时，分式值为0． 10. 为了了解件商品的质量问题，从中任意抽取件商品进行试验在这个问题中，样本容量是__________． 11. 从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是_______（填序号） 12. 为了解某湿地公园大白鹭情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在左右，由此估计该湿地公园约有______只大白鹭． 13. 有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式：___________． 14. 如图，是中位线，延长至使，连接，则的值为__________． 15. 如图，点是平行四边形的对角线上一点，连接，若点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，且，则__________． 16. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为___________． 三．解答题（共9小题，17、20、21、23、24题每题8分，18、19、22题每题6分，25题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） （1）画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； （2）将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 20. 将某雷达测速区监测到的一组汽车的时速数据整理，得到其频数及频率如下表（不完整），其中30~40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同． 数据段 频数 频率 30~40 10 40~50 36 ______ 50~60 ______ 60~70 ______ ______ 70~80 20 合计 ______ ______ （1）请把表中的数据填写完整，并补全频数分布直方图； （2）若该雷达测速要求时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 21. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； （3）若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 22. 正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为． （1）在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ． （2）在这段时间内，求与的函数关系式． （3）当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$