6.6.3 球的表面积和体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

6.3　球的表面积和体积 (教师独具内容) 课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：球的表面积、体积的计算公式． 教学难点：球的表面积、体积的计算公式的应用． 知识点一　球的有关概念 (1)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． (2)当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点． (3)过球外一点的所有切线的切线长都相等． 知识点二　球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面． (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式r＝. 知识点三　球的表面积与体积公式 (1)球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球的半径)． (2)球的体积公式：V球＝πR3(R为球的半径)． 1．球的表面积比为其半径比的平方，球的体积比为其半径比的立方． 2．几何体的外接球 (1)圆柱的外接球：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，其外接球的半径为R，则R2＝r2＋. (2)长方体的外接球：长方体的体对角线为长方体的外接球的直径，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则(2R)2＝x2＋y2＋z2. (3)直棱柱的外接球：设直棱柱的底面的外接圆半径为r，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则R2＝r2＋. (4)直棱锥的外接球：设直棱锥的底面的外接圆半径为r，直棱锥的高为h，外接球的半径为R，则R2＝r2＋. (5)棱长为a的正四面体的外接球半径为a. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过球面上任意两点只能作球的一个大圆．(　　) (2)球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径．(　　) (3)用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．(　　) (4)过球外一点作球的切线有且只有一条．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 (2)半径为1的球的体积是(　　) A．4π B. C. D. (3)球的表面积扩大到原来的2倍，球的体积扩大到原来的(　　) A．2倍 B.倍 C．2倍 D．3倍 答案：(1)A　(2)B　(3)C 题型一　球的表面积与体积 　(1)过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是48π cm2，求球的表面积． [解]　如图所示，设O′为截面圆圆心，O为球心，A为截面圆上一点，连接OO′，O′A，OA， 则O′A为截面圆的半径，OO′⊥O′A，OA为球的半径R. ∵48π＝π·O′A2，∴O′A2＝48. 在Rt△OO′A中，OA2＝OO′2＋O′A2， ∴R2＝＋48，解得R＝8. ∴S球面＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)． 即球的表面积为256π cm2. (2)已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积． [解]　如图所示，设球心为O，截面圆圆心为O1，球半径为R， 连接OO1，则OO1是球心到截面的距离． 由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心． 设M是AB的中点，连接CM，O1A， 由于AC＝BC，则O1在CM上． 设O1M＝x，易知O1M⊥AB， 则O1A＝， O1C＝CM－O1M＝－x. 又O1A＝O1C，∴＝－x， 解得x＝. 则O1A＝O1B＝O1C＝. 在Rt△OO1A中，OO1＝，∠OO1A＝90°，OA＝R. 由勾股定理，得＋＝R2. 解得R＝. 故S球面＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π. 【感悟提升】　球的表面积和体积的解题方法 计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用之前学习过的球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视． 【跟踪训练】 1．(1)一个圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，则圆柱与球的表面积之比为________，体积之比为________． 答案：3∶2　3∶2 解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的表面积为4πR2＋2πR2＝6πR2，球的表面积为4πR2，圆柱的体积为πR2·2R＝2πR3，球的体积为πR3，所以圆柱与球的表面积之比为6πR2∶4πR2＝3∶2，圆柱与球的体积之比为2πR3∶πR3＝3∶2. (2)用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为2π，则球的体积为________． 答案：4π 解析：所得截面圆的半径为r＝，因此球的半径R＝＝，球的体积为πR3＝4π. 题型二　与球有关的切、接问题 　轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积． [解]　如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E. 连接AD，OE， ∵△ABC是正三角形， ∴CD＝AC. ∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm， ∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝. 设OE＝r cm，则AO＝(－r) cm， ∴＝， ∴r＝，V球＝π＝(cm3)， 即球的体积等于 cm3. 【感悟提升】　截面在有关球计算中的作用 解决与球有关的切、接问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系． 【跟踪训练】 2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积． 解：作轴截面如图所示，设球的半径为R，O为球心，连接OC′，CC′＝，AC＝×＝2， ∴OC＝AC＝. R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9， ∴R＝3， ∴S球面＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π. 1．若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　　) A．12π B．3π C. D.π 答案：A 解析：设球的半径为R，则有πR3＝4π，解得R＝，则球的表面积S＝4π×()2＝12π. 2．把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为(　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 答案：B 解析：设大铁球的半径为R cm，则有πR3＝π×＋π×＋π×，解得R＝6.所以这个大铁球的半径为6 cm. 3．一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案：C 解析：由球的性质知，球的半径R＝＝5，所以V球＝π×53＝(cm3)． 4．一个正方体与一个球的表面积相等，那么该正方体与该球的体积的比值是________． 答案： 解析：设该正方体的棱长为a，该球的半径为r，则6a2＝4πr2，即a＝r，所以＝＝. 5．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，求该球的体积． 解：因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以该球的半径r＝×＝1，所以该球的体积V球＝π×13＝. 课后课时精练 一、选择题 1．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(　　) A.π cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案：D 解析：由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为 cm3. 2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 答案：B 解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R＝＝，所以球的体积V＝πR3＝4π. 3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 答案：B 解析：正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线中点处，在直角三角形中可得R＝＝，∴S＝4πR2＝4π×＝πa2. 4．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是(　　) A．S球<S圆柱<S正方体 B．S正方体<S球<S圆柱 C．S圆柱<S球<S正方体 D．S球<S正方体<S圆柱 答案：A 解析：设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则πr2·2r＝πR3＝a3，＝，＝2π，S圆柱＝6πr2，S球＝4πR2，S正方体＝6a2，＝＝·＝<1，＝＝·＝>1.故选A. 5．(多选)正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是(　　) A．3＋ B．3－ C．2＋ D.－2 答案：CD 解析：设正四棱锥的高为h，外接球的半径为R，由4πR2＝24π，得R＝，如图1所示，O为外接球的球心，H为AC，BD的交点，连接PH，OC.易知O在PH上．OH2＋HC2＝OC2，即(h－)2＋2＝6，得h＝2＋.如图2所示，O为外接球的球心，连接OP，交底面ABCD于H，易知H为底面中心，连接OC.OH2＋HC2＝OC2，即(－h)2＋2＝6，得h＝－2. 二、填空题 6.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. 答案：4 解析：设球的半径为r cm，则有8πr2＋3×πr3＝πr2×6r，由此解得r＝4. 7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________． 答案：100π 解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π. 8．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________． 答案：24π 解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π. 三、解答题 9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，则在Rt△AOF中， (4－r)2＋()2＝r2， 解得r＝， ∴该球的表面积为4πr2＝4π×＝. 10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解：如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E. 则DO＝r，AD＝r，AB＝AC＝BC＝2r，∴CD＝3r， 由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD＝∶＝CE3∶CD3. 又V圆锥CD＝π(r)2·3r＝3πr3， V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O＝3πr3－πr3＝πr3， ∴πr3∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝r. ∴球从容器中取出后，水的深度为r. 11．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求： (1)棱锥的表面积； (2)内切球的表面积与体积． 解：(1)如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连接AD并延长交BC于E，连接PE. ∵P－ABC为正三棱锥，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∵AB＝2，∴S△ABC＝×(2)2＝6，DE＝×AB＝，PE＝. S△PAB＝S△PBC＝S△PCA＝×2×＝3. ∴S表＝9＋6. (2)设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． ∵PD＝1，∴VP－ABC＝×6×1＝2. 则由等体积可得r＝＝－2， ∴S球＝4π(－2)2＝(40－16)π， V球＝(－2)3π＝(9－22)π. 12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？ 解：因为半球的半径为4 cm，圆锥的高为h cm， 所以V半球＝×π×43＝(cm3)， V圆锥＝π×42·h＝πh(cm3)． 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子， 则有V半球≤V圆锥，即≤πh， 解得h≥8. 即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子，因为S圆锥侧＝πrl＝πr＝4π在[8，＋∞)上单调递增，所以当h＝8时，S圆锥侧最小， 所以圆锥的高为8 cm时，制造杯子最省材料，最省材料为16π cm2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$