6.4.1 第2课时 直线与平面平行的综合应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

第2课时　直线与平面平行的综合应用 学习目标 1.线面平行性质与判定定理的综合应用． 2．掌握线面平行中的探索性问题． 知识点一　直线与平面平行的性质定理与判定定理的综合应用 [例1] 已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b. 因为a∥α，所以a∥b. 过a作平面ε交平面β于c. 因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c. 又b⊄β且c⊂β，所以b∥β. 又平面α过b交β于l，所以b∥l. 因为a∥b，所以a∥l. [变式探究] 若本例中条件改为“α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，且l∥m”，试判断直线m，n的位置关系，并说明你的理由． 解：m∥n，理由如下： 如图，因为l∥m，m⊂γ，l⊄γ，所以l∥γ. 又l⊂α，α∩γ＝n，所以l∥n.所以m∥n. 线线、线面的转化 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行．复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行. [练1] 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明：如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点． 又M是PC的中点，∴AP∥OM. 又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH， ∴AP∥GH. 知识点二　线面平行中的探索性问题 [例2] 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明． 解：直线l∥平面PAC.证明如下： 连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. 又EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以直线l∥平面PAC. 线面平行探索性问题的思路 对线面平行探索可先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系． [练2] 在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 解：存在．当M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC. 证明如下： 如图所示，连接A1M，MC，AC1，A1C，设O为A1C，AC1的交点． 由已知得O为AC1的中点． 连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC， 因此MD∥OE且MD＝OE. 连接MO，则四边形MDEO为平行四边形，所以DE∥MO. 因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC. ◎随堂演练 1．直线a，b不在平面α内，a，b在平面α内的射影是两条平行直线，则a，b的位置关系是________． 答案：平行或异面　解析：如图，a，b为异面直线； 如图，a∥α，b∥α，则a，b为平行直线． 2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝3，过A1B且与AC1平行的平面交直线CC1于点P，则CP＝________． 答案：6　解析：延长CC1至点P，使得C1P＝CC1，连接A1P，则四边形AA1PC1是平行四边形，所以A1P∥AC1，连接PB， 因为A1P⊂平面A1BP，AC1⊄平面A1BP，所以AC1∥平面A1BP， 则平面A1BP即为所求，此时CP＝2AA1＝6. 3．如图所示，在三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1，E，F分别是AC，BC的中点，点M在AA1上，AM＝2MA1，若点N在平面ABB1A1内，且MN∥平面C1EF，则点N的位置是____________．(写出一种即可) 答案：N是线段BB1上靠近点B1的三等分点(答案不唯一)　解析：当BN＝2B1N时，连接MN，因为AM＝2A1M，所以MN∥AB， 因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB，从而MN∥EF， 又EF⊂平面C1EF，MN⊄平面C1EF，所以MN∥平面C1EF. [课时梯级训练(47)见P305] 学科网（北京）股份有限公司 $$