6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第6章　数学建模 6.4　数学建模案例（二）： 曼哈顿距离 2 (1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小； (2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小； (3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价？证明你的结论． 3 4 5 6 7 8 　　　　　　　　　　　　　 R 公路设计 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°<θ<90°)，且sinθ＝eq \f(2,5)，点P到平面α的距离PH＝0．4 km．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为eq \f(a,2)万元/km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l2＋1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB＝1．5 km，OA＝eq \r(3) km． 解　(1)如图，PH⊥α，HB⊂α，PB⊥AB， 由直线与平面垂直的判定定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡与平面α所成二面角的平面角，则∠PBH＝θ，PB＝eq \f(PH,sinθ)＝1(km)． 设BD＝x km，0≤x≤1．5． 则PD＝eq \r(x2＋PB2)＝eq \r(x2＋1)∈[1，1．8]． 记总造价为f1(x)万元， 根据题设有f1(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(PD2＋1＋\f(1,2)AD＋AO))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)x＋\f(11,4)＋\r(3)))a ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43,16)＋\r(3)))a， 当x＝eq \f(1,4)，即BD＝eq \f(1,4) km时，总造价f1(x)最小，且最小总造价为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(43,16)＋\r(3)))a万元． (2)设AE＝y km，0≤y≤eq \f(5,4)，总造价为f2(y)万元， 根据题设有f2(y)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(PD2＋1＋\r(y2＋3)＋\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,4)－y))))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(y2＋3)－\f(y,2)))a＋eq \f(43,16)a． 则f′2(y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,\r(y2＋3))－\f(1,2)))a， 由f′2(y)＝0，得y＝1． 当y∈(0，1)时，f′2(y)<0，f2(y)在(0，1)内是减函数； 当y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))时，f′2>0，f2(y)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))内是增函数． 故当y＝1，即AE＝1 km时，总造价f2(y)最小，且最小总造价为eq \f(67,16)a万元． (3)解法一：不存在这样的点D′，E′． 事实上，在AB上任取不同的两点D′，E′，为使总造价最小，E′显然不能位于D′与B之间．故可设E′位于D′与A之间，且BD′＝x1 km，AE′＝y1 km，0≤x1＋y1≤eq \f(3,2)，总造价为S万元，则S＝2,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x1,2)＋\r(yeq \o\al(2,1)＋3)－\f(y1,2)＋\f(11,4))) a．类似于(1)(2)讨论知，xeq \o\al(2,1)－eq \f(x1,2)≥－eq \f(1,16)，2,1)eq \r(y＋3) －eq \f(y1,2)≥eq \f(3,2)，当且仅当x1＝eq \f(1,4)，y1＝1同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时BD′＝eq \f(1,4) km，AE＝1 km，S取得最小值eq \f(67,16)a，点D′，E′分别与点D，E重合，所以不存在这样的点D′，E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得 S＝2,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x1,2)＋\r(yeq \o\al(2,1)＋3)－\f(y1,2)＋\f(11,4))) a ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,4))) eq \s\up12(2)a＋eq \f(1,4)[3(2,1)eq \r(y＋3) －y1)＋(2,1)eq \r(y＋3) ＋y1)]a＋eq \f(43,16)a ≥eq \f(1,4)×22,1)eq \r(3（\r(y＋3)－y1）（\r(yeq \o\al(2,1)＋3)＋y1）) ×a＋eq \f(43,16)a＝eq \f(67,16)a． 当且仅当x1＝eq \f(1,4)且3(2,1)eq \r(y＋3) －y1)＝2,1)eq \r(y＋3) ＋y1，即x1＝eq \f(1,4)，y1＝1同时成立时，S取得最小值eq \f(67,16)a， 以下同解法一． $$