第5章 概率 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第5章单元质量测评 时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.下列事件中，随机事件的个数是() ①2025年8月18日，北京市不下雨：②在标准大气压下，水在4℃时结冰：③从标有1,2， 3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0. A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件.故选B. 2.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是() A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案A 解析由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件。 3.对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的 关系是() A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥、不对立 答案C 解析，事件A,B不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件A,B的关系是互斥且对立， 4.若“AUB”发生(4，B中至少有一个发生)的概率为06，则，同时发生的概率为() A.0.6 B.0.36 C.0.24 D.0.4 答案D 解析 “AUB”发生指A,B中至少有一个发生，它的对立事件为A,B都不发生，即， 同时发生，故选D. 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 5.甲、乙两名实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为() A.12 B.512 C.14 D.16 答案B 解析设事件A=“甲加工的为一等品”，事件B=“乙加工的为一等品”，则P(A)=23,P B)=34,P()=1-23=13,P()=1-34=14,且A,B,,相互独立.设两零件中恰 有一件为一等品的概率为P,则 解法一：P=P4UB)=P(4)+P(B)=P(A)P()+P(PB=23×14+13X34=512. 解法二：P=1-P(UAB)=1-P()-PAB)=1-P()P()-PA)P(B)=1-13X 14-23×34=512 6.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 () A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 答案D 解析设2名男同学为A1,A2,3名女同学为B1,B2,B3,从以上5名同学中任选2人有A142, A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,AB2,A2B3,BB2,BB,B2B3共10种等可能的惰况，选中的2 人都是女同学的情况共有BB2,BB3,B,B33种，则选中的2人都是女同学的概率为P=310 =0.3.故选D 7.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包 ,被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气 最佳”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是() A.13 B.310 C.25 D.34 答案C 解析列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2) ，(3,2,4),(3,3,3),(3,4,2),(4,2,3),(4,3,2),(5,2,2),共有10种等可能的 情况.而丙获得“手气最佳”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的情况有(2,4,3)，(2,5 ,2),(3,3,3),(3,4,2),共4种，故所求概率为410=25.故选C. 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 8.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的 数量（单位：个），产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25，[25,30)，[30,35， 频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训圳 ,则这2名工人不在同一组的概率是( ↑须率组距 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 101520253035产品数量个 A.110 B.715 C.815 D.1315 答案C 解析根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0. 02×20=2,5×0,04×20=4.设生产产品的数量在[10,15)内的2人分别是4，B,[15,20) 内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20件产品的工人中随机选取2名工人的样本点 有(4，B),(A,C,(4,D),(4,E),(4,F,(B,C,(B,D),(B,E,B,F),(C,D), (C,E),(C,F),D,E),①，F,(E,F,共15个，且这15个样本点发生的可能性是相 等的.2名工人不在同一组的样本点有(4，C),(4,D),(4,E),(4,F),(B,C,(B,D) (B,E),(B,F),共8个，则选取的2名工人不在同一组的概率为815 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.“今天北京的降雨概率是806，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是() A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C.北京和上海都可能没降雨 D.北京降雨的可能性比上海大 答案BCD 解析概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此B,C,D正确，A错误， 10.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷 两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法() A.公平，每个班被选到的概率都为112 B.不公平，6班被选到的概率最大 C.不公平，2班和12班被选到的概率最小 3 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 D.不公平，7班被选到的概率最大 答案CD 解析设1班被选到的概率为P①，1=2,3,4，…，12，则P(2)=P(12)=136,P(3)=P(11) =118,P(4)=P(10)=112,P(5)=P(9)=19,P(6=P(8)=536,P(7)=16.故选CD. 11.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作掷骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点 数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比 赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏， 下列对这12张游戏牌的分配不合理的是() A.甲得9张，乙得3张 B.甲得6张，乙得6张 C.甲得8张，乙得4张 D.甲得10张，乙得2张 答案BCD 解析由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12，即甲、乙每局得分的概率相等， 所以继续游戏甲获胜的概率是12十12×12=34，乙获胜的概率是12×12=14.所以甲得到的 游戏牌为12×34=9（张），乙得到的游戏牌为12×14=3（张）.故选BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12.某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1~5进行了标记，投掷100 次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表： 落在桌面的数字 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 则落在桌面的数字不小于4的频率为 答案0.35 解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13+22=35，所以所求频率=35100=0. 35. 13.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问 题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问 趣的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各趣答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低 于300分的概率是 答案0.46 解析设“同学甲答对第i个题”为事件A,(=1,2,3),则P(41)=0.8,P(42)=0.6,P (43)=0.5,且A1,A2,43相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(4443)U(41343) U(4243)发生，故所求概率为P=P[444)U(A124)U(44)]=P(A424)十P(4343) 4 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 +P(44)=P(41)P42)P(A)+PA1)P(2)P4)+P(P42)P43)=0.8×0.6X0.5+0. 8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46 14.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x,如果是 奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.例如：给出 正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8一4→2一1，即按照这种运算规律进行5 次运算后得到1.若从正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则 运算次数均为奇数的概率为 答案110 解析按照题中运算规律，正整数6的运算过程为6一3→10一→5一16一8一4→2一1，运算次 数为8：正整数7的部分运算过程为7一22一11→34→17-→52→26一13→40→20→10，当运算 到10时，运算次数为10，由正整数6的运算过程可知，正整数7总的运算次数为10十6=16： 正整数8的运算次数为3：正整数9的部分运算过程为9→28→14→7，当运算到7时，运算 次数为3，由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为3+16=19：正整数10的 运算次数为6：故正整数6,7,8,9,10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数 ,从正整数6,7,8,9,10中任取2个数的惰况为(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)， (7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共10种，其中运算次数均为奇数的情况为(8， 9),共1种，故运算次数均为奇数的概率为110. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种 商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买 商品 顾客人数 100 217 × 200 √ 300 × 85 98 (1)估计顿客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率： (③)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2. (2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁 中同时购买3种商品的概率可以估计为100十2001000=0.3. (3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000=0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001000=0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000=0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 16.(本小趣满分15分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况， 数据如下表（单位：人）： 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率： (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学B,B2,B,.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B, 未被选中的概率， 解(1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A, 则P4)=8+2+545=13. 所以该同学至少参加上述一个社团的概率为13。 (2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有(41，B),(41,B2),(41,B), (42,B1),(A2,B2),(A2,B3),A3,B),(A3,B2),A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(44B) (A5,B),45,B2),(45,B),共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的.其中A1 被选中且B1未被选中的有(41，B2),(A1,B)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为 P=215 17.(本小题满分15分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字1,2,3，这三张卡片除标 记的数字不同外其他完全相同，现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上 的数字依次记为a,b,c (I)求“抽取的卡片上的数字满足a十b=c”的概率： (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 解(1)由题意，(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1 ,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3), 6 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (2,2,1):(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,10(3,1,2) ，(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27 种，且这27种结果发生的可能性是相等的. 设“抽取的卡片上的数字满足a十b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2， 1,3),共3种，所以P(4)=327=19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a十b=c”的概率为 19. (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1)，(2,2 ,2),(3,3,3),共3种，所以P(B)=1一P()=1一327=89.因此，“抽取的卡片上的数字 a,b,c不完全相同”的概率为89， 18.(2024新课标川卷改编)（本小题满分17分）菜投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名 队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中， 则该队被淘汰，比赛成绩为0分：若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名 队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某 参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为P,乙每次投中的概率为9，各次投中 与否相互独立 (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概 率； (2)假设0pq,为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶 段比赛？ 解(I)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至 少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率 P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. (2)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1一(1一) 3]g3, 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1一(1一9) 3p3, ∵0pq ∴.P甲-P乙=q3-(g-pq-p3+p-pg)}3 =(q-P)(g2+pg+pP2)+(-q)p-9)2+(q-pq)2+-p9)(q-p9】 =(p-q(3p2q2-3p2q-3pq2 7 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 =3pqp-q)p9-p-q)=3pq0-9q(1-p)1-9)-1小0， P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛. 19.(本小题满分17分)一汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两 种型号，某月的产量（单位：辆如下表： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 标准型 300 450 600 按类以相同比例通过分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10 辆. (1)求z的值： (②)以相同比例通过分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一 个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率： (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9,4,8.6,9. 2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数， 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意，得50m=10100+300, 所以n=2000. 则z=2000-(100+300)-(150+450)-600=400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 由题意，得4001000=a5,即a=2, 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车， 用A1,A2表示2辆舒适型轿车，用B1,B2,B,表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该 样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Q={41,A2),(41, B),(41,B2,(A1,B),42,B1),42,B2),(42,B),(B1,B),(B1,B),(B2,B)},共 10个等可能的样本点. 事件E包含的样本点有(41，A2,(41,B1),(41,B2),(A1,B),(A2,B),(42,B2,(42,B), 共7个. 故P(E=710, 即所求概率为710. (3)样本平均数=18×(9.4+8.6十9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则样 8 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 本空间中共有8个等可能的样本点，事件D包含的样本点为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3 ,9.0,共6个， 所以PD)=68=34,即所求概率为34. 9