第4章 立体几何初步 章末复习-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 章末复习 量知识系统整合 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 基木立体图形的结构持征 柱，维。台，球的结构特征 向儿何体 空间几何体的直规图 斜二测撕法 简单儿何体的表面积与体积 平面的气念及表示方法 平面 平面的基本事实和推论 确定平面的条件 用符号语言描述点，线、平面之间的关系 相交直线 几何初步 共面直钱 空间中直线与直 平行直线 线的位置关系 异面直线 在平面内 空闻点、直线，平 空间中直线与平面的位置关系 面之间的位置关系 相交 空间点、直线、平面之间的位置关系 平行 平行 空间中平面与平面之间的位置关系 相交 直线与直线平行 直线与平面平行的判定 直线与平面平行 空间直线、平面的平行 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的判定 平而与平面平行 平面与平面平行的性质 两个平行平面间的距离 雀线与直线垂直 异面直线所成的角 线与平面垂直的判定 线与平面垂直的性质 空间直线。平面的垂直 直线与平面垂直 点到平面的距离 直线与平面的臣离 线与平面所成的角（线面角） 三逾角 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直的性质 堵点自记： 2规律方法收藏 1.对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何 2 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c9m● 您身边的互联网+教辅专家 体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好立体图形的直观图， 2.在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲（折）为直”（将几何体表面展 开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题 3,直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”，这里的“线线”指的 是“一条直线和平面内的两条相交直线”：“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的 平面.判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都 与已知直线垂直即可 4.判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义：②利用判定定理：③与平行关系联合 运用，即若a∥b,且a⊥a,则b⊥a. 5.两平面相交成直二面角时，两平面垂直.作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又 是两个平面垂直定义的基础，同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是 多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一，对于本节内容及相关问题应 引起足够重视 6.二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上：②角的两边分别在二 面角的两个半平面内：③角的两条边分别与二面角的棱垂直.准确、恰当地作出二面角的平 面角，是解答有关二面角问题的关键。作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法，这里 要注意角的顶点的恰当选取：②垂面法：③垂线法.当二面角的棱未给出时，首先要作出二 面角的棱，再利用上述办法作出平面角 7,面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角 为直角：二是利用面面垂直的判定定理， 8.转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明 线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、 面面垂直的相互转化： 学科素养培优 一、简单几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料 最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台， 在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、 圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用，割补法、构造法是常用的技巧. [典例1]己知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥 O一ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？ 解如图所示，当点C位于垂直于平面OAB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大. 3 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设球O的半径为R,此时 'a-4e='c.o4a=XR2.R==36. .R=6. ,球0的表面积为S=4πR2=144π. 二、空间中的位置关系 空间中两直线的位置关系 空间中线与面的位置关系 空间中两个平面的位置关系 [典例2]已知m,n是不同的直线，a,B是两个不重合的平面.给出下列结论： ①若m∥a,则m平行于平面a内任意一条直线： ②若a∥B,mCa,nCB,则m∥ ③若m⊥a,n⊥B,mn,则a∥B: ④若a∥B,mca,则m∥B. 其中正确的结论的序号是 (写出所有正确结论的序号). 解析若m∥a,则m平行于过m的平面与a相交的直线，并非所有的直线，故①错误；若 a∥B,mca,nCB,则可能m∥n,也可能m,n异面，故②错误，③④正确 答案③④ 三、平行问题 立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证 明线线平行，由线面平行（或垂直）的性质定理也可以证明线线平行：根据线线平行可以得出 两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等：二是线面平行，由线面平行的定义和判定定 理可证明线面平行：三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直 于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行：由面面平行可以得出 线面平行和线线平行.平行关系的转化如图所示. 判定 判定 线线平行性质线面平行 判定 面面平行 定义及性质 性质 [典例3]如图，四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA= BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点. 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (I)证明：MN∥平面PAB: (2)求四面体N-BCM的体积. 解(1)证明：由已知得AM=AD=2. 如图，取BP的中点T,连接AT,TN, 由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN铗AM, 所以四边形AMNT为平行四边形， 所以MN∥AT. 因为ATc平面PAB,MN女平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA. 如图，取BC的中点E,连接AE 由AB=AC=3得 AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距离为， 故S△Cw=X4×=2. 所以四面体N-BCM的体积 VN-BCM=SARCM = 四、垂直问题 空间中垂直关系的相互转化 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 线线垂面 线而面警面商奉到 定义 件质 判定线面垂直的常用方法 ()利用线面垂直的判定定理： (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”： (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”： (4)利用面面垂直的性质。 判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法： (2)线面垂直的定义：a⊥a,bca=a⊥b: (3)线面垂直的性质：a⊥a,bla=a⊥b. 判定面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角： (2)判定定理：aca,a⊥B=a⊥B. [典例4如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的 中点，DE⊥AP于点E. (I)求证：AP⊥平面BDE: (2)求证：平面BDE⊥平面BDF: (3)若AE:EP=1:2,求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比. 解(I)证明：PC⊥底面ABC,BDc平面ABC,∴PC⊥BD AB=BC,D为AC的中点，BD⊥AC 又PCnAC=C,PCc平面PAC,ACc平面PAC,∴，BD⊥平面PAC. 又APc平面PAC,.BD⊥AP 又DE⊥AP,DE∩BD=D,DEC平面BDE,BDc平面BDE, ,∴.AP⊥平面BDE (2)证明：D,F分别为AC,PC的中点， ∴.DFAP ,AP⊥平面BDE,∴DF⊥平面BDE, 6 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ,DFC平面BDF, ∴，平面BDE⊥平面BDF (3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为h,和h2, 则h,:h2=EP:AP=2:3, = == 故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分体积的比为1：2. 五、线线角、线面角和二面角问题 两条异面直线所成的角的范围是，找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两 条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角，特别 地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到. 直线和平面所成的角的范围是.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角. 当线面角为0时，直线与平面平行或直线在平面内：当线面角为90°时，直线与平面垂直. 如果求两个相交平面所成的二面角，除垂直外，均有两个答案，即日或180°一0.具体几何 体中，由题意和图形确定，作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构 造二面角的平面角.一般常用：(1)定义法；(2)垂面法 求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题.求角度的解 题步骤：(1)找出这个角：(2)证该角符合题意：(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形， 求出角。 [典例5]如图，PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PD=DC=2,BC=2. (1)求PB与平面ADC所成的角的大小： (2)求异面直线PC,BD所成角正弦值. 解(I)因为PD⊥平面ABCD, 所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角， 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC, 所以BD=2,tan∠PBD==, 所以∠PBD=30°， 即PB与平面ADC所成的角的大小为30°. 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)取PA的中点G,连接OG,DG,如图， 显然OG∥PC,所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC,BD所成的角， 因为OG=PC=,OD=BD=,DG=PA=,所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求 出sin∠DOG=, 所以异面直线PC,BD所成角的正弦值为 [典例6]如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O,PO=,⊙O的直径AB=2,C是AB的 中点，D为AC的中点 (I)证明：平面POD⊥平面PAC: (2)求二面角B一PA一C的余弦值。 解(1)证明：如图，连接OC. ,POL底面⊙O,ACc底面⊙O,AC⊥PO. OA=OC,D是AC的中点，AC⊥OD 又ODn PO=O,ODc平面POD,POc平面POD,,AC⊥平面POD. 又ACC平面PAC, ∴.平面POD⊥平面PAC. (2)在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H. 由(I)知，平面POD⊥平面PAC,且交线为PD,OHc平面POD, ∴.OH⊥平面PAC 又PAc平面PAC,∴PA⊥OH. 8 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c9m● 您身边的互联网+教辅专家 在平面P4O中，过点O作OG⊥PA于点G, 连接HG,则OHn OG=O,OHc平面OGH,OGc平面OGH,,.PA⊥平面OGH, 又HGc平面OGH,∴.PA⊥HG. 故∠OGH为二面角B-PA-C的平面角 ,C是AB的中点，AB是直径，∴.OC⊥AB 在Rt△ODA中，OD=O4X sin45°=. 在Rt△POD中， OH== ==. 在Rt△POA中， OG====. OH⊥平面PAC,GHc平面PAC, ∴.OH⊥GH. 在Rt△OHG中，sinm∠OGH= ==, .cos∠OGH===. 故二面角B-PA-C的余弦值为 9