4.5.1 几种简单几何体的表面积（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.1　几种简单几何体的表面积 基础过关练 题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.(2025上海七宝中学月考)已知一个直三棱柱的高为2,其底面ABC水平放置的直观图(斜二测画法)为△A'B'C',如图,其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为(　　) A.4+4　　B.8+4 C.8+4　　D.8+8 2.(2024甘肃平凉静宁文萃中学期末)已知一个正棱台(正棱台的两底面是两个相似正多边形,侧面是全等的等腰梯形)的上、下底面是边长分别为4,6的正方形,侧棱长为,则该棱台的表面积为(　　) A.72　　B.82　　 C.92　　D.112 3.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2,则该四棱锥的表面积为(　　) A.4　　B.4 C.4+4　　D.4+4 4.(2025河南郑州第二高级中学期中)正方体的八个顶点中,有四个恰好为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积的比值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11. (1)求这个四棱锥的侧棱长; (2)求这个四棱锥的表面积. 6.等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图,将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的三个点截去一个正三棱锥,如此共截去四个正三棱锥,若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体,且每个正六边形的面积为2,求原正四面体的表面积. 题组二　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 7.(2025河北唐山滦南期中)已知圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形,则此圆柱的侧面积为　(　　) A.4　　B.6　　C.6π　　D.4π 8.若过球的球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是　(　　) A.　　B.　　C.　　D.2πC2 9.(2025湖南沅澧共同体期中)亭是一种中国传统建筑,它是赏景的场所,也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭,其顶层部分可以看作一个圆锥以及一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭的圆台部分的轴截面如图2所示,则该圆台部分的侧面积为　(　　) 　 A.3.6π m2　　B.3.8π m2　　C.4.2π m2　　D.5.4π m2 10.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上,另外的四个顶点在圆锥的侧面上(如图),则圆锥与正方体的表面积之比为(　　) A.(+1)2π∶6　　B.(+1)3π∶12 C.(+1)3π∶24　　D.以上答案都不对 题组三　组合体的表面积 11.(2024辽宁大连模拟)一个陀螺的直观图如图,已知圆柱体部分的高BC=6 cm,底面直径AB=12 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是(　　) A.(72+12)π　　B.(84+24)π　　 C.(108+12)π　　D.(108+24)π 12.(2025江苏无锡太湖高级中学期中)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积为(　　) A.π　　B.π或(1+)π C.2π　　D.2π或(2+)π 13.(2025云南曲靖一中沾益清源学校开学考试)某工厂需要制作一个模型,如图所示,该模型为长方体ABCD-A'B'C'D'挖去一个四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为其所在棱的中点,AB=BC=8,AA'=6,那么该模型的表面积为　　　　.  14.某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元? 能力提升练 题组一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.(2025河北承德双滦实验中学月考)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1上一点,AB=BB1,2BD=B1D,平面ACD将三棱柱截为两部分,则上、下两部分几何体的表面积的比值为(　　) A.　　B. C.8　　D.9 2.如图,正四面体A-BCD的棱长为2,在AB上有一动点E,过E作平行于底面BCD的截面,以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱,则该正三棱柱侧面积的最大值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 3.(2024广东汕头潮阳一中明光学校月考)在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=,且PA=PB=2,PC=4,则该三棱锥的表面积为(　　) A.5+　　B.3+2 C.5　　D.5 4.(2025重庆涪陵第一中学月考)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得的棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,若截去的小正棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为　　　　.  5.(2023福建联考期中)如图,在三棱台ABC-DEF中,AB=BC=CA=2DF=2,FC=1,∠ACF=∠BCF=90°, G为线段AC的中点,H为线段BC上的点,BD∥平面FGH. (1)求证:H为线段BC的中点; (2)求三棱台ABC-DEF的表面积. 题组二　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 6.已知圆柱的轴截面为正方形,其外接球为球O,则圆柱的表面积与球O的表面积之比为(　　) A.3∶4　　B.1∶2 C.3∶8　　D.不能确定 7.(2025山东青岛第九中学期中)已知圆台的上、下底面半径分别为1,3,侧面展开图是半个圆环,则圆台的表面积为(　　) A.6π　　B.16π　　C.26π　　D.32π 8.(多选题)(2024河南郑州月考)如图,底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥恰好滚动了3周,则　(　　) A.圆锥的母线长为3 B.圆锥的表面积为36π C.圆锥的侧面展开图的圆心角为60° D.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行的最短距离为9 9.蹴鞠,又名“蹴球”“蹴圆”等,“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球(见下图),因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,类似今日的踢足球活动.已知各顶点都在某“鞠”的表面上的正四棱柱的底面边长为a,高为h,球的表面积为36π,则这个正四棱柱的侧面积的最大值为　　　　.  题组三　组合体的表面积 10.(2025河南期末)“牟合方盖”是指由两个相同的圆柱成直角相交而得到的公共部分对应的几何体,如图(1),若圆柱的底面半径为r,则组成的牟合方盖的表面积为16r2.现有底面半径为1,高为3的两个圆柱成直角相交形成一个“十字”几何体,如图(2),则该几何体的表面积为(　　) 　　 A.16π-16　　B.16π+16　　 C.8π-16　　D.8π+16 11.(2024海南海口部分学校期中)球面被平面所截后剩下的曲面叫作球冠(如图1),截得的圆面叫作球冠的底,垂直于圆面的直径被截得的线段叫作球冠的高.若球的半径为R,球冠的高为h,则球冠的表面积为2πRh.某同学制作了一个工艺品,如图2所示,该工艺品可以看作一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π,则该工艺品的表面积为(　　) 　　 A.20π　　B.(24-34)π　　 C.16π　　D.12π 12.(2023湖北武汉华中师大一附中期末)有一塔形组合体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,求该塔形组合体的表面积(含最底层正方体的底面积). 答案与分层梯度式解析 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 4.5.1　几种简单几何体的表面积 基础过关练 1.C 2.C 3.C 4.B 7.D 8.C 9.B 10.B 11.C 12.B 1.C　由斜二测画法可得△ABC如图所示,其中OA=2,OB=OC=1,所以AB=AC=,所以所求三棱柱的表面积为2××2×2+(2+2)×2=8+4. 2.C　设该棱台侧面的高为h,则h==2, 所以S侧=4××(4+6)×2=40, 又棱台的上、下底面面积之和为42+62=52, 所以该棱台的表面积为40+52=92. 3.C　依题意,正四棱锥的底面正方形的面积为4,四个侧面是全等的等边三角形,每个等边三角形的面积为×22=,所以该正四棱锥的表面积为4+4. 4.B　设正方体的棱长为a,则正四面体的棱长为a,正方体的表面积为6a2, 正四面体的表面积为4××(a)2sin =2a2, 两者的比值为=. 5.解析　(1)在Rt△SOM中,OM===. 在Rt△SBM中,SM=11,BM=OM=, ∴侧棱长SB===. (2)结合(1)得,SS-ABCD侧=4××BC×SM=4××2×11=44,SS-ABCD底=BC2=(2)2=228, ∴SS-ABCD表=44+228. 6.解析　设正六边形的边长为a,根据题意有6×a2=2,可得a2=, 由题意可知,原正四面体的棱长为3a, 故原正四面体的表面积S=×(3a)2×4=12. 7.D　由题意可知圆柱的底面直径和高均为2,则底面半径为1, 故圆柱的侧面积为2π×1×2=4π. 8.C　设过球心的圆面的半径为R,则球的半径为R.由2πR=C,得R=,∴球的表面积S=4πR2=. 9.B　由题图2知,圆台的上底面直径为3 m,下底面直径为4.6 m,高为0.6 m, 过点A作AE⊥CD,垂足为E,过点B作BF⊥CD,垂足为F, 则DE=CF==0.8 m, 故AD=BC==1 m, 故该圆台部分的侧面积为×π×(3+4.6)×1=3.8π m2. 10.B　设圆锥底面半径为r,正方体的棱长为a, 如图,由圆锥轴截面是等腰直角三角形,得PF=DF=r, 因为=,所以a=(2-)r, 所以圆锥的表面积S1=×2πr×r+πr2=(+1)πr2, 正方体的表面积S2=6a2=6[(2-)r]2=12(3-2)r2, 所以===π,故S1∶S2=(+1)3π∶12. 11.C　由题意可知圆锥体部分的母线长为=2 cm, 所以这个陀螺的表面积是π×62+2π×6×6+π×2×6=(108+12)π cm2. 12.B　需要分类讨论,一种是绕直角边所在直线旋转,另一种是绕斜边所在直线旋转. 如果绕直角边所在直线旋转,那么形成的几何体是圆锥,圆锥的底面半径r=1,高h=1,母线长l==, 故所形成的几何体的表面积为πrl+πr2=π×1×+π×12=(1+)π; 如果绕斜边所在直线旋转,那么形成的几何体是由两个圆锥组合而成的,每个圆锥的底面半径都等于直角三角形斜边上的高,则半径R=,两个圆锥的母线长都等于直角三角形的直角边长,即母线长L=1, 故所形成的几何体的表面积为2πRL=2π××1=π. 综上所述,所形成的几何体的表面积为π或(1+)π. 13.答案　288+8 解析　由题意可得OE=OF=OG=OH==5,HG=FG=EF=EH==4, 故S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=×4×=2, 故该模型的表面积为4×8×6+8×8+4××4×4+4×2=288+8. 14.解析　因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形, 所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=A2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300 cm2. 又四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, 所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=A1+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120 cm2. 于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420 cm2, 又0.2S=0.2×2 420=484元, 故所需加工处理费为484元. 能力提升练 1.A 2.A 3.A 6.A 7.C 8.BD 10.A 11.B 1.A　该几何体被平面ACD截得的上部分几何体的表面包括一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形,下部分几何体的表面包括两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形. 设AB=6,则BD=2,AD==2, 在△ACD中,AC边上的高h==, 则上部分几何体的表面积S上=×6×6×sin 60°+×6×+×6×(6+4)×2+62=9+3+96, 下部分几何体的表面积S下=×6×2×2+×6×+×6×6×sin 60°=9+3+12, 故上、下两部分几何体的表面积的比值为=. 2.A　过点E的正三棱柱如图所示,设其上、下底面的中心为O,O',底面边长为x,x∈(0,2), 由题意可知△AEG为正三角形,故AE=EG=x, 所以BE=2-x, 连接O'B,易知E'在O'B上,O'B=××2=, O'E'=×x=, 故BE'=O'B-O'E'=-, 所以EE'== =(2-x), 故该正三棱柱的侧面积S=3×(2-x)x=(2-x)·x=(-x2+2x)=-(x-1)2+, 所以当x=1时,S取得最大值,为. 3.A　因为PA=PB=2,∠APB=,所以△PAB为等边三角形,所以AB=2,所以S△APB=×2×2×sin =, 在△PBC中,PB=2,PC=4,∠BPC=,所以由余弦定理得BC2=PC2+PB2-2PB·PCcos∠BPC=16+4-2×2×4×=12,所以BC=2,同理可得AC=2, 因为BC2+PB2=PC2,AC2+PA2=PC2, 所以AC⊥AP,BC⊥BP, 所以S△APC=S△BPC=×2×2=2. 取AB的中点M,连接CM,则AM=BM=1, 因为AC=BC=2,所以CM⊥AB, 由勾股定理得CM==, 故S△ABC=AB·CM=, 所以该三棱锥的表面积S=5+. 4.答案　5+3 解析　正四棱锥如图所示,设截面为四边形A1B1C1D1, 由题意可知,四边形A1B1C1D1与四边形ABCD相似且面积之比为1∶4,则===,又PA1=PB1=2,所以PA=PB=4,从而AA1=BB1=2,由AB=2,可得A1B1=1,作B1E⊥AB于E,则B1E为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的斜高,易得B1E==.故此棱台的表面积为1×1+2×2+4××(1+2)×=5+3. 5.解析　(1)证明:连接CD,设CD∩FG=O,连接HO,DG, 因为BD∥平面FGH,BD⊂平面CBD,且平面CBD∩平面FGH=HO,所以BD∥HO, 易得四边形DFCG是正方形,所以O是CD的中点,所以H为线段BC的中点. (2)因为AB=BC=CA=2,所以△ABC为等边三角形, 所以△DEF也为等边三角形,且EF=DE=DF=1, 则S△DEF=×DE2=,S△ABC=×AB2=, 又因为∠ACF=∠BCF=90°,所以侧面ADFC和侧面EFCB均为直角梯形,且FC=1, 设侧面ADFC的面积为S1,则S1=×(1+2)×1=, 连接EH,易得侧面ADEB为等腰梯形,其中DE=1,AB=2,且AD=BE==, 过点E作EM⊥AB,垂足为M,可得EM===, 设侧面ABED的面积为S2,则S2=×(1+2)×=, 所以三棱台的表面积S=++2×+=++3. 6.A　因为圆柱的轴截面为正方形,所以设圆柱底面半径为r,其高h=2r,其外接球的半径R==r,则圆柱的表面积S1=2πr2+2πr·2r=6πr2,球O的表面积S2=4πR2=8πr2, 故圆柱的表面积与球O的表面积之比为S1∶S2=3∶4. 7.C　设圆台的上、下底面半径分别为r',r,则r'=1,r=3, 设圆台的母线长为l,扇环所在的小圆的半径为x, 依题意有解得 所以圆台的表面积S=π(r+r')l+πr2+πr'2=16π+9π+π=26π. 8.BD　设圆锥的母线长为l,则以S为圆心,SA为半径的圆的面积为πl2,圆锥的侧面积为3πl, 因为圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥滚动了3周(相当于侧面展开了3次), 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为°=120°,πl2=3×3πl,解得l=9,故A,C错误; 圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π,故B正确; 将圆锥沿SA展开,如图,连接AA',则△ASA'为等腰三角形, 所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'=2×9×sin 60°=9,故D正确. 9.答案　36 解析　设球的半径为R,则4πR2=36π,∴R=3. ∵正四棱柱底面正方形外接圆的半径r==a,且R2=r2+,∴==,解得h=,∴正四棱柱的侧面积S=4ah=4a=, ∵2a2(36-2a2)≤=324, 当且仅当2a2=36-2a2,即a=3时,等号成立, ∴S≤=36,当且仅当a=3时,等号成立, 故这个正四棱柱的侧面积的最大值为36. 10.A　由题可知该几何体的表面积等于两个圆柱的表面积的和减去对应的牟合方盖的表面积, 即为2×(2×π×12+2π×1×3)-16×12=16π-16. 11.B　设截面圆的半径为r,球的半径为R,球冠的高为h, 易知球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2, 因为截面圆的周长为2π,所以2πr=2π,解得r=1,故R2=22+12=5,得R=, 所以球的表面积S=20π,h=R-2=-2, 则所截的一个球冠的表面积S1=2πRh=2π××(-2)=10π-4π, 又一个截面圆的面积为π×12=π, 所以工艺品的表面积S'=S-6S1+6π=20π-60π+24π+6π=(24-34)π. 12.解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1. 考虑该组合体在水平面的投影,可知其在水平面的投影面积与最大正方体的一个底面的面积相等, ∴该塔形组合体的表面积S=2×22+4×[22+()2+12]=36. 7 学科网（北京）股份有限公司 $