4.5.1 几种简单几何体的表面积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

4.5.1　几种简单几何体的表面积 [课时跟踪检测] 1.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为 (　　) A.2 B.3 C.1 D. 解析：选A　设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以S表=πr2+πrl=12π，即 r2+4r-12=0，解得r=2或 r=-6(舍去). 2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小的底面半径为 (　　) A.7 B.6 C.5 D.3 解析：选A　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π，解得r=7. 3.已知长方体的长、宽、高分别为3，2，2，其八个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 (　　) A.π B.17π C.7π D.π 解析：选B　因为长方体的长、宽、高分别为3，2，2，所以长方体外接球的直径为2R==，可得R=.因此该球的表面积为4πR2=4π×=17π. 4.已知长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选D　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积S=S侧+2S底=2(a+b)·c+2ab=11，即ab+bc+ca=.　① 又十二条棱长度之和为4(a+b+c)=24，即a+b+c=6，　② 由②2-2×①，得a2+b2+c2=36-11=25.所以长方体的一条体对角线长为=5. 5.如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的表面积为 (　　) A.36π B.27π C.18π D.9π 解析：选A　设圆锥的母线长为l，以S为圆心，母线l为半径的圆的面积为S圆=πl2， 又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=3πl， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2=3×3πl，解得l=9. 所以圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=3×π×9+π×32=36π.故选A. 6.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为 (　　) A. B.2 C. D. 解析：选B　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的正四棱锥的侧面积之和，如图，正四棱锥的侧棱长l==1，故以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为8××1×1×sin 60°=2.故选B. 7.在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中，E，F分别是棱BC，A1C1的中点，若异面直线AA1与EF的夹角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　如图，取AC中点D，连接FD，DE，又在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中，E，F分别是棱BC，A1C1的中点，则DF∥AA1，且DF⊥平面ABC. 又直线AA1与EF的夹角是45°， 则直线DF与EF的夹角是45°， 故Rt△EDF为等腰直角三角形. 不妨设DE=DF=x，则AB=2x， 则S侧=(AB+BC+AC)×AA1=6x·x=6x2， S底=2××2x×2x×=2x2， 故====.故选D. 8.柷(zhù)，是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎(木棒)撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某柷(含底座)高60 cm，上口正方形边长70 cm，下口正方形边长54 cm，底座可近似地看作是底面边长比下口边长长4 cm，高为16 cm的正四棱柱，则该柷(含底座)的侧面积约为(≈2.236) (　　) A.12 960 cm2 B.14 803 cm2 C.16 800 cm2 D.18 240 cm2 解析：选B　如图，在正四棱台中，连接AC，A1C1，过点A，C分别作AE⊥A1C1，CF⊥A1C1，交A1C1于点E，F， 依题意AB=54 cm，A1B1=70 cm，AE=CF=60-16=44 cm， 则A1E==8cm， 所以AA1== cm. 所以正四棱台的斜高为=20 cm. 所以正四棱台的侧面积S1=4××20=4 960≈11 090.56 cm2. 又正四棱柱的侧面积S2=4×(54+4)×16=3 712 cm2， 所以该柷(含底座)的侧面积约为11 090.56+3 712=14 802.56≈14 803 cm2.故选B. 9.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ=30°，侧棱长为，则 (　　) A.正四棱锥的底面边长为6 B.正四棱锥的底面边长为3 C.正四棱锥的侧面积为24 D.正四棱锥的侧面积为12 解析：选AC　如图，在正四棱锥S⁃ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a>0)，因为∠SHO=30°，所以OH=a，OS=a，SH=a.在Rt△SAH中，a2+=21，所以a=3，底面边长为6，侧面积为S=×6×2×4=24.故选AC. 10.(多选)生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切.则下列命题正确的是 (　　) A.圆台的母线长为4 B.圆台的高为4 C.圆台的表面积为26π D.球O的表面积为12π 解析：选ACD　设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆O的半径为R，圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB， 故∠OAD+∠ODA=，∠DOA=，OE⊥AD， 故R2=r1r2=3，解得R=. 故圆台的高为2R=2，母线长为r1+r2=4，圆台的表面积为π(12+32)+π(1+3)×4=26π，球O的表面积S=4πR2=12π. 11.（5分）将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为　　　　　.  解析：由已知可得该几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的，如图，所以该几何体的表面积S=2+2××π×12+×2π×1×1=2+. 答案：2+ 12. （5分）鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙.鲁班锁玩具种类比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为　　　　　　.  解析：由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为S=6×+8××2×=8(6+6+). 答案：8(6+6+) 13. （5分）如图，将一个圆柱2n(n∈N+)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为　　　　　　.  解析：显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积， 设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh=10， 所以圆柱的侧面积为2πrh=10π. 答案：10π 14. （5分）电镀螺杆(尺寸如图，单位：mm)，如果每平方米用锌0.11 kg，电镀100个这样的螺杆需要锌　　　　 g?(π取3.14，≈1.73，结果精确到0.1 g)  解析：由题图知螺杆的上部为一个圆柱，下部为一个正六棱柱，圆柱的侧面积为S圆柱侧=2π×5×25=250π(mm2)，正六棱柱的侧面积为S正六棱柱侧=6×5×12=360(mm2)，正六棱柱的底面面积为S正六棱柱底=2×6××122=432(mm2)，∴螺杆的表面积为S=250π+360+432≈1 892(mm2).∴100个这样的螺杆的表面积为 100S=100×1 892=189 200(mm2)=0.189 2(m2). ∴电镀100个这样的螺杆需要锌0.189 2×0.11≈0.020 8(kg)=20.8(g). 答案：20.8 学科网（北京）股份有限公司 $