专题突破 一次函数图象问题-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：一次函数图象问题 常用知识 函数 k b 经过的象限 y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 y随x的增大而减小 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 y随x的增大而减小 题型一 一次函数图象的识别 【例1】（八年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象的分布，确定k的符号，交点的位置，一致的就是正确的，解答即可． 本题考查了图象的分布，熟练掌握图形分布是解题的关键． 【详解】解：A.根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； B. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； C. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项正确；     D. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于正半轴， 故该选项错误； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，由图象判断代数式的正负，再化简即可，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可得当时，， 当时，， ， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．先根据题意得出m的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限． 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东威海·期末）直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故A不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，一致，故B符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故C不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故D不合题意； 故选：B． 【变式1-4】（2025八年级下·全国·专题练习）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与函数解析式的关系式，是解题的关键．利用一次函数图象与，的关系，逐项判断即可． 【详解】解：、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故A错误； 、如果过第一、二、三象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故B错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，故C正确； 、如果过第二、三、四象限的图象是的图象，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故D错误． 故选：C． 题型二 一次函数的增减性 【例2】（24-25八年级上·福建宁德·期中）已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键．根据一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可． 【详解】解：∵点在直线上， 且中，随的增大而减小， ， ，①正确． 若， 当时，，时，，， 则不一定成立，故②错误． 若， 当时，满足， 而此时，则不一定成立，故③错误． 若，且， 且中，随的增大而减小， ，， ， ，故④正确． 正确结论的序号是①④． 故答案为：①④． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，解答的关键是熟知一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．据此得到即可求解． 【详解】解：由题意，，解得， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级下·海南·阶段练习）若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：， 一次函数，随的增大而减小， 点都在一次函数的图象上， ∴． 故选：C． 【变式2-3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数值的比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的性质，可知当时，y随x增大而减小，由此即可得答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点，都在一次函数的图象上， ， ∴， 故答案为：． 【变式2-5】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．先求得一次函数的增减性，即可得出． 【详解】解：一次函数的图象经过点、，且， 一次函数随的增大而增大， 故答案为：． 题型三 一次函数图象的平移 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，得到， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的值相等列式进行计算即可得解，熟记并利用平行直线的解析式的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得：或， 当时，两直线重合，舍去， 故选：C． 【变式3-3】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 【详解】解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 【变式3-4】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位， 得到直线， 把点代入， 得， 解得，． 故选：B． 【变式3-5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 【变式3-6】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键． （1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可； （2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴． （2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值， ∴函数的图象在的图象和的图象之间， ∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0， ∴，． 【变式3-7】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理； （1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 题型四 一次函数图象中的面积问题 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点A顺时针旋转后得到线段AC，连结． (1)当时，求点C的坐标； (2)当m值发生变化时，的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当时，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，请直接写出满足条件的所有P点的坐标． 【答案】(1) (2)不变，的面积为： (3)或或或 【分析】（1）先求出，两点坐标，再过A作轴，过C作于E，过B作于F，求出，得到点C的坐标即可； （2）由（1）可知当m值变化时，始终都有，根据三角形面积公式即可得答案； （3）根据三角形的面积求出长，然后根据勾股定理得到长，然后分为三种情况列方程解题即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，当时，， ，， 过A作轴，过C作于E，过B作于F， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：不变； 当时，， 直线一定经过点， 当时，， ， 由得：， ， 的面积为：； （3）解：， ， ， ， 是等腰三角形， 当时，或， 当时，， 当时，作AB的垂直平分线PD交AB于点D，交y轴于点P，如图所示： 设， 则，， ， 解得：， ， P的坐标为：或或或 【变式4-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． （1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）根据三角形面积公式即可得出答案 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点， ，， ，， 两函数解析式联立，得， 解得：， ； （2）观察图象，时x的取值范围是． （3），，， ，点到轴的距离为， ． 【变式4-2】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质． （1）利用直线的解析式求出点，利用待定系数法将，代入求解即可得出直线的解析式； （2）利用点的坐标求出底边的长度，假设出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，进行求解即可得到点的坐标； （3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函数值比较大． 【详解】（1）解：∵将代入得， 解得， ∴ 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∴, 假设点的坐标为， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或； （3）解：根据函数图象可得， 在点和点之间的图象，满足的图象在的图象的下方，且点是直线与的交点，交点坐标为0，即， ∴当时，， 即不等式的解集为． 【变式4-4】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等． （1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解； （2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可； （3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，即， 解得， 令，则， 故点A、B的坐标分别为、； （2）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 即的面积为6； （3）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为面积的2倍， ∴，即， 解得， 点P的坐标为或． 【变式4-5】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． (1)求直线和直线的解析式； (2)若，求点M的坐标； (3)若，求点M的坐标． 【答案】(1)解析式：；解析式： (2) (3) 【分析】（1）先把点坐标代入求出的值，从而得到直线的解析式为，然后求出点坐标，接着利用三角形面积公式计算出，即可得到的坐标，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据得出，则直线的解析式为，联立直线的解析式，即可求解； （3）连，由已知得，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴, 解得：， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入得，， 解得：， 的解析式为：，直线的解析式为； （2）解：， ， ，将代入得：， 设直线的解析式为， ∴，解得：， 直线的解析式为， 由得． ； （3）解：连接，由已知得， ，将代入得 ． 【变式4-6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)方程组的解为 ； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，解二元一次方程，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式． （2）运用代入消元法即可解二元一次方程组； （3）计算出，设的坐标为，根据用含m的代数式表示出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：（1）将点的坐标代入，得， 点A的坐标为． 将点，的坐标分别代入， 得 解得； 直线的函数表达式为； （2）解： 把①代入②得 解得： 把代入①得 ∴； （3）由题意知． 设点的坐标为， 则， 解得或． 点的坐标为或． 【变式4-8】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，P的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识． （1）用待定系数法可得正比例函数的表达式为； （2）求出，，，即可得； （3）分两种情况：当P在上时，设，，当P在射线上时，设，，解方程可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴， ∴， 即的面积为12； （3）解：存在点P，使的面积是的面积的， 当P在上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得， ∴； 当P在射线上时，设， ∵的面积是的面积的， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 题型五 一次函数与几何的综合 【例5】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 【变式5-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一次函数与轴、轴分别交于，两点，则，，故有，由，从而得出，绕点顺时针时针旋转至，连接，所以，，，，则有，，通过三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质得，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵一次函数与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，绕点顺时针旋转至，连接， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （）当，时，当，时，当，时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，当，时，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点， 同理得：， ∵点，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，当，时，过作轴于点，过作交于点， 同理得：， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【变式5-4】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）把转化为k的一元一次方程无数解问题求解即可； （2）先证明，确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，代入求解即可； （3）过A作于点N，先证明，设的解析式为，设的解析式为，求得解析式，表示相应的线段，后代入计算即可． 【详解】（1）解：变形得， ∵过定点， ∴的解有无数， ∴， 解得， 故直线过定点， 故答案为：． （2）解：由题意得：，， ， ， 在和中 ∵， ， ， 故， 故B坐标为 ，， ， ， 如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点， 则，，， 故，， 在和中， ， ，， ， 设直线的解析式为：，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 把代入得， 解得， 的坐标为． （3）解：如图2，过A作于点N， ， ， 又且， ， ， ， 设的解析式为， 令，则， 设的解析式为，代入A和G的坐标得： ， 解得：， 的解析式为， ， ， ， ，为定值． 【变式5-5】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在这样的点M，且坐标分别为，，， 【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可． （2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答． （3）分三种情形，结合菱形的性质，两点间的距离公式，解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C． 令，则，解得， ∴ ∴ ∵点A是的中点， ∴， ∵直线上有一点B的横坐标为， 把代入，得 ∴， 设直线的函数表达式， 故， 解得， 故直线的函数表达式． （2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示： ∵， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∵， ∴令时，，则 即， ∵， ∴ ， 在直角中， 即， ∵ 则， 故， ∵轴对称性质， ∴， 故为等边三角形， 则， ∵， ∴轴， 故点； 将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点， 由点A的平移知，且， ∴四边形为平行四边形，故 此时，四边形的周长为最小， ∵ ∴ 即． （3）解：如图所示，∵直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点， ∴， ∴， ∵ 直线的函数表达式与y轴交于点H， ∴, ∴．， ∴ ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∵ 以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形， ∴菱形的四边相等，对角线互相垂直平分， 当时，根据题意，得 解得或， 故，； 当时，根据题意，得 解得或（舍去）， 故； 当时， ∵， ∴一定经过点B， 故M与点B一定重合， 故．    综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为，，，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：一次函数图象问题 常用知识 函数 k b 经过的象限 y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 y随x的增大而减小 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 y随x的增大而减小 题型一 一次函数图象的识别 【例1】（八年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东威海·期末）直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025八年级下·全国·专题练习）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（   ） A． B． C． D． 题型二 一次函数的增减性 【例2】（24-25八年级上·福建宁德·期中）已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·海南·阶段练习）若点都在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点，都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【变式2-5】（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）已知正比例函数（为常数且）的图像经过点、，如果，那么的取值范围为 ． 题型三 一次函数图象的平移 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【变式3-1】（2025·陕西西安·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线与直线平行，则的值是（    ） A．3或 B．3 C． D．2 【变式3-3】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【变式3-4】（2025·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3-5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【变式3-7】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 题型四 一次函数图象中的面积问题 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点A顺时针旋转后得到线段AC，连结． (1)当时，求点C的坐标； (2)当m值发生变化时，的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由； (3)当时，在y轴上找一点P，使得是等腰三角形，请直接写出满足条件的所有P点的坐标． 【变式4-1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 【变式4-2】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【变式4-4】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【变式4-5】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，点C为上一点，点M为上一点，交于N，． (1)求直线和直线的解析式； (2)若，求点M的坐标； (3)若，求点M的坐标． 【变式4-6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【变式4-7】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)方程组的解为 ； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-8】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，y轴交于点图象交于点，平面的角坐标系内有一动点P在线段和射线上运动． (1)求正比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点P，使的面积是的面积的？若存在，求此时点P的坐标；若不存在．请说明理由． 题型五 一次函数与几何的综合 【例5】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于，两点，点为内一点，且，，则点坐标为 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式5-4】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C． (1)直接写出定点A的坐标为______； (2)如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标； (3)如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值． 【变式5-5】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$