精品解析：浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期台州市山海协作体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考生结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（　　） A. 3 B. C. 3i D. 2. 已知、为单位向量，且，则，的夹角为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 7. 在中角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有两个解 C. 当时，只有一个解 D. 对一切，都有解 8. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存点P满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为______海里． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为______. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定两个向量 （1）求夹角的余弦值. （2）求 16. 在复平面内，复数对应点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 18. 设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. （1）求角大小； （2）若，求的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求取值范围. 19. 在中，点是内一点， （1）如图，若，过点直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. （2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期台州市山海协作体期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考生结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（　　） A. 3 B. C. 3i D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求出虚部即可. 【详解】虚部为. 故选：B. 2. 已知、为单位向量，且，则，的夹角为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用模及数量积的计算，直接求出，的夹角. 【详解】， 即. 因为、为单位向量，即, 所以， 所以，又 所以, 即，的夹角为. 故选：D. 【点睛】求向量夹角通常用，还要注意角的范围. 3. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】， 由余弦定理得， 解得，舍去， 则的面积为. 故选：A. 4. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得出旋转所得几何体为一个圆锥切割后剩下的几何体，再利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】将一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，所得几何体为一个圆锥切割后剩下的几何体， 由题意可知，圆锥的底面半径为2，高为2，则母线长为， 所以形成的几何体的体积为. 故选：B. 5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可. 【详解】设与夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设截面与圆柱底面距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 7. 在中角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，有两个解 C. 当时，只有一个解 D. 对一切，都有解 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理，即， 当时，又，所以或，故A错误； 当时，又，此时无解，故B、D错误； 当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确； 故选：C 8. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由条件可得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而得到结果. 【详解】方法一：由题意知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 所以在三棱锥中，平面. 在中，，所以， 则，设的外接圆半径为， 则. 三棱锥的外接球即三棱锥的外接球， 易知，设三棱锥的外接球半径为，则 ， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，. 设三棱锥的外接球的球心为，连接， 则， 得 ，解得， 所以， 故三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若，则的值为 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量共线和垂直的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可． 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然， 当时，，，，，此时，故D错误． 故选：AB． 10. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ） A. 满足平面的点P的轨迹长度为 B. 满足的点P的轨迹长度小于 C. 存在点P满足 D. 存在点P满足 【答案】AC 【解析】 【分析】构造面面平行，确定点轨迹，求其长度，判断A的真假；确定P的轨迹，根据弧长与弦长的关系判断B的真假；取特殊点验证C的真假；转化为两点之间直线段最短求的最小值，可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面， 故平面时，点的轨迹为线段. 因为正方体棱长为2，所以，故A正确； 对B：如图： 因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点， 所以，故劣弧的长度大于，故B错误； 对C：如图： 当为正方形中心时，，，， 所以，所以，故C正确； 对D：如图： 做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接， 则，且.故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：对B选项，一定要弄清楚点的轨迹. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为______海里． 【答案】7 【解析】 【详解】根据题意，画出示意图，如图，由已知可得AC＝5海里，BC＝8海里，∠ACB＝180°－40°－80°＝60°.由余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB cos ∠ACB，所以AB2＝52＋82－2×5×8×＝49，所以AB＝7海里． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面图形为直角梯形可求其面积. 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围. 【详解】，又， 由，解得， 由，得，则有，. ， 则有， ，则有，所以有，， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点， 由正弦定理得的外接圆半径，则有， ， ，， 为中点，，， 当与方向相同时，有最大值， 当与方向相反时，有最小值， 所以的最大值为，最小值为， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定两个向量 （1）求夹角的余弦值. （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积，结合夹角余弦值，可得答案； （2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 则夹角的余弦值. 【小问2详解】 由题意可得， 则. 16. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知，， 故， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 17. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG； （2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF. 【小问1详解】 连接AC交BD于O,连接OG. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分. 又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以. 因为面,面,所以AF//平面BDG. 小问2详解】 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD. 因为面,面,所以AB//平面. 因为面,面面=EF. 所以AB//EF. 18. 设的三个内角,,所对的边分别为,,，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的最大值； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的差角公式，根据同角三角函数的商式，可得答案； （2）由余弦定理建立方程，根据完全平方公式以及基本不等式，可得答案； （3）由锐角三角形的性质，可得角的取值，利用正弦定理，整理三角函数的解析式，并由三角函数的恒等式，可得答案. 【小问1详解】 ，，，； 【小问2详解】 由余弦定理可得，， ， 的最大值为4，当且仅当时取到； 【小问3详解】 ，，，. ， ， ，，. 19. 在中，点是内一点， （1）如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值. （2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值. 【答案】（1） （2），最小值为： 【解析】 【分析】（1）根据题意用表示出，再根据M，P，N三点共线用表示出，利用平面向量基本定理即可求解. （2）根据数量积的定义分别求出，，再对平方即可将表示成关于的函数，再利用基本不等式求 的最小值即可. 【小问1详解】 一方面， 故. 另一方面，由M，P，N三点共线知， 所以，即 消去，得，故. 【小问2详解】 由得，，因为， 所以，所以；，所以； 所以 当目仅当即时等号成立， 所以;. 【点睛】本题考查向量模的最值，利用向量数量积的定义将，，转化为，，再对平方，将表示成关于的函数，最后利用基本不等式求出的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$