精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

驻马店高中2024-2025学年高一下期期中考试 数学试题 命题：刘军 审题：冯清辉 注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 下列选项中，值为有（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 点是函数图象一个对称中心 C. 直线是函数图象一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 11. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知，，是表面积为球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为_______． 13. 若函数的图像关于直线对称，则___________. 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为________. 四、解答题 15. 已知，． （1）求值； （2）若，且，求的值． 16. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）求的取值范围． 17. 已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 18. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 驻马店高中2024-2025学年高一下期期中考试 数学试题 命题：刘军 审题：冯清辉 注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 3. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为. 故选：B. 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部. 【详解】由题意，得，所以的虚部为， 故选：B． 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合函数零点的存在性定理进行判断即可. 【详解】函数定义域为， 因为函数在上为增函数 ，又因为函数在上为增函数， 故函数在上增函数. 因为，则. 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B 6. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上投影向量为. 故选：B. 7. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 8. 在中，是的中点，，若，则的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理计算求值即可. 【详解】 如图，因为，所以点为线段的中点，则有, 因为是的中点，所以， 所以. 所以，. 故选：B. 二、多选题（每小题6分 共计18分） 9. 下列选项中，值为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角恒等变换以及诱导公式逐一验算即可求解. 【详解】A选项：； B选项： ； C选项： ； D选项：因为，可得； 故选：ABD. 10. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可得，所以，则，解得， 即函数的最小正周期是，故A正确； 又，所以，所以， 因为，所以， 所以， 又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到， 显然为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AB 11. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的最大值为，最小值为可求得的值，可得选项A正确；根据时可得选项B正确；令求出的值可得选项C错误；由求出的范围可得选项D正确. 【详解】由题意得，的最大值为，最小值为， ∴，解得，选项A正确 设函数的最小正周期为，由筒车按逆时针方向每分钟转圈可得，故， ∴， ∵时，，∴， ∵，∴，选项B正确. 由B得，， 令，得，故， ∴，故， 令得，，故盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C错误. 由，得，得， ∴， 解得， ∴盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径为和的外接圆半径，结合球的性质运算求解即可. 【详解】设球的半径为， 则，解得， 由题意可知：是边长为3的等边三角形，其外接圆半径， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 13. 若函数的图像关于直线对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为： 四、解答题 15. 已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得； （2）根据条件，利用同角三角函数基本关系求出，利用两角和的正切公式求出得解. 【小问1详解】 由 即，解得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以． 16. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）求取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可 【小问1详解】 由条件得， 由余弦定理得， 因为，所以， 得，即， 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 ． 因为为锐角三角形， 所以，且，所以． 所以， 即的取值范围是． 17. 已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数； （2）先设出的表达式，再根据为实数得出相关等式，最后结合的取值范围求出实部的取值范围． 【小问1详解】 已知，则． 根据复数乘法法则展开可得：  ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． 【小问2详解】 设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 18. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解； （3）根据数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ,. 19. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍. （1）若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； （2）若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【答案】（1）（i）312；（ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；（ii）求出棱锥的斜高，再利用侧面积. （2），求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 （i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积. （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积. 【小问2详解】 设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$