精品解析：广西壮族自治区南宁市2025届初中毕业班质量调研数学一模

2025届初中毕业班质量调研 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 2. 下列传统纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为促进“东数西算”绿色发展，2025年某超大型数据中心引入先进制冷技术，计划将耗电量降至9600000000千瓦时，数据9600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一块积木的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：______． 14. 如图是甲、乙两名学生6次训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这6次训练成绩的方差大小关系为______．（填“”“”或“”） 15. 方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为______． 16. 图1中建筑上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 19. 某校以“数创未来”为主题征集AI会徽设计作品，现有甲、乙两件作品晋级决赛．决赛中，教师从“数学内涵”方面对作品评分，学生从“艺术创意”方面对作品评分． 【数据整理描述】 教师对“数学内涵”的评分表 作品 评分① 评分② 评分③ 评分④ 评分⑤ 评分⑥ 甲 4 5 5 5 4 4 乙 3 4 4 5 3 5 学生对“艺术创意”的评分扇形图 【数据分析】取教师对“数学内涵”评分平均数作为该项得分，学生对“艺术创意”评分的众数作为该项得分，分析数据如下表： 作品 “数学内涵”得分 “艺术创意”得分 甲 4 乙 4 （1）请直接写出的值； 【助理决策】按“数学内涵”占、“艺术创意”占，计算作品的最终得分． （2）分别求出甲、乙两件作品的最终得分，并确定两作品的名次． 20. 某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 21. 如图1，在中，，以为直径作交于点，且． （1）求证：是切线； （2）如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求面积． 22. 综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 23. 综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届初中毕业班质量调研 数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较．解题关键是熟练掌握实数大小比较法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据实数大小比较的法则判断即可． 【详解】解：∵ ∴最小的是． 故选：A． 2. 下列传统纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】A、 ，不是中心对称图形； B、 ，是中心对称图形； C、 ，不是中心对称图形； D、 ，不是中心对称图形． 故选：B． 3. 为促进“东数西算”绿色发展，2025年某超大型数据中心引入先进制冷技术，计划将耗电量降至9600000000千瓦时，数据9600000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图是一块积木的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单的几何体的三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解答本题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形解答即可． 【详解】解：从正面看看到的图形是，所以它的主视图是， 故选：D． 5. 壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查概率，概率所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解题的关键，根据概率公式解答． 【详解】解：从“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是， 故选：B． 6. 如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据平行线同旁内角之和为即可解题． 【详解】解：由题意得，和为平行线间同旁内角， 故． 故选C． 7. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数估算大小，熟练掌握无理数估算大小方法是解题关键． 由，即，即可解答． 【详解】解：∵，即， ∴的值在1和2之间， 故选：A． 8. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，同底数幂的乘除法，积的乘方，掌握单项式的乘法，同底数幂的乘除法，积的乘方并根据法则计算是解题关键． 【详解】解：A选项：同底数幂的乘法底数不变指数相加，，故A选项错误，不符合题意； B选项：同底数幂的除法底数不变指数相减，，故B选项错误，不符合题意； C选项：积的乘方等于乘方的积，，故C选项正确，符合题意； D选项：和不是同类项，不能合并，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 10. 广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 11. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 根据抛物线开口方向对A进行判断；根据抛物线的对称轴位置对B进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对D进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下，∴，故此选项不符合题意； B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，故此选项不符合题意； D、∵抛物线与x轴有2个交点，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 12. 如图，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，图形旋转的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及图形旋转的性质是解题的关键． 根据矩形的性质得，再根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 矩形绕点逆时针旋转，得到矩形， ． 故先选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 14. 如图是甲、乙两名学生6次训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、乙这6次训练成绩的方差大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，折线统计图，熟练掌握是解题的关键． 利用折线统计图可判断甲运动员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得甲运动员的成绩波动较大， 所以， 故答案为：． 15. 方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系．熟练掌握两个一次函数的图象交点坐标为两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，是解题的关键． 依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为1，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴函数与函数的图象交点坐标为． 故答案为：． 16. 图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【详解】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，整式的化简求值，解题的关键是能正确运用有理数混合运算的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则． （1）先算乘除法，再进行加法运算即可； （2）先运用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，然后将x值代入计算，求出答案即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 当时，原式． 18 如图，已知． （1）尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，，，即为所求； 【小问2详解】 解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 19. 某校以“数创未来”为主题征集AI会徽设计作品，现有甲、乙两件作品晋级决赛．决赛中，教师从“数学内涵”方面对作品评分，学生从“艺术创意”方面对作品评分． 【数据整理描述】 教师对“数学内涵”的评分表 作品 评分① 评分② 评分③ 评分④ 评分⑤ 评分⑥ 甲 4 5 5 5 4 4 乙 3 4 4 5 3 5 学生对“艺术创意”的评分扇形图 【数据分析】取教师对“数学内涵”评分的平均数作为该项得分，学生对“艺术创意”评分的众数作为该项得分，分析数据如下表： 作品 “数学内涵”得分 “艺术创意”得分 甲 4 乙 4 （1）请直接写出的值； 【助理决策】按“数学内涵”占、“艺术创意”占，计算作品的最终得分． （2）分别求出甲、乙两件作品的最终得分，并确定两作品的名次． 【答案】（1），；（2）乙作品第一名，甲作品第二名 【解析】 【分析】本题考查了算数平均数、加权平均数、众数、扇形统计图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算教师对“数学内涵”评分的平均数和学生对“艺术创意”评分的众数即可； （2）根据加权平均数的定义进行计算． 【详解】解：（1）由题意知，， 乙作品艺术创意评分扇形图中的众数为， ∴， ∴，． （2）甲作品的最终成绩为（分）， 乙作品的最终成绩为（分）， ∵， ∴乙作品第一名，甲作品第二名． 20. 某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【答案】（1）每套A型系统进价为1万元 （2）该公司购买A型系统最少5套 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键． （1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套A型系统进价为万元， 则每套B型系统进价万元． 依题意，得， 解得， 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 答：每套A型系统进价为1万元． 【小问2详解】 解：每套B型系统进价为（万元）， 设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套． ， 解得． 所以的最小整数解为5． 答：该公司购买A型系统最少5套． 21. 如图1，在中，，以为直径作交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键． （1）即证明，方法一：连接，则，得为的垂直平分线，，根据等腰三角形性质可得，，即．方法二：连接，则，，再证明为的中位线，得，即可得证． （2）①先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；②过点作与点，根据圆周角性质得，易得，再根据勾股定理求出，得、的长，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：方法一：连接， 是的直径，． ，为的垂直平分线． ，， ，即． 又为的半径，是的切线． 方法二：连接． ，． ． 又，， 为的中位线． ，，即． 又为的半径，是的切线． 【小问2详解】 解：①方法一：在中，， ，则， 是的直径，． 在中，，， ． 方法二：在中，， ， ， ， 是的直径，． 在中，，， ． ②过点作与点． ， 又，， ， 在和中， ，． ． 的面积为：． 的面积为3． 22. 综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】（1）该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁；（2）；（3）该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天，理由见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）根据函数的性质解答即可； （4）根据（3）的计算结果和作比较解答即可． 【详解】（1）将，代入， 得， ． ． 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）当，， ． （3）由模型1可知，当时，随的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； （或由模型2可知，当时，随的增大而减小，符合砗磲的生长规律．） 选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 23. 综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可由相似三角形性质求解； （2）取格点P、M、N，连接，使B、C、A分别是的中点即可； （3）连接，根据三角形中位线的性质得出，，，．则，．即可由平行四边形的判定定理得出结论； （4）方法一：连接，证明，得同理，，，则，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点．证明，四边形为平行四边形．则．所以．．则． （5）取格点P、Q、M、N，连接，使B、C、D、A分别是的中点即可． 【详解】解：（1）∵是三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）方法一：连接， ， ． 又为中点， ． ，即． 同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ， ． 又为中点， ． ，． 又，， 四边形为平行四边形． ． ． 同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，相似三角形的判定与性质，中点四边形，平行四边形的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的中位线的性质和相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$