江苏省泰州市2025届高三第二次适应性调研测试数学试题

2025届高三第二次适应性调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4.在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点.若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 5.2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆､武汉､无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A.210 B.35 C.40 D.120 6.在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（ ） A.4 B. C. D.6 7.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M､N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A.当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B.当且时， C.， D.若存在极值点，且，其中，则 10.对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值.设全部输入完毕后显示的最后结果为.若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（ ） A.的最小值为0 B.的最小值为1 C.的最大值为2025 D.的最大值为2024 11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）.利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）.若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（ ） A.勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3 B.勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C.勒洛四面体四个曲面交线长的和为 D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，且，则________. 13.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为________. 14.甲､乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分.在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束.已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响.若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.若存在球与正三棱台的5个面同时相切，求： （1）正三棱台的体积； （2）正三棱台的表面积. 16.（15分） 在中，角A､B､C的对边分别是a､b､c.已知，为常数. （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求的值. 17.（15分） 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M､N两点.当直线的斜率为1时，. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线､与抛物线C的另一个交点分别为A､B，，求的值； （3）记直线､的倾斜角分别为､，求的最大值. 18.（17分） 某科技公司食堂每天中午提供A､B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果第一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果第一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为. （1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人） 套餐A满意度 A套餐改善前 A套餐改善后 合计 满意 20 40 60 不满意 30 30 60 合计 50 70 120 参考数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？ （2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值； （3）设员工小李第n天选择B套餐的概率为，求. 19.（17分） 设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“生成”的. （1）如果是等比数列，满足的若数列是由“生成”，求的值； （2）已知数列是由“生成”的，如果存在非零常数，使得是由“生成”的，求数列的通项； （3）设，且数列，，分别是由数列，，“生成”的，表示数列的前n项和.已知，求的最小值. 2025届高三第二次适应性调研测试 参考答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A C B B D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD BC AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.解：（1）方法一： 如图，取的中点分别为，上，下底面的中心分别为， 连接，过作交于.设，球的半径为， 因为，棱台的高为，所以. 所以， ，同理. 因为球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得③. 在梯形中，④， 由②④得， 代入（3）得，则棱台的高， 所以棱台的体积为. （1）方法二： 解：如图，取的中点分别为，上下底面的中心分别为， 连，取的中点， 过作交于，过作交AP于E，连， 设，球半径为，所以， 因为所以， 所以， 同理， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为， 所以，② 由①②解得， 所以棱台体积. （2）因为正三棱台的侧面积为， 正三棱台的底面积为， 所以正三棱台的表面积为. 16.解：（1）解法一：当时，， 由余弦定理得， 所以， 所以 ， 设，则， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为. 解法二：时，，即， 以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则，设， 由得， 化简得， 即的轨迹方程为， 所以面积的最大值为. 解法三：当时，， 由余弦定理得， 所以 . 当且仅当即时取等号. 所以面积的最大值为. （2）由正弦定理及得， 由及得 ， 所以， 所以或（舍）， 所以. 解法二：由得， 因为， 所以， 即， 所以， 所以. 17.解：（1）抛物线的准线方程为，当直线的斜率为1时，直线为， 代入得， 所以， 所以， 所以. 所以抛物线C的方程为. （2）方法一： 设，直线， 由可得， 所以， 由斜率公式可得， 因为直线的斜率不为0，设直线的方程为，，所以， 所以. 因为，所以， 所以，即， 解得或. 若，则直线过点，不符合题意， 则，此时直线的方程为， 所以直线过定点. 所以， 直线， 代入抛物线方程得， 所以， 同理可得， 所以， 同理可得，所以. （2）方法二： 设，直线， 由得， 所以， 设直线，由得， 得，即， 所以， 同理，， 所以， 同理， 因为，所以， 即，即， 解得或或， 若，直线过原点，不符合题意， 若，直线，直线，最多一条与抛物线相交，不符合题意， 所以. （3）由（2）知， 所以， 所以， 因为直线的倾斜角分别为， 所以， 设， 则， 当且仅当即时等号成立. 18.解：（1）零假设套䂐的满意程度与套餐的改善无关联： 易知， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断假设成立，即A隻餐的满意程度与套餐的改善无关联. （2）可能的取值为， 因为， 令， 设最大，则 即 所以， 因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以. 19.解：（1）设， 则由 解得. 因为， 又因为.所以，解得. 当时，； 当时，. 当时，， 即，满足条件. （2）因为是由“生成”的，是由“生成”的， 所以 所以， 所以或. 因为 所以. 如果，则. 所以 如果，且. 假设是第一个使不同时为0的整数，则. 此时. 因为，所以，矛盾!故不存在使不同时为0的整数. 综上：. （3）设分别表示的前项和， 即分别是由-生成"的. 由得； 当时，. 所以， 同理 因为， 所以， . ， . 所以，. 令，则 即时 所以取到最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$