专题20 方程组（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题20 方程组 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 考点突破 一、换元法解方程组 【典例】换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这个整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． （1）（领悟方法）填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组，解得a、b的值；这样可得，从而得原方程组的解为． （2）（迁移应用）请用换元法解方程组：． 【分析】（1）由题意，得，解得即可； （2）设x+y＝a，，则原方程组可化为：，再解方程组即可． 【解答】解：（1）由题意得，原方程组可化为关于a、b的方程组为， 解得； （2）设x+y＝a，，则原方程组可化为： ， 解得：， ∴， 解得：． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组得能力及方程的解得概念，熟练掌握解方程的两种消元方法是关键． 【巩固】在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为． （1）若方程组的解为，则方程组的解为 　 ； （2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解． 二、绝对值方程组 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可． 【详解】解：分4种情况： 当，时， 方程组变形为， 解得； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为， 解得，与矛盾，无解； 综上可知，方程组的解的个数是：1个， 故选A． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足关于的方程组，则 ． 三、方程组解的情况 【学霸笔记】 1. 关于x、y的方程组的解的讨论，若c、d、n均不为0，则： （1）若，则方程有唯一一组解； （2）若，则方程有无数组解； （3）若，则方程无解； 2. 对于系数含有字母的二元一次方程组的解的讨论，基本思想是把对方程组的解的讨论转化为一元一次方程的解的讨论. 【典例】 关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1 【解答】解：由关于x，y的方程组， 两式相减得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0， ∵方程组有无数组解， ∴1﹣b＝0，a+2＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1． 故选：B． 【巩固】 已知关于x，y的方程组 分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 四、和差倍分问题 【典例】 （七年级·全国·竞赛）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋． 五、配套问题 【学霸笔记】 1. 解决配套问题的关键是利用配套本身存在的等量关系，如： “二合一”配套问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品的a倍，即； “三合一”配套问题：如果a件甲产品，b件乙产品，c件丙产品配成一套，那么它们之间应满足的关系式为. 【典例】 （广东·一模）初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人. （1）该班男生和女生各有多少人？ （2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？ 【答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人 【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人， 依题意得：， 解得：． ∴该班男生有27人，女生有15人． （2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名， 依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460， 解得：m≥22， 答：至少需要派22名男学生. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键． 【巩固】 （2024九年级下·浙江宁波·竞赛）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 模拟演练 1．若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 3．骰子六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将一枚质地均匀的骰子投掷两次，记第一次投掷时朝上的面上的点数为，第二次投掷时朝上的面上的点数为，那么关于的方程组的解都为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 4．方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ． 6．已知正实数a，b满足方程组，则的值为 ． 7．有一个游泳池，为了保持水质洁净，上部装有若干个相同的进水管，底部装有一个始终打开着的排水管．当打开4个进水管时，5小时可将水池注满；当仅打开2个进水管时，则需要个小时才能将水池注满．若要在2小时之内将水池注满，则至少需要打开 个进水管． 8．若与互为相反数，则的值是 ． 9．解方程组 10．如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积． 11．某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 12．蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题20 方程组 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将这枚骰子先后抛掷两次，记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为，第二次记下的点数为，则关于的二元一次方程组只有非负解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率．熟练掌握加减消元法解二元一次方程，列举法求概率是解题的关键． 解，可得，当时，方程组无解；当时，，，由题意知，，，当时，，，解得，，，， 则当时，；当时，；当时，；当时，，，解得，，，，当时，；然后求概率即可． 【详解】解：， 得，， 当时，方程组无解； 当时，， 将代入①得，， ∵二元一次方程组只有非负解， ∴，， 当时，，， 解得，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，， 解得，，，， 当时，； 综上，共有种等可能的结果，其中只有非负解有种等可能的结果， ∴只有非负解的概率为， 故选：D． 考点突破 一、换元法解方程组 【典例】换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这个整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． （1）（领悟方法）填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组，解得a、b的值；这样可得，从而得原方程组的解为． （2）（迁移应用）请用换元法解方程组：． 【分析】（1）由题意，得，解得即可； （2）设x+y＝a，，则原方程组可化为：，再解方程组即可． 【解答】解：（1）由题意得，原方程组可化为关于a、b的方程组为， 解得； （2）设x+y＝a，，则原方程组可化为： ， 解得：， ∴， 解得：． 【点评】本题主要考查解二元一次方程组得能力及方程的解得概念，熟练掌握解方程的两种消元方法是关键． 【巩固】在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：设m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，可以将原方程组化为，解得，把代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得，解得，所以原方程组解为． （1）若方程组的解为，则方程组的解为 　 ； （2）若方程组的解为，其中k为常数．求方程组的解． 【分析】（1）设x﹣2＝m，y+2＝n，则方程组可化为，再进一步解方程组即可； （2）设，，则方程组可化为，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵的解为， ∴的解为， 设x﹣2＝m，y+2＝n， 则方程组可变为：， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）设，， 则原方程组可变为：， ∵的解为， ∴的解为， 即， 解得：． 【点评】本题考查的是利用整体法解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是关键． 二、绝对值方程组 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）方程组的解的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查含绝对值的二元一次方程组，分情况讨论，去绝对值后解二元一次方程组即可． 【详解】解：分4种情况： 当，时， 方程组变形为， 解得； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为，无解； 当，时， 方程组变形为， 解得，与矛盾，无解； 综上可知，方程组的解的个数是：1个， 故选A． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足关于的方程组，则 ． 【答案】82 【分析】本题主要考查绝对值、平方的非负性质和解二元一次方程组、零指数幂及乘方运算，依据绝对值、平方的非负性质建立方程组是解题的关键． 根据绝对值、平方的非负性质建立方程组，再解方程组求解之后计算即可得． 【详解】解：∵实数满足关于的方程组， ∴将两个方程相加，得， ，， ， ， 故答案为：82． 三、方程组解的情况 【学霸笔记】 1. 关于x、y的方程组的解的讨论，若c、d、n均不为0，则： （1）若，则方程有唯一一组解； （2）若，则方程有无数组解； （3）若，则方程无解； 2. 对于系数含有字母的二元一次方程组的解的讨论，基本思想是把对方程组的解的讨论转化为一元一次方程的解的讨论. 【典例】 关于x，y的方程组有无数组解，则a，b的值为（　　） A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1 【解答】解：由关于x，y的方程组， 两式相减得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0， ∵方程组有无数组解， ∴1﹣b＝0，a+2＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1． 故选：B． 【巩固】 已知关于x，y的方程组 分别求出当a为何值时，方程组（1）有唯一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解． 【解答】解：由①得，2y＝（1+a）﹣ax，③ 将③代入②得，（a﹣2）（a+1）x＝（a﹣2）（a+2），④ （1）当（a﹣2）（a+1）≠0，即a≠2且a≠﹣1时，方程④有唯一解x，将此x值代入③有y因而原方程组有唯一一组解； （2）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）≠0时，即a＝﹣1时，方程④无解，因此原方程组无解； （3）当（a﹣2）（a+1）＝0且（a﹣2）（a+2）＝0时，即a＝2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解． 四、和差倍分问题 【典例】 （七年级·全国·竞赛）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 【巩固】 （2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是关键． 设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋，根据“如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样”列方程组计算求解． 【详解】解：设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋， 由题意可得，解得 答骡子原来所驮的货物有7袋，驴子有5袋． 故答案为：5. 五、配套问题 【学霸笔记】 1. 解决配套问题的关键是利用配套本身存在的等量关系，如： “二合一”配套问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品的a倍，即； “三合一”配套问题：如果a件甲产品，b件乙产品，c件丙产品配成一套，那么它们之间应满足的关系式为. 【典例】 （广东·一模）初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人. （1）该班男生和女生各有多少人？ （2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？ 【答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人 【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人， 依题意得：， 解得：． ∴该班男生有27人，女生有15人． （2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名， 依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460， 解得：m≥22， 答：至少需要派22名男学生. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键． 【巩固】 （2024九年级下·浙江宁波·竞赛）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 【答案】(1)每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台 (2)的最大值是107万元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用． （1）设每周应组装型号①无人机台、②无人机台，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，可得：，故，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台． ， 解得， 所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台； （2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台． ， 解得， ∴， 由于，且， 所以， 当时，最大（万元）， 所以，的最大值是107万元． 模拟演练 1．若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程有无穷多个解的条件是关键．方程有无穷多个解，则方程变形成一般形式以后一次项系数与常数项应该都等于，即可求得，的值，进而即可求解． 【详解】解：该方程整理，得， 根据题意，得， 解得， 所以． 故选：C． 2．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（    ）． A．8支 B．6支 C．4支 D．2支 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支，根据“从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为”列出方程组，解方程即可得出答案． 【详解】解：设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支， 由题意得：， 整理得：， 解得， 原来笔袋中黑色中性笔有支， 故选：C． 3．骰子六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，现将一枚质地均匀的骰子投掷两次，记第一次投掷时朝上的面上的点数为，第二次投掷时朝上的面上的点数为，那么关于的方程组的解都为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法．首先分两种情况：①当时，方程组无解；②当时，方程组的解为由、的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得，，再由、都大于0可得，，求出、的范围，列举出、所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率． 【详解】解：由得， ①若，则方程组无解； ②若，则， ∵、都为正数， ∴， 解得或， ∴当时，或5或6，有3种情况； 当，3，4，5，6时，各有两种可能取值或2，此时有（种）情况，而两次投掷骰子共有（种）情况， ∴所求概率为， 故选：D． 4．方程组共有（   ）组解（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程和二元一次方程组，熟练掌握绝对值方程的解法是解题的关键． 根据绝对值方程的意义进行分情况讨论，再分别解出各个二元一次方程组即可求解． 【详解】解：由可得：， ∴原方程组可化为：或或或或或， 解得或或或或或， ∴原方程组的解为或或， 综上所述：方程组共有3组解． 故选：C． 5．已知关于的方程组，望望由于看错了方程①中的，因此得到方程组的解为，贝贝看错了方程②中的，从而得到方程组的解为，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答． 把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．然后即可求出式子的值． 【详解】解：把代入方程，把代入方程， 得， 解得， 当时， ． 故答案为：2． 6．已知正实数a，b满足方程组，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵a，b为正实数， ∴． 故答案为：3 7．有一个游泳池，为了保持水质洁净，上部装有若干个相同的进水管，底部装有一个始终打开着的排水管．当打开4个进水管时，5小时可将水池注满；当仅打开2个进水管时，则需要个小时才能将水池注满．若要在2小时之内将水池注满，则至少需要打开 个进水管． 【答案】9 【分析】设排水管1小时的排水量为，每个进水管1小时的注水量为，2小时注满水池需要打开个进水管，根据题意列出方程组，把和看作已知量，解方程组即可得到x的值． 此题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设排水管1小时的排水量为，每个进水管1小时的注水量为，2小时注满水池需要打开个进水管， 则由题意可得， 由①可得，， 把代入②得，， 解得， ∵水管个数必须取整数， ∴至少需要打开9个进水管. 故答案为：9 8．若与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数及解方程组等知识点，根据互为相反数两数和为0可得，再根据非负数的性质可得出关于x和y的方程组，解出可得x和y的值，代入可得出答案，熟练掌握其性质并能灵活解方程组是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 又，， ∴，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 9．解方程组 【答案】 【分析】本题考查分式方程组的解法，将原方程组进行合理的变形是正确解决本题的关键． 先将原方程组的每一个方程左右两边的分子、分母交换位置，化简，再利用换元法得一个三元一次方程组，最后得分式方程进而求得每一个未知数． 【详解】解：将方程组中各方程先取倒数，得 设A＝，B＝，C＝， 则， 解得， 即， 解得． 经检验，分别是原分式方程的解． 10．如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，根据图形找准等量列方程是解题的关键． 【详解】解：设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，则由题意得 ，解得， 原正方形纸板的边长为（厘米）， 面积为（平方厘米）． 答：图1中原正方形纸板的面积为平方厘米． 11．某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 【答案】(1)①见解析；②生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； (2)或298或303． 【分析】本题考查了不等式组和方程组的应用． （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据题意，列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件，根据题意列出二元一次方程组，根据m和n以及为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，填表如下： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； （2）解：设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件， 由题意得， ∴， ∵为正整数，且， ∴或298或303． 12．蜡烛比蜡烛长厘米，下午时分将蜡烛点燃，在下午时将蜡烛点燃，这两根蜡烛分别各自以均匀的速度燃烧．晚上时分，两根蜡烛未燃烧的长度一样．晚上时蜡烛完全烧尽，晚上时分蜡烛完全烧尽．蜡烛在未点燃前的长度为多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蜡烛的燃烧速度为，蜡烛的燃烧速度为， 由题意得，， 解得， ∴蜡烛的长度， 答：蜡烛在未点燃前的长度为厘米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$