猜押07 二次函数的实际应用题（解答压轴题热考题）（3类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押07 二次函数的实际应用题 考点 5年考题 考情分析 抛物线型问题 2022年第23题 二次函数的应用在安徽中考中较为常见，利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题压轴题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 利润问题 几何图形面积问题 题型一 抛物线型问题 1．（安徽中考新趋势生活情境题）某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值． 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 3．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．    (1)求出水柱所在抛物线的解析式； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，） 4．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 5．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 6．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 8．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 10．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．    (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点B的坐标； (3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围． 11．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    12．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 13．（2023·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． (2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围． 14．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)求高架桥两端的的距离； (3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 15．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 16．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 题型二 利润问题 1．（2024·安徽合肥·二模）近年来，我国民用无人机市场呈现出蓬勃发展的态势．据统计，年中国民用无人机市场规模达到了惊人的亿元，同比增长，年跃升至亿元，年有望达到亿元，市场前景广阔．某科技公司跟风设计了一款成本为元/件的儿童款“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：（x、y均为整数） 销售单价x（元/件） … 每周销售量y（件） … (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，该公司试销此儿童款“迷你无人机”每周获得的利润最大？最大利润是多少？（利润销售总价成本总价） (3)该网络平台近期出台相关规定，商家每卖一件产品，平台将视情况收取a元的平台管理费（），根据新规施行后销售情况的反馈，该儿童款“迷你无人机”的售价超过元/件时，每周获得的利润将会减少，试确定a的取值范围为多少？ 2．（2023·安徽·模拟预测）某儿童玩具店准备销售一款小型玩具，根根市场调查，预计月销售量p（件）和销售单价x（元）之间满足如下的关系： 销售单价元 50 51 52 53 … 月销售量件 500 490 480 470 … (1)以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，求p与x之间的函数关系式． (2)如果这款玩具的进价为每件40元，试求月销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（销售利润＝销售收入－进货支出） (3)在（2）的条件下，当销售单价为多少时，月利润最大？最大利润是多少？ 3．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 5．（2023·安徽滁州·三模）某厂有名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每天产量与每件产品利润如表： 产品 甲 乙 丙 每人每天产量/件 每件产品利润/元 当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元 设每天安排名工人生产丙产品（为不小于的整数）． (1)若每天每件丙产品的利润为元，求的值； (2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多元，求每件丙产品的利润； (3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大时，请直接写出的值． 6．（2023·安徽合肥·三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示： 销售（吨） 3 4 5 6 7 获利（万元） 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 (1)分别求销售甲、乙两种水果获利（万元）、（万元）与购进水果数量（吨）的函数关系式； (2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？ (3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨，且，满足，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案． 7．（2023·安徽蚌埠·一模）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 (1)求与之间的函数关系式． (2)当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ (3)设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 8．（2023·安徽淮北·三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．    (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)直接写出图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系； (3)若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？ 9．（2023·安徽安庆·二模）随着疫情防控措施的优化放宽，各地旅游业迅速回暖．我市一家旅游纪念品商店对一种旅游纪念品的销售情况进行跟踪调查发现，该旅游纪念品的进价为2元/件，每周的销售量（件）与实际售价元/件满足一次函数（取整数），下表记录了该旅游纪念品在销售时与的对应值： （元/件） 4 5 6 （件） 8000 7500 7000 (1)求关于的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)若商店要求每周该商品在销售时，售价不低于进价，且销售量不低于5000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)该商店积极参与市妇联组织的“关爱留守儿童”活动，该商场这种商品的售价不大于13元/件时，每销售一件商品便向市妇联专项账户捐赠元（且为整数），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出整数的值． 10．（2020·安徽合肥·三模）市某医药公司主要生产产品是护目镜，经市场调查，该护目镜每天的销售量 (个)与销售单价（元）的函数关系如图1所示． 设销售收入为元（销售收入=销售量×销售单价）． （1）若，求与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，求销售收入的最大值； （3）市政府为了均衡医疗资源，对护目镜价格进行了调控，规定护目镜的售价不得超过元，调控后销售收入与销售单价的函数关系如图2所示，若销售收入的最大值为元，求的值． 题型三 几何图形面积问题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另三边及中间的隔断用总长为的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有两扇宽的门．设边的长为，矩形花圃的总面积为．    (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)求的最大值． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 4．（2023·安徽合肥·三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．    (1)按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2． ①求y与x之间的函数关系式． ②求矩形的面积y(m2)的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由． 5．（2022·安徽合肥·一模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是该图案与坐标轴的交点，且点C的坐标为 ． (1)求k的值及DF的长： (2)求AB的长； (3)若点M是该图案上一动点，N是其对称点， 连接MN，求MN的最大值． 6．（2023·安徽六安·一模）如图，在边长2为的正方形中，是边上一动点（不含B，C两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． (1)求证：． (2)求的周长． (3)求线段长度的最小值． 7．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中，都在矩形的边界上．已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米．    (1)如图1，已知，设百米． ①若，求的大小； ②求的最大值； (2)若，点在边上，点在边上，求的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押07 二次函数的实际应用题 考点 5年考题 考情分析 抛物线型问题 2022年第23题 二次函数的应用在安徽中考中较为常见，利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题压轴题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 利润问题 几何图形面积问题 题型一 抛物线型问题 1．（安徽中考新趋势生活情境题）某单位汽车停车棚如图所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，其图象如图所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由． (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点与顶棚的竖直距离至少为米，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升米，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将点和点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意，当时，，即可求解； （3）根据（2）的结论以及题意可得在上，代入，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得 解得： ∴ （2），， ， 在中， 当时，， ， 校车不能完全停到车棚内， （3）解：依题意，设 当时， 将代入得 ∴ 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． 3．（2023·安徽芜湖·三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．    (1)求出水柱所在抛物线的解析式； (2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，） 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析 (3)应伸长米 【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式． （2）根据解析式求出最大值，再进比较． （3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题． 【详解】（1）由题意得到：B点坐标：，A点坐标：， 设抛物线的解析式为：， 把A点坐标代入得：， 解得，， ∴抛物线解析式为：． （2）当时，， 第16层楼顶高度为：， ，， ∵， ∴此时水柱能射入该层窗口 （3）过A作平行于x轴，        设伸长至处，的长即为其伸长的长度，设为， 过作于E，则， ∴，， 即相当于将点A向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 新抛物线的解析式：， 当时，， ∴， 解得：（舍去），， ∴应伸长米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题． 4．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 5．（2023·安徽合肥·二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】(1)；②石块能飞越防御墙； (2) 【分析】（1）①根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：①∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ②∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； （2）∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 6．（2024·安徽安庆·三模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 (3)乒乓球不能弹出箱子，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，小球从点P处抛出，小球的运动轨迹为抛物线L：．无盖木箱的截面图为矩形，其中，，且在x轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1)求抛物线L的表达式． (2)请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3)若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得点，点，令，求出，，再根据判断即可； （3）令，则，求出抛物线L与x正半轴交于点，设抛物线M的解析式为，再将代入抛物线M的解析式，进而求出抛物线M的解析式，令，计算出y值与0.5进行比较即可． 【详解】（1）解：∵小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为 ∴， 即 ∵小球从点P处抛出， ∴将点代入抛物线解析式，得 解得： ∴ （2）∵，， ∴点，点 令，则 解得， ∵ ∴该同学抛出的小球能投入箱内． （3）该小球能弹出箱子，理由如下： 令，则 解得， ∴抛物线L与x正半轴交于点 设抛物线M的解析式为： ∴将代入抛物线M的解析式，得 解得， ∵该小球投入箱内后立即向右上方弹起 ∴ ∴抛物线M的解析式为： 令，则 ∵ ∴该小球能弹出箱子． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题． 8．（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)486盏 (3)货车无论从哪条车道都能安全通过，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入即可求出函数关系式，化为顶点式，即可求出拱顶到地面的距离； （2）令，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求解； （3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 代入，得， 解得， ． 拱顶到地面的距离为． （2）解：令， 解得， ， （盏）． 答：共需要486盏吊灯． （3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过． 理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过． 设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为，即， 当时，， ∴货车无论从哪条车道都能安全通过． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 10．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑，米，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的，）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线的最高点（顶点）C距离水池面米，且与的水平距离为2米．    (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点B的坐标； (3)小明同学打算操控微型无人机在，之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于米，设无人机与的水平距离为m，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）由题意可知过点和点，且，代入解析式可求得解析式； （2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且经过点，设的解析式为，代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可； （3）无人机的横坐标为，根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由已知可得：过点和点，设其解析式为， 代入两点，由的横坐标为可得， ，解得：， 故的解析式为：； （2）解：两条抛物线的形状相同， 设的解析式为， 已知经过点，故的解析式为①， 顶点的纵坐标相同， 的顶点的横坐标为，代入①， 可得：， 解得：， 故的解析式为②或③， 由图可知的终点的横坐标小于0，而②中不合题意，故舍去②， 令将代入， 解得或（舍去）， 故点的坐标为； （3）解：由题意可得：， 解得：， 又， 解得：， ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键． 11．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． (1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    【答案】(1)拋物线与轴正半轴的交点坐标为 (2) (3)米 【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法，二次函数的性质，线段长度问题等知识，明确题意，运用方程思想与数形结合思想是解题的关键． 12．（2024·安徽宿州·一模）如图1，某洒水车的喷水口距地面．如图2，已知喷水口喷出最远的水柱是抛物线：，轴是地面，位于轴上，则点，抛物线与轴交于点．（注：抛物线水柱的宽度忽略） (1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长； (2)如图3，将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交轴于点． （ⅰ）求的长； （ⅱ）如图4，已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据抛物线过点，可得a的值，令，解方程从而解决问题； （2）（ⅰ）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得的长度； （ⅱ）根据，，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； （2）（ⅰ）对称轴为直线， ∴点对称点为， ∵平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点C是由点B向左平移得到的， ∴点C的坐标为，即， ； （ⅱ）， ∴点F的纵坐标为1， ， 解得或（舍去） ， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为 ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， 的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 13．（2023·安徽六安·一模）某数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖正方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，正方形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线：（单位长度为）的一部分，已知，． (1)若抛物线经过点． ①求抛物线的解析式和顶点坐标； ②若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． (2)要使弹珠能投入箱子，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点坐标为；②弹珠能弹出箱子，理由见解析 (2) 【分析】（1）①把点，代入，再把抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标，即可求解；②先求出抛物线L与x轴的两一个交点为，再根据题意可设抛物线M的解析式为，然后把代入，求出抛物线M的解析式，再求出当时，y的值即可求解． （2）由抛物线经过点，得到，则抛物线解析式为，求出，；当时，，或，要使弹珠能投入箱子，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：①把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； ②弹珠能弹出箱子，理由如下： ∵， ∴， ∴； 当时， 解得：， ∴抛物线L与x轴的另外一个交点坐标为， 根据题意可设抛物线M的解析式为， 把点代入，得：， 解得：或， ∵抛物线M的对称轴在直线的左侧， ∴， ∴抛物线M的解析式为， ∵当时，， ∴弹珠能弹出箱子． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，则， ∴， 解得或， ∵要使弹珠能投入箱子， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴； 当，即时，满足， 当，即时， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，弹珠能投入箱子． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． 14．（2023·安徽滁州·一模）如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)求高架桥两端的的距离； (3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】(1) (2)米 (3)元 【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作轴于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）令， 解得：， ∴， ∴（米） （3）设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ∴ ， ∴， 由（1）可得， ， 设总费用为， ∴ ； 当时，取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)现有钢拱架支护材料够用，见解析 【分析】（1）由待定系数法，即可求出抛物线的解析式方程； （2）先求出抛物线的对称轴，然后取，求出的值，再与货车的高度进行比较，即可得到答案； （3）由题意，设点，则点，然后表示出的值，再利用二次函数的最值问题，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴设抛物线的表达式为， 由得， ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵货车宽， ∴当货车从门中间进入时，把代入， 得， ∴货车不能正常驶入； （3）解：由题意，设点，则点， 由题意得， ∵点G在点A的下方， ∴， ∴或， ∵令， ∴或， ∴或（舍去）； ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为： ， ∴现有钢拱架支护材料够用． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 16．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 【答案】(1)； (2)①当时，有最大值；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点 代入抛物线解析式得， 解得 ， ∴抛物线对应的函数的表达式为； （2）解：①将代入中，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为； ②师傅能刷到的最大垂直高度是米， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即 解得， 又是关于的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 题型二 利润问题 1．（2024·安徽合肥·二模）近年来，我国民用无人机市场呈现出蓬勃发展的态势．据统计，年中国民用无人机市场规模达到了惊人的亿元，同比增长，年跃升至亿元，年有望达到亿元，市场前景广阔．某科技公司跟风设计了一款成本为元/件的儿童款“迷你无人机”，并投放网上某平台进行试销．经过调查，得到如下数据：（x、y均为整数） 销售单价x（元/件） … 每周销售量y（件） … (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，该公司试销此儿童款“迷你无人机”每周获得的利润最大？最大利润是多少？（利润销售总价成本总价） (3)该网络平台近期出台相关规定，商家每卖一件产品，平台将视情况收取a元的平台管理费（），根据新规施行后销售情况的反馈，该儿童款“迷你无人机”的售价超过元/件时，每周获得的利润将会减少，试确定a的取值范围为多少？ 【答案】(1) (2)当元/件时，可获得最大利润，且最大利润为元 (3) 【分析】（1）描点连线画图象即可；由图设解析式为，待定系数法求解即可； （2）设该公司销售无人机每周获得w元利润，依题意得，（，x为整数），根据二次函数的性质求解作答即可； （3）依题意得，，则对称轴为直线，由题意知，，求解作答即可． 【详解】（1）解：描点连线画图象如下； 由图可知：x、y对应值的点在一条直线上， y与x成一次函数关系， 设解析式为， 把、代入得， 解得， ∴； （2）解：设该公司销售无人机每周获得w元利润， 依题意得，（，x为整数） ∵， 当元/件时，可获得最大利润，且最大利润为元． （3）解：依题意得，， 对称轴为直线， 售价超过元/件时，每周获得利润会减少且x为整数， ∴， 解得，， 又， a的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2023·安徽·模拟预测）某儿童玩具店准备销售一款小型玩具，根根市场调查，预计月销售量p（件）和销售单价x（元）之间满足如下的关系： 销售单价元 50 51 52 53 … 月销售量件 500 490 480 470 … (1)以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，求p与x之间的函数关系式． (2)如果这款玩具的进价为每件40元，试求月销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（销售利润＝销售收入－进货支出） (3)在（2）的条件下，当销售单价为多少时，月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析， (2) (3)当销售单价为70元时，月利润最大，最大利润为9000元 【分析】本题考查的是画函数图象，一次函数与二次函数的实际应用，理解题意，列出正确的函数关系是解本题的关键； （1）先描点，再连线即可得到函数图象，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由月销售利润等于每件商品利润乘以销售数量即可列出函数关系式； （3）利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图， ． 发现各点在一条直线上，所以与之间满足一次函数关系． 设与之间的函数关系式为． 由题意得 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）月销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 即． （3）． 因为，所以当时，有最大值，最大值为9000． 答：在（2）的条件下，当销售单价为70元时，月利润最大，最大利润为9000元． 3．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 (2)甲公司最多比乙公司利润多18050元 (3) 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)为整数） (2)，且x为整数） (3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元 【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为 ， 把代入解析式，则 ， 解得， ∴与x之间的函数关系式为为整数）； （2）解：把代入，得： ，解得 ， ∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）； （3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则 ， = ， 对称轴为直线 ． ∵， ∴当时，w随x的增大而减小． ∵x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值（元）， 答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元． 【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 5．（2023·安徽滁州·三模）某厂有名工人，每人每天可以生产甲，乙，丙三种产品中的一种，每天产量与每件产品利润如表： 产品 甲 乙 丙 每人每天产量/件 每件产品利润/元 当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元 设每天安排名工人生产丙产品（为不小于的整数）． (1)若每天每件丙产品的利润为元，求的值； (2)若每天只生产甲，丙两种产品，丙产品的总利润比甲产品的总利润多元，求每件丙产品的利润； (3)若每天同时生产甲，乙，丙三种产品，且甲，乙两种产品的产量相等．当这三种产品的总利润的和最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)30 (2)120元 (3)33 【分析】（1）当每天生产件时，每件利润为元，若每增加件，则每件利润减少元，故安排名工人生产丙产品，每天每件丙产品的利润为元，列出方程即可得的值； （2）安排名工人生产丙产品，每天丙产品的利润为元，则安排人生产甲产品，利润是元，列出方程即可得的值，从而可求每件丙产品的利润； （3）设安排人生产甲产品，这三种产品的每天总利润为元，则需安排人生产乙产品，可列方程，用、的代数式表达为，将代入变形，再配方即可求得取最大值时的值． 【详解】（1）根据已知：安排名工人生产丙产品，每天每件丙产品的利润为元， 可列方程：， 解得：， 答：的值为30； （2）安排名工人生产丙产品，每天丙产品的利润为元， 则安排人生产甲产品，产量为件，利润是元， 列方程得：， 解得：，， ， ， 此时， 答：每件丙产品的利润是元； （3）设安排人生产甲产品，这三种产品的每天总利润为元，则需安排人生产乙产品，根据题意可得： ，且， ， 当时，，得，而应是正整数，故不符合题意，舍去， 当时，，得， 当时，最大利润是． 当这三种产品的总利润的和最大时，的值是． 【点睛】本题考查一元一次方程、二次函数的应用，解题的关键是根据题意，分别用代数式表示三种产品的利润． 6．（2023·安徽合肥·三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示： 销售（吨） 3 4 5 6 7 获利（万元） 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 (1)分别求销售甲、乙两种水果获利（万元）、（万元）与购进水果数量（吨）的函数关系式； (2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？ (3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨，且，满足，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案． 【答案】(1)，； (2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大； (3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元． 【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可； （2）通过购买数量来选择哪种水果即可； （3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可． 【详解】解：（1）由题意得， 在直角坐标系中描出以坐标的对应点，易得的图象成一条直线， 设，则， 解得， ． （2）当，则， 解得； 当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大． （3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为、吨时，获得利润： ， 即， 当时，，w有最大值， 答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元． 【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式． 7．（2023·安徽蚌埠·一模）某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 (1)求与之间的函数关系式． (2)当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ (3)设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元 【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：观察给定数据，可知：与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种糖果每千克的售价是元； （3）根据题意得：， 即， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， ∴当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出随的函数关系式． 8．（2023·安徽淮北·三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．    (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)直接写出图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系； (3)若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？ 【答案】(1)100元 (2) (3)从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【分析】（1）当时，设与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得与的关系式，然后将求得的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100． （2）由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为． （3）设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，依据题意列出与之间的函数关系式是解题的关键． 9．（2023·安徽安庆·二模）随着疫情防控措施的优化放宽，各地旅游业迅速回暖．我市一家旅游纪念品商店对一种旅游纪念品的销售情况进行跟踪调查发现，该旅游纪念品的进价为2元/件，每周的销售量（件）与实际售价元/件满足一次函数（取整数），下表记录了该旅游纪念品在销售时与的对应值： （元/件） 4 5 6 （件） 8000 7500 7000 (1)求关于的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)若商店要求每周该商品在销售时，售价不低于进价，且销售量不低于5000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)该商店积极参与市妇联组织的“关爱留守儿童”活动，该商场这种商品的售价不大于13元/件时，每销售一件商品便向市妇联专项账户捐赠元（且为整数），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为40000元，售价为10元 (3)4，5，6 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据“售价不低于进价，且销售量不低于5000件”列出不等式组，求出x是取值范围，再设利润为w，列出w关于x的表达式，即可求解； （3）设捐赠后的利润为，得出关于x的表达式，再求出其对称轴，即可根据增减性进行解答． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， 设利润为w， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值， 当时，， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为40000元，售价为10元． （3）解：设捐赠后的利润为， ， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵捐赠后的利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴符合条件的整数m有：4，5，6． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及“利润=单个利润×数量”． 10．（2020·安徽合肥·三模）市某医药公司主要生产产品是护目镜，经市场调查，该护目镜每天的销售量 (个)与销售单价（元）的函数关系如图1所示． 设销售收入为元（销售收入=销售量×销售单价）． （1）若，求与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，求销售收入的最大值； （3）市政府为了均衡医疗资源，对护目镜价格进行了调控，规定护目镜的售价不得超过元，调控后销售收入与销售单价的函数关系如图2所示，若销售收入的最大值为元，求的值． 【答案】（1）；（2）最大值为元；（3） 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据“销售收入=销售量×销售单价”得到，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用待定系数法求得与的函数关系式为，根据“销售收入=销售量×销售单价”得到，利用最大值为，即可求得b的值． 【详解】（1）∵， 设解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； （2） ， ∵，开口向下，有最大值， 当时，最大值为， 答：收入的最大值为元； （3）设解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 由图2得，函数在对称轴处取得最大值，最大值为， ∴， 解得，， 由（2）得，当，最大值为时，，不符合规定护目镜的售价不得超过元， 当，最大值为时，，符合题意， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键． 题型三 几何图形面积问题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另三边及中间的隔断用总长为的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有两扇宽的门．设边的长为，矩形花圃的总面积为．    (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，有最大值，最大值为600 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用， （1）设边的长为，则，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据的长度及边的篱笆的长度列出不等式即可求解； （3）将配成顶点式，再结合的取值范围，利用二次函数的性质求最大值即可． 掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设边的长为，则， 根据题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意可知，边的篱笆：， 即：， ∴； （3）由（1）（2）知：， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又∵ ∴当时，有最大值，最大值为600． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)①；②当时，取最大值，最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用， （1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式； ②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴, ， ， 设正方形的边长为， ， 解得：， 答：这个正方形的边长是； （2）①在矩形中，，， ∴， ∴， ， ， ∴，即；     ②由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 4．（2023·安徽合肥·三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．    (1)按图甲的方案，设的长为xm，矩形的面积为ym2． ①求y与x之间的函数关系式． ②求矩形的面积y(m2)的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①② (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是，理由见解析 【分析】（1）①利用矩形的面积公式进行求解即可；②利用二次函数的性质进行求解即可； （2）求出乙方案的最大面积，与甲方案进行比较后，判断即可． 【详解】（1）解：①设的长为xm，则：的长为， ∴； ②∵甲中的长不超过墙长， ∴， ∵，， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，矩形的面积最大，最大为：． （2）乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为xm，矩形的面积为ym2． 则：， ∵方案乙中的长大于墙长， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴当时，矩形的面积最大，最大为； ∵， ∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式． 5．（2022·安徽合肥·一模）如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线y=x的对称图形组成，点A、B是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点C、D、E、F是该图案与坐标轴的交点，且点C的坐标为 ． (1)求k的值及DF的长： (2)求AB的长； (3)若点M是该图案上一动点，N是其对称点， 连接MN，求MN的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把代入求出k的值，求出点D的坐标和点F的坐标，即可求出DF的值； （2）求直线与抛物线的交点坐标，然后再求AB的长即可； （3）设点M的坐标，则，用m、n表示出，根据点M在抛物线上，得出，得出，根据m的取值范围可以求出MN的最大值即可． 【详解】（1）把代入得：，解得：， ∴抛物线的关系式为， 把代入得：， ∴点D的坐标为， ∵点F与点C关于直线y=x对称， ∴点F的坐标为， ∴； （2）联立， 解得：，， ∴点A和B的坐标分别为，， ∴； （3）∵点M与点N关于y=x对称， ∴设点，则， ∴， ∵M在抛物线上， ∴，且， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的性质，根据点M横坐标的范围求MN的最大值，是解题的关键． 6．（2023·安徽六安·一模）如图，在边长2为的正方形中，是边上一动点（不含B，C两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． (1)求证：． (2)求的周长． (3)求线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）先证明，推出，即可证明结论； （2）证明，推出，据此即可求解； （3）设，则．由，推出．得到当最小时，最小．推出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠知，． ∵点，，共线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在点处， ∴，，． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵是公共边， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：设，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴当最小时，最小． ∵， ∴当时，的最小值为， ∴的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 7．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中，都在矩形的边界上．已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米．    (1)如图1，已知，设百米． ①若，求的大小； ②求的最大值； (2)若，点在边上，点在边上，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，在中，由勾股定理可得，由，，代入计算求出，再由计算即可； ②由（当时取等号），再根据即可得出结论； （2）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，可得，，再求出，，可得，推出，再根据勾股定理可得，再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴的大小为； ②∵（当时取等号）， ∴， 当时，， ∴的最大值为． （2）如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最小值， 当或时，取最大值， ∴的取值范围是．    【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，矩形的面积和三角形的面积，完全平方公式的应用等知识点．掌握（当时取等号）是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$