精品解析：四川省成都市实验外国语学校2024—2025学年下学期第一次诊断性考试九年级数学试题

成都市实验外国语学校2024－2025学年下期第一次诊断性考试 九年级数学学科试题 共2张8页 考试时间：120分钟 总分：150分 注：1．本卷分为A，B两卷，A卷100分，B卷50分； 2．所有题目在答题卷上作答． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（每小题4分，共32分；请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．这里． 【详解】解：． 故选：B． 5. 八年级一班的学生升九年级时，下列有关年龄的统计量不变的是（ ） A. 平均年龄 B. 年龄的方差 C. 年龄的众数 D. 年龄的中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据当数据都加上一个数时的平均数，方差，众数，中位数的变化特征进行判断即可． 【详解】解：由题意知，八年级一班的学生升九年级时，每个同学的年龄都加1， 其中平均年龄加1，众数加1，中位数加1，方差不变， 故A、C、D不符合要求；B符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数、方差、众数和中位数．解题的关键在于熟练掌握当数据都加上（或减去）一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变． 6. 如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定的方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 当时，， ， ． 7. 中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设清酒斗，醑酒斗，根据一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子可得，根据共换了5斗酒可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图像与性质对逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图像经过点， 即：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质等知识点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上） 9. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 12. 如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 13. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到平分，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分；解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简负整数指数，绝对值，0指数，特殊角的三角函数值，再按实数的相关运算法则计算即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解①，得 解②，得， ∴， ∴不等式组解集为． 【点睛】题目主要考查实数的混合运算，负整数指数，绝对值，0指数，特殊角的三角函数值的运算，求不等式组的解集．熟练掌握各个运算法则是解题关键． 15. 为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角_____度； （2）已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （3）李老师计划从四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中两人的概率． 【答案】（1）50；144 （2）480 （3） 【解析】 【分析】题主要考查了扇形统计图与条形统计，概率．熟练掌握扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图或列表求概率，是解题的关键． （1）用良好等级的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再用360度乘以优异的人数占比即可求出； （2）用1200乘以样本中优异的人数占比即可得到答案； （3）列表求出等可能情况数，与恰好抽中A，B的情况数，运用概率公式计算即得． 【小问1详解】 解：∵（名）， ∴； 故答案为：50；144； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名． 【小问3详解】 第一名 第二名 A B C D A B,A C,A D,A B A,B C,B D,B C A,C B,C D,C D A,D B,D C,D 共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种， ∴恰好抽中两人的概率． 答：恰好抽中两人的概率为． 16. 如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． （1）过作于点，先解得到的长，再解，求出的长，则可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过作交的延长线于解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：过作于点， ， ，， ∴在中，， 在中，， ， ， ， ， 答：的长度为． 【小问2详解】 解：过作交的延长线于 ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 17. 如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求及的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆切线性质，推出，根据平行线性质，推出，根据垂径定理得，即得； （2）连接，根据平行线性质，得到，可得，得，得到，，可得，得，得到，；． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形综合．熟练掌握圆切线性质，垂径定理，角平分线有关计算，平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）代入得，得,代入，求出a值即得； （2）可得点，得,取中点S，连接,则，,取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得（符合），得；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，联立得，解得，得；即得点的坐标为或或或； （3）求出，得，，由，得，根据与相似，，得，得，得；或，得，得；即得点的坐标或． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点S，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴点P到的距离是点O到距离的2倍， 取点S关于点O的对称点， 当时， 设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； 取点Q关于点S的对称点N， ∵，， ∴， 当时，设解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立得， ∴（舍去）， ∴； ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵中，时，，时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相似，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与三角形面积综合，同底三角形面积与高的关系，相似三角形性质，分类讨论，是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式化简求值，先根据分式的混合运算进行计算，然后将代入，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴原式， 故答案为：． 20. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意可知，方程有唯一解， 整理得：，且． 即， 解得或． 当时，它是一次函数，存在唯一“不动点”， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，新定义，一次函数的定义，对“不动点”的理解是解决本题的关键． 21. 如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 22. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 【答案】或3 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 23. 如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有_____个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有_____个．（用含n的代数式表示） 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．熟练掌握是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分；解答过程写在答题卡上） 24. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可； （2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：． 解不等式②得：． ∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 25. 如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得， 则有，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理可得， 由图像可知， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ∴直线经过一定点． 【解析】 【分析】（1）将点、点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得；利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，结合二次函数的性质，即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，；证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可证明结论． 【小问1详解】 解：将点、点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的根与系数的关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 26. 已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接． （1）若且，当，如图①，求此时度数； （2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由； （3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：点，点，点三点共线，理由如下： 连接交于，过点作直线于，如图， 且， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，即可得解； （2）连接交于，过点作直线于，可证得，得出，，推出，即点，点，点三点共线； （3）过点作于，过点作于，则，证出，得出，设，则，，用表示出的长，列方程求出值，代入三角形面积公式 即可得解． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形，且， 四边形是菱形，为等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于，过点作于，则， ， ，平行四边形为矩形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 在中，，， 设，则，， ， ， ，， ， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：或(舍去)， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2024－2025学年下期第一次诊断性考试 九年级数学学科试题 共2张8页 考试时间：120分钟 总分：150分 注：1．本卷分为A，B两卷，A卷100分，B卷50分； 2．所有题目在答题卷上作答． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（每小题4分，共32分；请将所选答案的字母代号填涂在答题卡上） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 八年级一班的学生升九年级时，下列有关年龄的统计量不变的是（ ） A. 平均年龄 B. 年龄的方差 C. 年龄的众数 D. 年龄的中位数 6. 如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上） 9. 分解因式：_____________． 10. 若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是_____． 11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 12. 如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则__________． 13. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分；解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 15. 为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角_____度； （2）已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （3）李老师计划从四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中两人的概率． 16. 如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：） 17. 如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求及的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标； （3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分；答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为___________． 20. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________． 21. 如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是__________． 22. 如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 23. 如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有_____个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有_____个．（用含n的代数式表示） 二、解答题（本大题共3个小题，共30分；解答过程写在答题卡上） 24. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 25. 如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 26. 已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接． （1）若且，当，如图①，求此时度数； （2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由； （3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $