查漏补缺05 一次函数与反比例函数（2考点8题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

查漏补缺05 一次函数与反比例函数（8大题型） 考点一： 一次函数 【题型一】一次函数图象上点的坐标特征 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2）为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 3）一次函数平移变换方式：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 4）一次函数翻折变换方式：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【中考真题】 1．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 5．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    6．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 9．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【模拟训练】 1．（2025·陕西西安·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 3．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 … 1 3 … … 5 … 5．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 6．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ． 8．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 9．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 0 2 5 … 10．（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． 列表如下： (1)填空：表中__________、__________； (2)在图中描点并画出该函数的图象； (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，的值随的值增大而增大；②当时，； ③该函数存在最小值，最小值为；④该函数图象关于直线对称． 其中正确的是__________．（请写出所有正确命题的序号） 【题型二】一次函数与实际问题 1）一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【中考真题】 1．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 2．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 3．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 4．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 5．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【模拟训练】 1．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 2．（2025·河北·模拟预测）建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，的电阻值为 B．随着水位的升高而增大 C．当，与的关系式为 D．的电阻值为时，水位的高度 3．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    4．（2025·山东济南·一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 5．（2025·内蒙古·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． (1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； (2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 6．（2025·天津和平·一模）甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前_____到达地，乙的骑行速度为_____，值为_____； (2)直接写出甲骑行过程中，关于的函数解析式； (3)乙到达地，此时甲离地的路程为_____； (4)在甲到达地前，当_____时，甲乙两人相距． (5)乙出发_____时二人相遇，此时距离A地_____． 7．（2025·山东济南·一模）第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 8．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【题型三】一次函数与几何综合 1）一次函数与x轴交于，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为. 2）一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就利用相关图形的几何性质与一次函数的性质求解. 【中考真题】 1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3   2．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 4．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 6．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          7．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 【模拟训练】 1．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 6．（2025·辽宁辽阳·二模）在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ． 7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 ． 8．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1． 【应用】根据定义回答下列问题： （1）如图：直线与直线的距离是 ； （2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值； 【拓展】 （3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标． 9．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 10．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 考点二： 反比例函数 【题型一】反比例函数图象上点的坐标特征 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 1）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 2）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 3）|k|越大，与坐标轴的距离越远. 【中考真题】 1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．    6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 7．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …   (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 8．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【模拟训练】 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是的图象平移得到的B．函数的图象与x轴有一个交点 C．函数的图象与y轴的交点坐标是D．函数的图象关于原点对称 2．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 5．（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数； ②y随x的增大而减小；③若在图象上，则；④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是 （填序号）． 7．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，为坐标原点，，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则该反比例函数的解析式为 ． 8．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 9．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 10．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【题型二】反比例函数系数k的几何意义 【中考真题】 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 4．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 6．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 【模拟训练】 1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·广东清远·模拟预测）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为 ，则四边形和四边形的位似比为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广西玉林·一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昭通·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 ． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象第一象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为点，过点作的平行线，该平行线与轴交于点，并交图象第三象限的分支于点． （1） ； （2）的值为 ． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 9．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【题型三】反比例函数与一次函数综合 1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点； 2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点； 3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 4）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 【中考真题】 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 4．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．    6．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 9．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【模拟训练】 1．（2025·安徽淮北·一模）已知反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点A，一次函数与 y 轴交于点B．若，则k的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 2．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 3．（2025·四川·模拟预测）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 4．（2024九年级·河北·学业考试）如图，在平面直角坐标系内有两个点，若反比例函数的图象交线段于点C、D，且，则 ． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【题型四】反比例函数与实际问题 1）利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 【中考真题】 1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）   A．  B．  C．  D．   3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 4．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    5．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 6．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    (1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； (2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【模拟训练】 1．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是 （    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 3．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（    ） A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D．当光照强度为时，控制电路中的电流为 4．（2024·江苏宿迁·一模）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度 ． 5．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 6．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【题型五】反比例函数与几何综合 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 4．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    6．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    7．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【模拟训练】 1．（2025·安徽·二模）如图，平行于轴的直线分别交反比例函数与的图象（部分）于点，，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（  ） A．54 B．108 C．48 D．27 6．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 8．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 9．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入 ，求得，则，由平移的性质得 ．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得 ．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移：猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移：．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 10．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数的最大值记为，最小值记为，则称是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，轴． (1)如图，若点的坐标为，．①一次函数是的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出的“”值；若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“勾股函数” ①若二次函数经过两点，求的“”值． ②若二次函数经过两点，且的“”值，直接写出的值． 11．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究．（1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】（2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 查漏补缺05 一次函数与反比例函数（8大题型） 考点一： 一次函数 【题型一】一次函数图象上点的坐标特征 1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置. 2）为了方便，画一次函数的图像，只需过图像上两点作直线即可，一般取(0，b)，两点.（依据：两点确定一条直线）. 3）一次函数平移变换方式：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 4）一次函数翻折变换方式：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【中考真题】 1．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 2．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵点是函数图象上的点， ∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、 ∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为， ∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为． 故选A． 【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为． 3．（2023·山东临沂·中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 5．（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    【答案】10 【分析】根据每条直线与轴交点的横坐标解答即可． 【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与轴交点的横坐标依次是2，4，， 第5条直线与轴的交点的横坐标是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 6．（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【答案】1 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 7．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 8．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【分析】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时，    ∴符合条件的点坐标是，. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·陕西西安·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，得到， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 2．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得， 解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得，即． 故答案为：C． 3．（2025·江苏扬州·一模）通过画出函数图象探究函数性质是学习新函数的一种基本方法，请运用此法判断新函数的图象与一次函数的图象的交点个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值二次函数图象与一次函数图象的交点个数判断，掌握函数图象的画法，数形集合是解题的关键．先画出两个函数的图象，然后数形结合就可以得出答案． 【详解】解：， 或时，，当时，， 过、、 ， 其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 将的图象在轴下方的部分对称到上方，得到的图象， 一次函数，当时，，当时，，当时，，故一次函数过和和，如图所示： 从图象可知，交点个数为3个， 故选：C． 4．（2025·山东青岛·一模）若实数，满足，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求出，，得出函数的解析式为，即可得出函数图象经过第一、二、三象限，求解即可． 【详解】解：实数，满足， 即， ，， ，， 函数的解析式为， 此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 5．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质．根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，故选项B不正确，符合题意； ∵当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，故选项C正确，不符合题意； ∵一次函数的图象与轴交于点，且，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与y轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与x轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，…，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出，根据等边得到，解直角三角形求出，则，依次类推求出，找到规律，即可求解． 【详解】解：当， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∵过点作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求， ... ∴以此类推， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，点的坐标规律探索，涉及与坐标轴的交点，等边三角形的性质，解直角三角形的相关运算等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：将代入直线得，即，故， 将代入直线得，解得，即； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 当、、在同一直线上时，最小，为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 9．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)且． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可． 【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； （2）解：由（1）得：， 根据题意得：当时，且， ， 当时，，最大值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； ， 当时，，最小值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； 综上可得：且． 10．（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． 列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 0 2 5 … (1)填空：表中__________、__________； (2)在图中描点并画出该函数的图象； (3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，的值随的值增大而增大； ②当时，； ③该函数存在最小值，最小值为； ④该函数图象关于直线对称． 其中正确的是__________．（请写出所有正确命题的序号） 【答案】(1)3， (2)见解析 (3)①③ 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图象，一次函数的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把和分别代入函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案； （2）先描点再连线画出对应的函数图象即可； （3）根据所画函数图象和表格中的数据逐一判断即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴； （2）解：如图所示函数图象即为所求； （3）解：①由函数图象可知，的值随的值增大而增大，原说法正确； ②当，解得或，故当时，或，原说法错误； ③由函数图象可知，该函数存在最小值，最小值为，原说法正确； ④由函数图象可知，该函数图象不关于直线对称，原说法错误． 故答案为：①③． 【题型二】一次函数与实际问题 1）一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【中考真题】 1．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 2．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 3．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 4．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 5．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 6．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【模拟训练】 1．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 【详解】解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北·模拟预测）建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（   ） A．当时，的电阻值为 B．随着水位的升高而增大 C．当，与的关系式为 D．的电阻值为时，水位的高度 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：根据图2可得：当时，的电阻值为；故A选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：当，的增长量是固定的，符合一次函数， 故设与的关系式为， 将，，代入得， 解得：， 即与的关系式为，故C选项说法正确，不符合题意； 当的电阻值为时，将代入， 得， 解得：， 即的电阻值为时，水位的高度鱼约为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（2025·山东济南·一模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， 又∵时，， ∴设， 将代入得，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2025·山东济南·一模）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 5．（2025·内蒙古·一模）为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为． (1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系； (2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？ 【答案】(1) (2)块 【分析】（）根据题意列出一次函数即可； （）由题意得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴最多可以安装块减速块． 6．（2025·天津和平·一模）甲，乙两人骑自行车从地到地．甲先出发骑行时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达地．下面图中表示乙骑行时间，表示骑行的距离，图象反映了甲，乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前_____到达地，乙的骑行速度为_____，值为_____； (2)直接写出甲骑行过程中，关于的函数解析式； (3)乙到达地，此时甲离地的路程为_____； (4)在甲到达地前，当_____时，甲乙两人相距． (5)乙出发_____时二人相遇，此时距离A地_____． 【答案】(1)0.4，15，1； (2)甲骑行过程中，关于的函数解析式为 (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5)；24 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可以求出乙比甲提前到达地的时间；再求出乙的速度为15千米时，根据开始时，甲、乙两人骑行速度相同，可得； （2）根据函数图象，用待定系数法分段求出函数解析式即可； （3）在中，令得，即可知乙到达地后，甲离地4千米； （4）分甲、乙相遇前、后以及乙到达地后三种情况，根据甲乙两人相距列方程求值即可； （5）先求出乙骑行过程中，关于的函数解析式，再联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图象知，乙比甲提前到达， 乙的速度为（千米时）， 开始时，甲、乙两人骑行速度相同， ， 的值为1， 故答案为：0.4，15，1； （2）解：当时，由题意得：； 当时，设关于的函数解析式为， 把，代入得 ，解得， ， 综上所述，甲骑行过程中，关于的函数解析式为； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 在中，令得， （）， 乙到达地后，甲离地4． 故答案为：4； （4）解：乙的速度为， 乙骑行过程中，关于的函数解析式为， ①甲、乙两人相遇前后相距， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距， 则． 综上所述，当或或时，甲乙两人相距． 故答案为：1.2或2或2.6； （5）解：由（4）乙骑行过程中，关于的函数解析式为， 联立方程组得：，解得：， 乙出发时二人相遇，此时距离A地． 故答案为：；24． 7．（2025·山东济南·一模）第九届亚洲冬季运动会已于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．A商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)某中学八年级春季运动会上准备用吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为奖品，计划从商场购买两种吉祥物共90个，要求购买“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍，商场若一个“滨滨”、“妮妮”分别加价8元、5元出售．问该校从商场购买“滨滨”多少个时，可使花费总额最少？ 【答案】(1)600个；400个 (2)60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出函数解析式． （1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个，先根据“滨滨”数量不少于“妮妮”数量的2倍求出m的取值范围，再设该校花费总额w元，列出函数解析式求解． 【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：，解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； （2）解：设该校从A商场购买“滨滨”m个，则购买“妮妮”个， 由题意得：，解得： 设该校花费总额w元，则 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， ∴该校从A商场购买“滨滨”60个时花费总额最少． 8．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】(1)120，24，10； (2) (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：120，24，10； （2）解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 【题型三】一次函数与几何综合 1）一次函数与x轴交于，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为. 2）一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就利用相关图形的几何性质与一次函数的性质求解. 【中考真题】 1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 2．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 4．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得； （2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故． 【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时， 当时，，P与B重合， ∴，， ∴的长为4，的面积为， 故答案为：4，； （2）∵A在直线上， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴； 当时，设交于E，如图：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    设直线解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息． 6．（2023·新疆·中考真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：； 【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①求点的坐标； ②求直线的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．          【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或 【分析】[建立模型]（1）根据题意得出，，证明，即可得证； [类比迁移] （2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标； ②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为； [拓展延伸]（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解． 【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； [类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点， 当时，，即， 当时，，即， ∴， ∴， ∴； ②∵，设直线的解析式为， 将代入得： 解得： ∴直线的解析式为， （3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧， 当时，， 解得：， ∴，； ①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），； ②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，    同理可得， ∴ ， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大 (3)t的值为3或 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，；    （2）函数图象如图：    当时，y随t的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，根据直线上存在点P是图形的“延长2分点”，得到直线与有交点，进而得到当过点时，值最小，进行求解即可； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，得到与有交点，求出与相切以及与相切，两种情况求出的临近值，即可得出结果． 【详解】（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ∵，， ∴，， ∵点是图形的“延长2分点”， ∴点在线段上， ∵在线段上， ∴是图形的“延长2分点”； 故答案为：； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图， ∵，， ∴，， ∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”， ∴直线与有交点， ∴当过点时，值最小， 把，代入，得：， ∴的最小值为； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似， ∵，，， ∴，，， ∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”， ∴当与有交点时，满足题意， 当与相切时，如图，则：或， ∴时，满足题意； 当与相切时，且切点为，连接，则：， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵，，， ∴轴， ∴， ∵以为圆心，半径为1的， ∴点在直线上，， ∴， ∴， ∴或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交轴于点，过点作轴于点G，则，由一次函数得，，由勾股定理得：，则，由旋转得，，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点G，则 ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴， ∵顶点C在直线上，点C的横坐标是2， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，构造全等三角形是解题的关键． 2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，且直线的解析式为，原点O在边上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．过点作于点，求得，，，证明，求得，，利用勾股定理列式，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作于点， 将代入一次函数解析式得，， ∴点A的坐标为， 同理可得，点B的坐标为， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点C的坐标为 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，可得，，，，过点作的垂线，垂足为点，设，根据三角函数可得，结合点走的路程为，在分别分析，，，四种情况时，关于的函数的大致图象，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 过点作的垂线，垂足为点，设，如图所示： ∵， ∴ ∵点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度， ∴点走的路程为， 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为上升的直线； 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 同理可得，当时，关于的函数的图象大致为上升的直线；当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积计算、三角函数，菱形的性质，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点．若，则直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先利用一次函数解析式求出点坐标，再证明，得到，即得点的坐标，最后根据一次函数平移的性质即可求出直线的函数解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，， ∴， ∵直线向左平移后与轴，轴分别交于点，点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴平移以后的函数解析式为． 故选：． 5．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点作于点F，先证明，根据，得到，利用正切的定义结合点是的中点，求出，设，求出直线的解析式，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点作于点F， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，点．点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入， 则， 解得：， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 6．（2025·辽宁辽阳·二模）在平面直角坐标系中，我们定义：一个点的纵坐标与横坐标的乘积称为该点的“点积值”．如图，线段位于第一象限，点A在直线上，点B在直线的下方，，轴，当点B的“点积值”为28时，点A的横坐标 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数，解一元二次方程．设，根据“轴”表示出点B的坐标，再根据“点积值”为28列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：点A在直线上， 设， 线段位于第一象限，轴， 点B的坐标为， 点B的“点积值”为28， ，即， 解得，， 点A在第一象限， ， 即点A的横坐标为4， 故答案为：4． 7．（2024·山东济南·模拟预测）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 8．（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1． 【应用】根据定义回答下列问题： （1）如图：直线与直线的距离是 ； （2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值； 【拓展】 （3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） ；（2）或；（3） 【分析】（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，可得：，，，为等腰直角三角形，则，作交于，解直角三角形即可求解； （2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，，则，为圆A的切线，由得，，则，，可知，，和中，，求得，可得，，过点作轴，交，于，可知，和中，，求得，同理，，即可求解； （3）设与x轴、y轴分别交于点A、B，可知，，过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则，解直角三角形得，设，则，则，可知当时，，此时，，作于H，求得，，求得可得． 【详解】解：（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点， 对于，当时，，则，即：， 对于，当时，，则，即：， 当时，，则，即：， ∴为等腰直角三角形，则， 作交于，， ∴， 故答案为：； （2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，， ∴，为圆A的切线， 由得，，则，， ∴，， 和中，， ∴， ∴，， 过点作轴，交，于， ∵， ∴， 和中，， ∴， 同理， 综上，或； （3）设与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，，当时，，则， 则，， 过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则 和中， ∴， 设，则， 则 当时，， 此时，， 作于H， 则， 由勾股定理可得， 则，， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线，二次函数与一次函数综合，勾股定理，解直角三角形等知识，理由数形结合的思想是解决问题的关键． 9．（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是，． 【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键． （1）根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果； （2）设点，则，，根据列出，进一步得出结果； （3）设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果； 【详解】（1）解：直线过点， ， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：设点，则，， 由得，， 舍去或， ； （3）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下， 设点，则，， 四边形是长方形， ，， 由得，， ， 由得，， 点M在直线上运动． 10．（2025·广东清远·一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点． (1)求点的坐标和直线的表达式； (2)在直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求点的坐标； (3)如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当为等腰直角三角形时，求出此时的长度． 【答案】(1)， (2)为或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求得直线表达式即可； （2）先求得，，推出．设，由三角形的面积公式列式计算即可求解； （3）过作轴于，过作轴于，过作轴于．证明，推出，，设，推出．证明，得到，据此列式求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴． 设直线表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∴， 令，则 解得 故 由题意得．设，． ∴，即． 解得． ． ． ． 即． 解得． ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：过作轴于，过作轴于，过作轴于． ∴四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ ． ∴，， 设（）， ∴，，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ， 由勾股定理． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的判定和性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 考点二： 反比例函数 【题型一】反比例函数图象上点的坐标特征 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 1）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 2）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 3）|k|越大，与坐标轴的距离越远. 【中考真题】 1．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 2．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 3．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．    【答案】 【分析】过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解∶过点作轴于点，    由旋转的性质得，，， ∵点的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由勾股定理得． ∴， ∴点的坐标为 ，， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴ ， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点的坐标． 6．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． (1)【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． (2)【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析 (2)①左，1；②B (3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B （3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 7．（2023·四川达州·中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3)或 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 8．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 【模拟训练】 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）根据学习函数积累的经验，自主探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是的图象平移得到的 B．函数的图象与x轴有一个交点 C．函数的图象与y轴的交点坐标是 D．函数的图象关于原点对称 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，平移的性质，关于原点对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据反比例函数的图象性质，则函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，结合函数的分母不为0，即，令，则，再根据函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于对称，即可作答． 【详解】解：A、函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，故该选项是符合题意的； B、函数的分母不为0，即，则函数的图象与x轴没有交点，故该选项是不符合题意的； C、令，则，故函数的图象与y轴的交点坐标是，故该选项是不符合题意的； D、函数的图象关于原点对称，且函数的图象是的图象向右平移一个单位长度得到的，则函数的图象关于对称，故选项是不符合题意的； 故选：A． 2．（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解， 【详解】解：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 3．（2025·河北保定·一模）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出是解题的关键． 设长方体盒子中水的体积为，依题意得，即，将曲线与直线相联立，得，整理得，由于该曲线与直线只有一个公共点，因而可得，由此即可求出的值． 【详解】解：设长方体盒子中水的体积为， 依题意得：， 即：， 将曲线与直线相联立，得： ， 整理，得：， 该曲线与直线只有一个公共点， ， ， 长方体盒子中水的体积为， 故选：． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，两点都在反比例函数的图像上，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的有关计算，根据得到，，根据得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：∵，两点都在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东淄博·一模）若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数； ②y随x的增大而减小；③若在图象上，则；④若在图象上，则不一定在图象上．其中正确的是 （填序号）．    【答案】③ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质得到在每一项限内，y随x的增大而减小，，则可对①②进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断． 【详解】解：观察图象得：函数图象位于第一、三象限， ∴在每一项限内，y随x的增大而减小，，故①②错误； 当时，， 当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴若在图象上，则一定在图象上，故④错误． 故答案为：③ 7．（2025·河南焦作·一模）如图，在中，为坐标原点，，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作轴于点，过作轴于点，则，然后求出，再根据同角的余角相等得出，所以，故，即，然后通过勾股定理求出点，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 9．（2025·河南信阳·一模）如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)单位长度 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由解析式得出得反比例函数过点，，，描点画图即可； （3）设点向下平移个单位长度得，得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由反比例函数的解析式为， 得反比例函数过点，，， 描点画图如图： （3）解：由图可得， 设点向下平移个单位长度得， 则， 由在上， 则， 解得：， 即向下平移单位长度． 10．（2025·天津红桥·一模）已知在反比例函数（m为常数，且）的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点，，是否在该反比例函数的图象上，并说明理由： (3)当时，求该反比例函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)；第二、四象限 (2)点，在反比例函数的图像上，点不在反比例函数的图像上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答； （2）将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可； （3）将代入反比例函数解析式，求得横坐标，即可解答． 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限； （2）解：当时，，故点在反比例函数上； 当时，，故点不在反比例函数上； 当时，，故点在反比例函数上； （3）解：当时，； 当时，， 故当时，该反比例函数的函数值y的取值范围为． 【题型二】反比例函数系数k的几何意义 【中考真题】 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 6．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k； （2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式． 【详解】（1）解：四边形是边长为的正方形， ， ； 即反比例函数的表达式为． （2）解：设，过点D作轴，   点，，， ∴ ， ， 解得：，，经检验，是符合题意的根， 即点， 设直线的函数解析式为，得∶ ，解得：， 即：直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于，灵活运用几何意义是解题关键． 【模拟训练】 1．（2025·广西桂林·一模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数为：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 3．（2025·广东清远·模拟预测）已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键． 根据题意得到，，由此即可求解． 【详解】解：点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为， ∴， 过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为， ∴， ∴， 故选：D ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为 ，则四边形和四边形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位数图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键． 根据题意，四边形，是矩形，，，由相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数 的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为， 故选：A ． 5．（2024·广西玉林·一模）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和． 【详解】解点在反比例的图象上， ； 连接交于点，设与交于点，如图所示： 四边形为菱形， 与互相垂直平分，， 点的纵坐标为， ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 图形阴影部分面积之和为：． 故选：B． 6．（2025·云南昭通·一模）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 根据比例系数k的几何意义得到，然后即可计算出． 【详解】解：根据题意得 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象第一象限分支上任意一点，连接，过点作轴，垂足为点，过点作的平行线，该平行线与轴交于点，并交图象第三象限的分支于点． （1） ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）由反比例系数的几何意义，即可求解； （2））过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，可求，，即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）过作轴交于， ， ， ， 轴， 轴， 四边形是平行四边形， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例系数的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；能熟练利用反比例系数的几何意义及相似三角形的判定及性质结合设辅助未知数进行求解是解题的关键． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，点A在第一象限，点B在x轴上，C为斜边上一点且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求k的值； (3)取的中点E，证明：直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）运用 证明，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是矩形，因为点D在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是2，故矩形的面积是1，因为反比例函数的图象过点A．则； （3）先设，再分别表示，，，再运用待定系数法求出直线解析式为，依题意，得，整理得，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，得证四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是2， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是1； ∵反比例函数的图象过点A． ∴； （3）解：依题意，反比例函数的图象过点A． 设， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得 解得， ∴直线解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得 ∴， ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点 ∵反比例函数的图象过点A． ∴直线与反比例函数的图象仅有一个交点A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，反比例函数的值与面积关系，一元二次方程的判别式的应用，求一次函数的解析式 ，难度较大，综合性强 ，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】(1)①4；②； (2)k的值为． 【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【详解】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； （2）解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 【题型三】反比例函数与一次函数综合 1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点； 2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点； 3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数. 4）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 【中考真题】 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 4．（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 5．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．    【答案】 【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点， ∴ ∴， ∴双曲线的表达式为：，， ∵过点作轴，交轴于点， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 6．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； ∴反比例数解析式为 故答案为：； （2）∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为 联立 解得：或 当时， 当时， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故 ，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴ ； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 9．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． (1)求，的值； (2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； （2）解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·安徽淮北·一模）已知反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点A，一次函数与 y 轴交于点B．若，则k的值为（    ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函数的方法是解题的关键． 由反比例函数与一次函数的交点在第一象限，即；再求得，即；设，根据可得，即可确定，最后求得k即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点A， ∴， ∵一次函数与 y 轴交于点B， ∴，即， 设， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故选C． 2．（2025·江苏连云港·一模）若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 3．（2025·四川·模拟预测）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．由题意，，，，，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意，，，，，都是等腰直角三角形， ， ，设， 则有， 解得， ， 设，，则有， 解得， ， 同法可得，， ， ， 故答案为：． 4．（2024九年级·河北·学业考试）如图，在平面直角坐标系内有两个点，若反比例函数的图象交线段于点C、D，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题、相似三角形的判定和性质、坐标与图形等知识．先求出直线的解析式为；过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，设点C的坐标为，则，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，证明，，求出，，则，得到点D的坐标为，由反比例函数的图象交线段于点C、D得到，解得（不合题意，舍去），得到点C的坐标为，即可求出答案． 【详解】解：设直线的解析式为，把点代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点C作轴于点E，过点D作轴于点F， ∴； 设点C的坐标为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象交线段于点C、D， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．    (1)求直线的表达式； (2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解； （3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， ， 即， 将代入， ， 直线的表达式为； （2）解：直线与反比例函数交于点A，B， 联立方程组得 解得， ， 过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，   ， ， ， 在中，当时，， ， 设直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D， ， 直线与x轴交于点G， ， ， ； （3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，   为的直径， ， 是的中点， ， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点 ， ．（在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为） (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点，，分，是对角线，，是对角线，，是对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：；   ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴，解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴，解得：，∴ 点D的坐标为； ②当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； ③当，是对角线时， ∴，解得：， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【题型四】反比例函数与实际问题 1）利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 【中考真题】 1．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵，， ∴当x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意代入数据求得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，函数为反比例函数， 当时，， 即函数图象经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键． 3．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 4．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 5．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 6．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．    (1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）； (2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【详解】（1）设函数关系式为， 根据图象可得：， ， 当时，， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 要使气球不会爆炸，，此时， 气球的半径至少为时，气球不会爆炸； （2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 【模拟训练】 1．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可判断这四个用电器中电阻最大的是 （    ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数的应用．根据图示得出利用不等式的性质得出则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 由图象可知： ∴ ∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻， ∴这四个用电器中电阻最大的是丙． 故选：C． 2．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（    ） A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D．当光照强度为时，控制电路中的电流为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据反比函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确； B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得； C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由 ，可知应减小控制电路电压，故C选项错误； D、当光照强度为时，可知光敏电阻 控制电路中的电流 ，故D选项正确； 故选 C． 4．（2024·江苏宿迁·一模）数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 5．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 【答案】(1)，能 (2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解； （2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解． 【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为， 可得， 解析式为， 令，则， ， 此运动员落地达标， 故答案为：，能； （2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系． 设， 将代入得， 解得， ． 将代入验证：当时，成立， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． ②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点， 将和分别代入， 得，． 由得， 又 ． 答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 6．（2024·湖南郴州·模拟预测）某数学小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】（1）解：设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 【题型五】反比例函数与几何综合 【中考真题】 1．（2024·山东德州·中考真题）如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．    【答案】 【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值． 【详解】当时，的纵坐标为8， 当时，的纵坐标为4， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出． 7．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 9．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标； (3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答． （3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出 解得 把代入中，得出 ∴ 则把和分别代入 得出 解得 ∴； （2）解：记直线与直线的交点为 ∵ ∴当时，则 ∴ ∵P是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为21， ∴ 即 ∴ 解得或 ∴点P坐标为或； （3）解：由（1）得出 ∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， ∴设点Q的坐标为 如图：点在点的右边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得（负值已舍去） 经检验是原方程的解， ∴Q点坐标为 如图：点在点的左边时 ∵的面积为21，和 ∴ 整理得 解得，符合题意，，不符合题意， 则，故 综上：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【模拟训练】 1．（2025·安徽·二模）如图，平行于轴的直线分别交反比例函数与的图象（部分）于点，，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．设的坐标为，的坐标为，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设的坐标为，的坐标为， ∴， 故选：C． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可． 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故选：A． 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，反比例函数的图象经过两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】利用点的坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，通过解析式求出交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得，则可求出点纵坐标，进而求出相关三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：将代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得， ， ∴点坐标为， 假设直线的解析式为，将两点坐标代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 连接，如图， ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ， ∴点纵坐标为4， ∴， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数相结合，反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各函数的性质，并会通过坐标求出三角形的面积． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律． 根据和求出点，，，，的坐标，再结合反比例函数的性质求出点，，，，的坐标即可求解． 【详解】解：∵点，， ，，，，． ∵点，，，，在反比例函数的图象上， ，，，，， ，，， 当时，． 故选：A． 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（  ） A．54 B．108 C．48 D．27 【答案】B 【分析】过作于，交于，设，通过证明，得到，解方程组求得与的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中的值． 【详解】解：如图所示，过作于，交于， 则四边形是矩形， ∴， 由折叠性质以及正方形性质可得：， ， ， ， ， 设， ， ∵正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点， ， ， ，即， 解得：．经检验符合题意； ， ∴反比例函数中， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 6．（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【答案】 18 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 7．（2025·江苏无锡·一模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为． 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为， 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·一模）如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出k的值． 【详解】解：作于点， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设则， ∴， ∵点A在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 过点作直线轴，垂足为点，作于点， ∵ ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 作轴于点， ∵点在上， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由①②得， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入 ，求得，则，由平移的性质得 ．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得 ．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 【答案】[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三] 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． [任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； [任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想； 故答案为：函数思想； [任务二]设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 10．（2025·辽宁铁岭·一模）定义：在平面直角坐标系中，函数的图象经过的两个顶点，则函数是的“勾股函数”，函数经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数的最大值记为，最小值记为，则称是的“”值． 已知：在平面直角坐标系中，，轴． (1)如图，若点的坐标为，． ①一次函数是的“勾股函数”吗？若是，说明理由并求出的“”值；若不是，请说明理由． ②是否存在反比例函数是的“勾股函数”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“勾股函数” ①若二次函数经过两点，求的“”值． ②若二次函数经过两点，且的“”值，直接写出的值． 【答案】(1)（1）①一次函数是的“勾股函数”，2；②5 (2)①存在，；②的值为4或或 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）①先求出A、B的坐标，然后根据的“勾股函数”的定义判断即可；根据一次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②根据的“勾股函数”的定义判断即可； （2）①先求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出的解析式，根据二次函数的性质求出， ，最后根据的“”定义求解即可； ②先求出顶点坐标，然后分情况讨论：第一种情况，点B在点A上方，即，（i）当点B和点A在对称轴左侧；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即；第二种情况，点B在点A下方，即，（i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得；（ii）当对称轴在点A和点C之间，即，讨论即可． 【详解】（1）解：①一次函数是的“勾股函数”， 由轴，点C坐标为，，可得： 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵和这两点都在直线上， ∴一次函数是的“勾股函数”， ∵， ∴一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴的“”值为2； ②存在，理由如下： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一个反比例函数图象上， ∴反比例函数是的“勾股函数”，且； （2）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为，，轴， ∴， ∵二次函数经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴当或2时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为， ∴，即的“”值为； ②∵二次函数经过A，B两点， ∴将，代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 由， ∴顶点坐标为：， 第一种情况，点B在点A上方，即， （i）当点B和点A在对称轴左侧，即，解得， 此时随x的增大而减小， ∴，， ∴， ∴， 解得：， （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴，都舍掉； 第二种情况，点B在点A下方，即， （i）当点B和点A在对称轴右侧，即，解得， 此时随x的增大而增大， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴； （ii）当对称轴在点A和点C之间，即， 此时最大，顶点y值最小， ∴， ∴， 解得：，， 又， ∴； 综上所述，m的值为4，，． 11．（2025·陕西西安·二模）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； ②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答； ③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能； ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：； ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$