高一数学第三次月考卷（上海专用，测试范围：沪教版2020必修第二册第六～八章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.68。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将弧度化为角度：弧度= °． 2．角的终边上有一点，则 3．已知四边形是边长为1的正方形，则 4．已知向量，，若，则实数 . 5．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 6．已知，，则在方向上的数量投影为 ． 7．已知，则 8．函数在区间上的零点是 . 9．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 10．已知函数，图像上的每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则 .    11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且∠B=90°．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 14．已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 15．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 16．对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 18．已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 20．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 21．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．/ 6．/ 7．/ 8． 9．/0.4 10． 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 A C C A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）由正弦定理和，可得，不妨设，则， 由余弦定理，， (4分) 故，则. (6分) （2）因，，且的面积为， 由，可得， 因，故或. (8分) 当时，由余弦定理，； (11分) 当时，由余弦定理，. 故的值为或. (14分) 18．（1）函数 函数的最小正周期为， (3分) 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小值为， 所以，解得， 所以. (6分) （2）由，知， 因为，所以， 由于在区间上恰有两个不同解，所以，即. (14分) 19．（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， . ∴矩形的面积为 . (4分) 当时，， 即矩形的面积为. (6分) （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， (8分) ∴当，即时，取得最大值，最大值为. (14分) 20．（1）， (4分) （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； (10分) （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. (18分) 21．（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； (4分) （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； (10分) （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. (18分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期第三月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． ___ _________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第三月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.68。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将弧度化为角度：弧度= °． 2．角的终边上有一点，则 3．已知四边形是边长为1的正方形，则 4．已知向量，，若，则实数 . 5．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 6．已知，，则在方向上的数量投影为 ． 7．已知，则 8．函数在区间上的零点是 . 9．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 10．已知函数，图像上的每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则 .    11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且∠B=90°．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 14．已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 15．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 16．对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 18．已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 20．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 21．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第六~八章（选填题第八章占50%）。 5．难度系数：0.68。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．将弧度化为角度：弧度= °． 【答案】 【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解. 【解析】. 故答案为： 2．角的终边上有一点，则 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【解析】因为角终边上有一点， 所以. 故答案为： 3．已知四边形是边长为1的正方形，则 【答案】 【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果. 【解析】, 故答案为：. 4．已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【解析】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 5．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【解析】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 6．已知，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【分析】直接由数量投影的定义即可求解. 【解析】． 故答案为：. 7．已知，则 【答案】/ 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【解析】由，所以 ， 故答案为：. 8．函数在区间上的零点是 . 【答案】 【分析】根据零点的定义，求解简单的三角方程，即可求得结果. 【解析】令，解得，又，故可得. 即函数在区间上的零点是. 故答案为：. 9．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线和向量定理的推论列式计算. 【解析】在中，由及，得， 由三点共线，得，所以. 故答案为： 10．已知函数，图像上的每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则 .    【答案】 【分析】根据伸缩变换求出的解析式，利用向量关系得到，利用周期公式进行求解即可． 【解析】把图像上的每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像， 可得图像． 的周期， ，， 即，则， 即是等腰直角三角形，则，即， 即，解得． 故答案为：． 11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且∠B=90°．．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【解析】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题. 【解析】以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系如下图，设 ， 则 ， ， 即为平面内一点 到 三点的距离之和， 由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC为费马点时 最小， 将三角形ABC放在坐标系中如下图： 现在先证明 的三个内角均小于 ： ， ， ， 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形， 点P必定在底边BC的对称轴上，即y轴上， ， ，即 ， 现在验证： ， ， ，同理可证得 ， 即此时点 是费马点，到三个顶点A，B，C的距离之和为 ，即的最小值为 ； 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得. 【解析】对A：，又是偶函数，故A正确； 对B：为奇函数，故B错误； 对C：周期为，故C错误； 对D：为奇函数，故D错误. 故选：A. 14．已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】由题意，根据平面向量的基本定理，结合选项依次计算即可求解. 【解析】A：假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故A错误； B：假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线. ，得，无解，所以假设不成立，故D错误. 故选：C 15．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【解析】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 16．对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①正确②正确 D．①错误②错误 【答案】A 【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可. 【解析】记 ， 令，则， 因为，所以，， 所以， 令，上式化为，， 易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增， 即，， 所以. 显然恒成立，即当时，恒成立， 故①正确； 显然当时，， 不存在使得成立，故②错误. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知在中，三个内角所对的边分别为． (1)当时，求（用反余弦表示）． (2)当，时，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由正弦定理化角为边，利用余弦定理求出的值，判断角的范围即可求得； （2）由三角形面积公式求得或，再分情况利用余弦定理即可求得的值. 【解析】（1）由正弦定理和，可得，不妨设，则， 由余弦定理，， 故，则. （2）因，，且的面积为， 由，可得， 因，故或. 当时，由余弦定理，； 当时，由余弦定理，. 故的值为或. 18．已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 【答案】(1);. (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式化简可得的解析式，由已知条件求得函数的最小值为，计算即可得解； （2）原问题转化为在区间上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解. 【解析】（1）函数 函数的最小正周期为， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小值为， 所以，解得， 所以. （2）由，知， 因为，所以， 由于在区间上恰有两个不同解，所以，即. 19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【解析】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， . ∴矩形的面积为 . 当时，， 即矩形的面积为. （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 20．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【解析】（1）， （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 21．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【解析】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$