精品解析：上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高一下学期第一次质量检测数学试卷

嘉定二中2023学年度第二学期第一次质量检测 高一数学试卷 命题人：高一数学组 2024年2月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 终边在轴上的角的集合是___________. 2. 一个扇形半径是，圆心角为，则此扇形的弧长是_____________. 3. 已知的终边经过点，则_________ 4. 若的最小值为，则实数的值为__． 5. 化简：_________ 6. 用列举法写出__________. 7. 已知，又，，则______. 8. 已知三角形内角满足，则__________. 9. 已知，则______________. 10. 已知，化简：__________. 11. 设、，且，则最小值等于_________ 12. 在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则________. 二、单选题（每题5分） 13. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A. 小于的角一定是锐角 B. 第二象限的角一定是钝角 C. 始边相同且相等的角的终边一定重合 D. 始边相同且终边重合的角一定相等 14. 设集合，集合，则（ ） A. B.  C.  D. 15. 下列等式正确是（ ） A. B. C D. 16. 设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 18. 已知，，其中． （1）求的值； （2）求． 19. （1）已知，，，求实数的值； （2）利用辅助角公式可将写出的形式，其中，求和的值； 20. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 21. 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 嘉定二中2023学年度第二学期第一次质量检测 高一数学试卷 命题人：高一数学组 2024年2月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 终边在轴上的角的集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】终边在轴上的角的集合是， 故答案为：. 2. 一个扇形半径是，圆心角为，则此扇形弧长是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式求解即可. 【详解】由扇形的弧长公式可知，此扇形的弧长. 故答案为： 3. 已知的终边经过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 故答案为： 4. 若的最小值为，则实数的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合辅助角公式运算求解. 【详解】∵，由题意得， 所以． 故答案为：. 5. 化简：_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 6. 用列举法写出__________. 【答案】##{-1，3} 【解析】 【分析】对分类讨论，分别求出集合A. 【详解】要使有意义，则不能为坐标轴角. 当为第一象限角时，所以； 当为第二象限角时，所以； 当为第三象限角时，所以； 当为第四象限角时，所以； 故集合. 故答案为：. 7. 已知，又，，则______. 【答案】##0.96 【解析】 【分析】利用同角关系式可得，，然后利用差角公式即求. 【详解】∵，又， ∴，，又， ∴， 当时， ， 当时， ，此时不合题意. 故答案为：. 8. 已知三角形内角满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将两边平方求出，再根据计算可得. 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 9 已知，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】 . 故答案为： 10. 已知，化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题. 11. 设、，且，则的最小值等于_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质得到，即可求出、的取值，即可求出的最小值. 【详解】因为、，所以、，则、， 所以，， 又因为， 所以，即， 所以，， 所以， 所以， 所以当或时取得最小值，且. 故答案为： 12. 在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值. 【详解】由已知分子分母同时除以得， . 又，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题. 二、单选题（每题5分） 13. 在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A. 小于的角一定是锐角 B. 第二象限的角一定是钝角 C. 始边相同且相等的角的终边一定重合 D. 始边相同且终边重合的角一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误； 对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确； 对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误. 故选：C 14. 设集合，集合，则（ ） A B.  C.  D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角， 四条射线分别是射线 ， 它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 15. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差化积公式直接判断即可. 【详解】由和差化积公式可知： ， ，， 因此选项C正确， 故选：C 16. 设圆的半径为，点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每次滚动时点所走过的路程，即可得解. 【详解】由图可知，圆的半径为，正方形的边长为， 以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， 当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次， 设第次滚动时，点的路程为，则，， ，， 因此，点所走过的路程为. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式化简式子，最后代入的值求解； （2）利用二倍角公式将式子化简，再结合同角三角函数的基本关系将式子转化为只含的形式，最后代入的值求解. 【详解】（1）已知角的终边经过点，得到. ； （2） . 18. 已知，，其中． （1）求的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由和差公式得出，联立，且，即可解出答案； （2）求出的值，结合，即可得出答案. 【小问1详解】 ， 即， 联立，且， 解得，． 【小问2详解】 由小问1得， 则， ，则 则． 19. （1）已知，，，求实数的值； （2）利用辅助角公式可将写出形式，其中，求和的值； 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）同角三角函数的基本关系得到方程，求出，再根据三角函数的符号验证即可． （2）根据辅助角公式计算可得. 【详解】（1）因为，，且， 所以，又， 所以，解得或， 当时，，不满足题意； 当时，，，满足题意； 所以. （2）因为 ， 所以，， 又，所以，即， 所以，. 20. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【小问1详解】 由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. 【小问2详解】 由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ，  所以，. 21. 在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点 （1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】 【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标； （2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值； （3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）设点在角的终边上， 又，则， 所以点在角的终边上，且， 所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为. （2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ∴，且，求得， 则，， 则 ． （3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得，且， ∴，， ∴， 即，平方可得，，当且仅当时，取等号． ∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$