抢分秘籍14 函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）（四大题型+三大易错）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（全国通用）

抢分秘籍14 函数选填压轴题 （含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题） 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】二次函数的图象和性质 【题型二】一次函数与反比例函数 【题型三】反比例函数与特殊四边形 【题型四】几何图形中动点之函数问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误 易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误 易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误 ：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。 2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。 ：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。 【题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。 【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识点是关键．利用二次函数图象的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：将、代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为， 该函数图象的对称轴为直线，故甲正确； 又，函数图象的对称轴为直线， 二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，故乙不正确，丁正确； 当时，，即，故丙正确； 故选：B． 【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， 当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则 ∴ ，当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【详解】解：A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 【题型二】一次函数与反比例函数 【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 【答案】 或； 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式． （1）根据图象找到反比例函数在一次函数上方部分，可得答案； （2）由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入，得直线的解析式为，分别令，即可得，，再根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：（1）由图象可知，写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为：或； 故答案为：或； （2）由题意知，，， 由图象可知，， 设直线的解析式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，，即， 令得，，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。 【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求出反比例函数解析式；设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 【详解】解：将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； ∵点在上， ∴设点，那么点， 由可得，所以， 解得 （舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 代入，得：，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1） ． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准确列出二次函数解析式是关键． （1）求出点和点的坐标，利用勾股定理即可求出答案； （2）设点C的坐标为，证明四边形是矩形，得到，则，得到四边形的面积为，利用二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）当时，，解得， ∴点的坐标为， 联立得到， 解得或， ∴, ∴， 故答案为： （2）设点C的坐标为， ∵过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积 当时，四边形的面积取得最大值， 故答案为： 【题型三】反比例函数与特殊四边形 【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个． 【答案】9 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与几何图形交点问题，反比例函数比例系数等．根据题意先求出，后将和均代入中即可得到和，继而得到取值范围及整数个数． 【详解】解：∵正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界）， ∴将代入中得：，将代入中得：， ∴的取值范围为，其中共有9个的整数值， 故答案为：9． 抓反比例函数点坐标特征（设为(a, k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，，证明，，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可． 【详解】解：过作，交于，过作于， 设，， 由题意可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值已舍去） ∴，， ∴的坐标为， ∴， ∴经过的双曲线的解析式就是， 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系的特点，待定系数法反比例函数解析式，勾股定理等知识的综合运用，掌握菱形的性质，勾股定理得到，待定系数法的运用是解题的关键． 根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，可得，，即，则，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为： ． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、中点坐标 【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； （2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 在中，， ， ， 点是的中点， ，即， ， （2）点关于的对称点为点，， ， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（1）可得反比例函数的解析式为， 联立， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识． 【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【答案】 18 【知识点】反比例函数与几何综合、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；分别过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据相似三角形的性质以及点的坐标得出点的坐标，进而求得；延长交轴于点，过点作于点，求得直线的解析式，进而求得点的坐标，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵，则 ∴ ∴ ∴ ∴； 则反比例函数解析式为 如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：或（舍去） ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：，． 【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由点的坐标为可得，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，得到，求出值即可求解； （2）设，得以得到点的坐标为，然后可以得到点的坐标为，然后得到点的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：（1）点的坐标为， ， 是的中点， ， 设点的纵坐标为，则点的横坐标为， ， 解得：，（舍去）， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）设， ， ， ，都是等腰直角三角形， 点的坐标为， 是的中点， 点的坐标为， ， 阴影部分的面积等于， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 故答案为：． 【题型四】几何图形中动点之函数问题 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是动点形成的函数图象及全等三角形判定与性质，勾股定理，数形结合解决问题是解题关键，连接，先证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，得出表达式，再根据图象代入求出a值，即可求出结论． 【详解】解：连接， 等腰直角三角形中，，点为斜边的中点， ， ， ， ，即， ， ， 设，则， 在中，， 的周长为， 由图2知，当时，， ， 解得：， ， 故选：C． 设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。 【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，根据题意可得，的最大面积是，此时点与点重合，根据三角形的面积即可求出，进而求出的长，即可解答，根据图象得到的最大面积是是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知： 的最大面积是， 此时点与点重合， 如图， 在中，， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ，， ， 故选：C． 【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点作于，根据函数图象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 由图象可知，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：D． 【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题函数图象，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键． 分别判断出当点P在线段上运动时，的长逐渐变大，点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案． 【详解】解：当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小； 所以D选项的图象符合． 故选：D． 【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题． 【详解】解：①由图（2）知，当时，， 由题知，当时，， 四边形为矩形， ， 与间距为， ， ， ， 故，即①正确； ②，故②错误； ③当时，设， 过点， ，解得， ，故③错误； ④当秒时，点在上，此时，则， ，，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息． 【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可． 【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点， 由图可得，当点运动到点时，面积最大，为， ∴， 解得：； 当点运动到点时，停止运动，此时面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． 【题型五】二次函数与其他函数综合问题 【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。 【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点． （1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与轴的交点，其中一个是定点，不随的变化而变化； （2）根据题意得，即，求得在抛物线上，且，判断出，得，求出的取值范围． 【详解】解：①， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴无论取何值，抛物线总与轴交于， 故答案为：； ②∵抛物线与轴的交点坐标为，且对称轴与轴正半轴相交． ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵在该抛物线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 【答案】 直线 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）根据对称性求出对称轴即可； （2）根据对称轴求出值，求出和时的函数值，根据，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 【答案】或3/3或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误 求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心： 1. 定象限，判符号：图象在一、三象限⇒k＞0；二、四象限⇒k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。 2. 点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。 3. 含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。 易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。 例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键． 本题设，得到，以为底边的高，然后根据的面积为2，即可求解； 【详解】解：∵点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点， ∴设， ∴中，以为底边的高， ∴， ∴， 故答案为：4； 变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 过点作于点，结合题意可得，通过平行四边形的面积可得，因为点A的坐标为，进而得出点的坐标，代入反比例图像即可得解． 【详解】解：过点作于点， ， 则， 的面积为6， ，即， ， ， 点A的坐标为， 点的坐标为即， 把代入反比例函数的图象， 可得，， ． 故答案为：． 变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、三线合一、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，则， 是等边三角形，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 设，，则，，根据，得到，再由点在反比例函数的图象上，即可解答． 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误 图像共存易错点拔： 1. 符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。 2. 特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。 3. 对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。 4. 象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。 例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上， 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征． 先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项． 【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距， 当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限， ，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交． 综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确， 故选：A． 易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误 1.开口方向定a：开口向上⇒a＞0，向下⇒a＜0，勿颠倒。 2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左⇒ab同号，右⇒异号，忌单独看b。 3.与y轴交点定c：交点在正半轴⇒c＞0，负半轴⇒c＜0，过原点⇒c=0，勿与a混淆。 4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1⇒b=-2a，勿算反。 5.判别式与交点数错联：Δ=b²-4ac＞0⇒两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。 例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴是直线， ，， ， ，①正确； 二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点为， 二次函数与轴的一个交点为， ， ，②正确； 二次函数与轴的交点为和， 关于x的一元二次方程的两个根为，3，③正确； 二次函数开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， 二次函数的对称轴是直线，， ，④错误； 二次函数的对称轴是直线， 当是，二次函数有最小值为， 对任意实数m，都有，即 对任意实数m，不等式恒成立，⑤正确， 故选：C． 变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， 符号相同， ， 与y轴的交点在之间（不含端点）， ， ， 故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， 与轴交于另一点为， 当时，， 故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ， ， ， ， ， 故③正确； 若方程两根为， 则直线与抛物线的交点的横坐标为， 直线过第一、二、三象限且过点， 直线与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示， 由图象可知， 故④正确； 综上所述，正确的结论是③④，有个， 故选：B． 变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，通过抛物线经过点，对称轴为直线，可确定的关系，可判断①，由，根据，确定的范围，可判断②，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，解得或，与题意不符，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， 当一元二次方程有两个相等的实数根时，， 解得：或， ∵， ∴一元二次方程没有两个相等的实数根，故③不符合题意， 综上，符合题意的有，共个， 故选：B． 变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由二次函数与轴有两个交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性可得与关于对称轴对称，可对②进行判断；利用抛物线的开口方向可得，结合对称轴可得，根据抛物线与轴交于正半轴得到，可对③进行判断；当时，，即，则可对④进行判断． 【详解】解：由图象可知，二次函数与轴有两个交点，即，故①正确； 由图象可知，当时，， 抛物线的对称轴是直线， 与关于对称轴对称， ，故②正确； 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于正半轴， ，， ，故③正确； 当时，， ，故④正确； 故选：D． 变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①不正确； 当时，， 由图象可知此时，即，因此②正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴，故③正确； 对称轴是直线，即， ∴，而， ∴当时，， ∴顶点为，因此④正确； 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍14 函数选填压轴题 （含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题） 目录 【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】二次函数的图象和性质 【题型二】一次函数与反比例函数 【题型三】反比例函数与特殊四边形 【题型四】几何图形中动点之函数问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误 易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误 易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误 ：函数选填压轴题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．从考点频率看，一次函数常考图象性质、实际应用；反比例函数侧重k的几何意义、与几何综合；二次函数聚焦图象性质、最值、与方程结合，三者均高频，二次函数更甚，常为压轴核心。 2．从题型角度看，多为含参讨论、函数与几何动态结合题，如交点存在性、图形面积最值，需数形结合与分类讨论，选项/空设计具迷惑性，考验综合分析能力。 ：在中考数学备考中，熟背函数基础性质与图象，针对综合题分类型训练（如含参函数、函数几何综合），强化数形结合思维，总结解题模型（如设参表示变量、利用几何性质列方程），提升计算准确性与逻辑严密性。 【题型一】二次函数的图象和性质 【例1】（2025·广东深圳·二模）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 紧抓图象三要素（开口、对称轴、顶点），结合参数符号（a、b、c）分析趋势。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位关键点，借助判别式判断交点情况。善用对称性与最值特征，对含参问题通过临界值或代入选项验证，结合排除法缩小范围，数形结合直观破题。 【例2】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）老师在画二次函数（、为常数，且）的图象时列表如下： … … … … 四位同学根据表格得到结论如下： 甲：该函数图象的对称轴为直线； 乙：当时，随的增大而减小； 丙：； 丁：图象开口向下． 针对四人的说法，其中不正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（2025·湖南·二模）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（    ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【题型二】一次函数与反比例函数 【例1】（2025·安徽滁州·一模）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点A的横坐标为1，点B的横坐标为3． （1）写出反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围 ； （2）用含k的代数式表示的面积： ． 紧抓一次函数斜率（k）与截距（b）的几何意义，通过图象趋势分析增减性；反比例函数聚焦k的几何意义（面积不变性），联立方程转化为代数问题。遇动点或面积题，设参表示坐标，结合几何性质（如相似、面积公式）列等式，选项代入或临界值验证快速破题。 【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函数的图象与直线交于点，点在线段上，过点作直线轴，直线与交于点，，则点的坐标为 ． 【变式1】（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1） ． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为 ． 【题型三】反比例函数与特殊四边形 【例1】（2025·河北邯郸·一模）如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数值有 个． 抓反比例函数点坐标特征（设为(a, k/a)），利用特殊四边形性质（如平行四边形对角线中点重合、菱形邻边相等）建立代数关系。通过中点坐标公式、距离公式联立方程，结合k的几何意义（面积）列等式，对动点问题分类讨论，代入选项或利用对称性简化运算。 【例2】（2025·广东深圳·一模）如图，矩形的两边，在坐标轴上，且，，分别为，的中点，与交于点，且四边形的面积为，则经过点的双曲线的解析式为 ． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【变式3】（2025·安徽淮南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【变式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 【变式5】（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 【题型四】几何图形中动点之函数问题 【例1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，，点为斜边的中点，分别为边上的动点，且．设的长为的周长为，图2为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（   ） A．2 B．4 C． D． 设动点参数（如时间t），用几何性质（相似、勾股定理等）表示坐标，建立函数关系式（常为面积、长度关于t的表达式）。抓临界位置（起点、终点、特殊位置）确定定义域，结合图象趋势分析增减性或最值。选填题可代入特殊值验证，或利用几何直观（如对称、极值）快速排除选项，注意分类讨论动点路径分段情况。 【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图①，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图②是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·甘肃金昌·一模）如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·河南驻马店·一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【变式4】（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ． 【题型五】二次函数与其他函数综合问题 【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 联立函数方程化为一元二次方程，用判别式判断交点个数，韦达定理分析坐标关系。结合二次函数图象开口、对称轴，通过特殊值（如顶点、端点）定位交点范围，对含参问题取临界值代入选项验证，数形结合快速排除错误答案，注意区间内交点存在性的分类讨论。 【例2】（2025·辽宁·一模）如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 【变式1】（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 【变式3】（2025·黑龙江大庆·一模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为 ． 易错点一：反比例函数求K值未考虑图象所在的象限错误 求反比例函数k值时，图象所在象限是符号判断的核心： 1. 定象限，判符号：图象在一、三象限⇒k＞0；二、四象限⇒k＜0，勿混淆符号与象限对应关系。 2. 点坐标验符号：若点在某象限，其横纵坐标同号（一、三）或异号（二、四），代入y=k/x后符号与k一致，避免忽略坐标符号直接计算。 3. 含参问题需讨论：若k含参数（如k=m+1），先由象限定k范围（如k＜0），再解参数不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符号约束。 易混点：误将单一象限图象当作双支，或忽略多象限点的符号矛盾，需结合图象或坐标严格推导。 例1．（2025·陕西渭南·一模）如图，点是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点作轴的平行线，交轴于点．点为轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则的值是 ． 变式1：（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数的图象上，若点A的坐标为，的面积为6，则k的值为 ． 变式2：（2025·河北张家口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ． 变式3：（2025·辽宁铁岭·一模）如图，的顶点在反比例函数的图象上，在轴的正半轴上，与y轴交于点E，与轴交于点．若的面积为6，则的值是 ． 易错点二：一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题错误 图像共存易错点拔： 1. 符号一致性：一次函数k与b、反比例函数k、二次函数a/b/c符号需统一。如二次函数开口向上（a＞0），若一次函数过一、三象限，则k＞0，勿出现矛盾（如反比例函数k＜0却在一、三象限）。 2. 特殊点验证：x=0时，一次函数截距b与二次函数c值需对应；反比例函数无原点，勿误判图像过原点。 3. 对称轴与一次函数关联：二次函数对称轴x=-b/(2a)需与一次函数斜率k逻辑一致（如a＞0且对称轴在y轴左侧，则b＞0，对应一次函数若k=b，需k＞0）。 4. 象限分布矛盾：反比例函数双支象限需与一次函数、二次函数最值位置匹配，避免出现“二次函数最小值在第四象限，而反比例函数在一、三象限”的冲突。 例1．（2025·广东韶关·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 变式2：（2025·安徽·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 变式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 易错点三：根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误错误 1.开口方向定a：开口向上⇒a＞0，向下⇒a＜0，勿颠倒。 2.对称轴判ab符号：对称轴x=-b/(2a)在y轴左⇒ab同号，右⇒异号，忌单独看b。 3.与y轴交点定c：交点在正半轴⇒c＞0，负半轴⇒c＜0，过原点⇒c=0，勿与a混淆。 4.特殊点代入易漏符号：x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c，注意b的符号；对称轴x=1⇒b=-2a，勿算反。 5.判别式与交点数错联：Δ=b²-4ac＞0⇒两交点，易漏平方或符号，多结合图像验证系数逻辑链。 例1．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1：（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2：（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3：（2025·广东茂名·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 变式4：（2025·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$