精品解析：四川省广安市岳池县2024-2025学年九年级下学期4月模拟（二模）数学试题

四川省广安市岳池县2024-2025学年九年级下学期4月模拟（二模）数学试题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1－6页）和答题卡两部分．满分150分，考试时间共120分钟． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题均无效． 4．考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年3月23日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房（含预售及海外）已超15300000000元，位列全球影史票房榜第五位．将数据15300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 中， ，，，将 绕点C顺时针旋转后得到 ，点 经过的路径为，将线段 绕点顺时针旋转 后，点 恰好落在上的点处，点 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知抛物线 与 轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当 时，；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10. 分解因式3x3-12x=________ 11. 在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则______． 12. 已知 是关于 的一元一次方程的解，则的值为______． 13. 如图，点 在 上，，则_____________． 14. 如图，在 中，是 边上的动点（不与点A，B重合），过点分别作于点于点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简：，再从 ，， ， 中选取一个合适的数代入求值． 16. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 17. 如图，矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线，分别交 于点E，F．求证： ． 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作 轴，垂足为D，的延长线与直线 交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 19. 银杏是我国特有树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是世界上现存最古老的树种之一，实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏树的高度，一天他在阳光下竖直放了一根高的竹竿（），利用测角仪从竹竿的影子边缘F处测得竹竿的顶端C处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长为 ，其中点B，E，D，F四点在同一条直线上，，．求这棵银杏树的高 ．（参考数据：，，．） B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 若，则nm的值为___________． 21. 若关于 的方程的解是非负数，则 的取值范围为______． 22. 对于实数定义新运算：，例如：．若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 的值是______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与 ， 相交于两点，连接 ．若四边形的面积为4，则 的值为______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的函数解析式为 ，点的坐标为，以点 为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点；以点 为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点，以点 为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点，按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价 元件 销售价 元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料 件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上， 平分 ． （1）求证： 是圆O的切线； （2）若，圆的半径为5，求 ， 的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于两点，与轴交于点． （1）求拋物线的函数解析式． （2） 是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点 分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点 的坐标． （3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接 ，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点 ，使得？若存在，直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安市岳池县2024-2025学年九年级下学期4月模拟（二模）数学试题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1－6页）和答题卡两部分．满分150分，考试时间共120分钟． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题均无效． 4．考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 截至2025年3月23日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房（含预售及海外）已超15300000000元，位列全球影史票房榜第五位．将数据15300000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，单项式乘以单项式，完全平方公式以及积的乘方和幂的乘方，运用相关知识求出各选项的结果后再进行判断即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ,计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图， 故选：B． 5. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158， ∴中位数是158， 故选：B． 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，根据三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：，， ， ∵， ． 故选：C． 7. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 8. 如图，在 中， ，，，将 绕点C顺时针旋转后得到 ，点 经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转 后，点 恰好落在上的点处，点 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质．先用扇形的面积减去 的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴． 在 中，，， ∴，， ∴， ∵， ， 故选：D． 9. 如图，已知抛物线 与 轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线．有下列四个结论：①；②；③若点在抛物线上，当 时，；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，数形结合是解题的关键． 首先求出，然后得到当时，，即可判断①；然后得到，求出 ，，代入即可判断②；根据增减性即可判断③；由得到，然后代入即可判断④． 【详解】解：∵，对称轴为直线 ∴ ∴由图象可得，当时，，故①正确； ∴ ∴ ， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当 时，，故③错误； 若， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，其中正确的有3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 11. 在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求得m、n的值即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 已知是关于 的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于 的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，点 在 上，，则_____________． 【答案】##102度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据题意得到 ，再根据三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在 中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点 分别作于点于点，连接，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂线段最短、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：连接， 先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质可得 ，由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小；再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小， ∵， ∴，即的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简：，再从，， ， 中选取一个合适的数代入求值． 【答案】（），（ ）， ． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先通过绝对值的化简，特殊角的三角函数值，二次根式化简，零指数幂，然后合并即可； （ ）按运算顺序先计算加减法，再计算除法，最后化简并代入字母的值即可求解． 【详解】解：（）原式 ； （ ）原式 ， ∵且且， ∴， ∴原式． 16. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）144 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：C“科技类”所对应的圆心角度数是， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 17. 如图，矩形中，过对角线 的中点O作 的垂线，分别交 于点E，F．求证： ． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵点O为 的中点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形性质和判定，根据题意可得 ，再利用全等三角形判定 ，继而得到本题答案． 【详解】略 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作 轴，垂足为D，的延长线与直线 交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，一次函数的交点，熟练利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，再求出点 ，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）求得直线的解析式，可求出点的坐标，即可求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数解析式可得， 则， 设直线的解析式为 ， 把，代入可得， ， 解得， 一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入一次函数解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 当 时，， ， ， 的面积为． 19. 银杏是我国特有树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是世界上现存最古老的树种之一，实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏树的高度，一天他在阳光下竖直放了一根高的竹竿（），利用测角仪从竹竿的影子边缘F处测得竹竿的顶端C处的仰角，用卷尺测得银杏树的影长 为 ，其中点B，E，D，F四点在同一条直线上，，．求这棵银杏树的高．（参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和相似三角形的应用，由相似三角形的判定方法可证，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：，，， ， ，即， ， 由题意，得，， ，， ， ， ， ， ． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 若，则nm的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性，分别求出m、n的值，然后进行计算即可． 【详解】解：根据题意， ∵ ∴m3=0，n+1=0； ∴m=3，n=1． 则nm=（1）3=1 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性，解题的关键是掌握非负性，正确的求出m、n的值 21. 若关于 的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于 的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 22. 对于实数定义新运算：，例如：．若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有 个相等的实数根得 ，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得 ， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作 轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接 ．若四边形的面积为4，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作 轴于点 ， 轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得 ， 故答案为： ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的函数解析式为 ，点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点，过点作直线 的垂线交 轴于点，按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 由条件可知， ∴， ∵，， ∴， 由条件可知， ∴由勾股定理得：， ∴， 同理，， ∴， 同理，， ， ⋯⋯ ∴， 即点的横坐标是， 故答案为：． 五、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价 元件 销售价 元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 （2）第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设扎染坊第一次购进甲种布料 件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设扎染坊第一次购进甲种布料 件，购进乙种布料件， 根据题意得，， 解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件． 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元． 26. 如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分 ． （1）求证： 是圆O的切线； （2）若，圆的半径为5，求 ， 的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵为半径， 是圆的切线． （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，由平分线得，再根据 ，得到 ，再由垂直定理得到 ，即可得到结论 （2）先证明 ，设，再根据，得到，解方程即可的解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，为直径， ， ， ， ， 设 ，， 在中，， 即， 解得（舍），， 故，． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定和性质．解直角三角形，掌握相似三角形的性质是关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于两点，与轴交于点． （1）求拋物线的函数解析式． （2） 是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点 分别作轴，交抛物线于点 ，作于点，求的最大值及此时点 的坐标． （3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接 ，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点 ，使得？若存在，直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大值为11，此时点 的坐标为 （3）存在，点 的坐标为或 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为 ，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线 的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【小问1详解】 解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图：过P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为 ， 则，解得：， ∴直线的解析式为 ， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． 【小问3详解】 解：如图：设直线 的解析式为， 则，解得：， ∴直线 的解析式为， ∵连接 交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或 ， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $