重庆市主城区2025届高三下学期学业质量调研抽测（第二次模拟考试）数学试题

高2025届学业质量调研抽测（第二次） 数学参考答案及评意见 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C B A C A 【解析】 1. 已知全集，。 2. 已知这组数据有8个，即，要求下四分位数，则。那么下四分位数是第2项和第3项数据的平均值。这组数据中第2项是86，第3项是90，∴下四分位数为。 3. 已知复数为纯虚数，则可得。解得：。充分性：若命题成立，即，此时复数，是纯虚数，∴命题成立，即由可以推出，充分性成立。必要性：若命题成立，即复数为纯虚数，由前面计算可知，∴命题成立，即由可以推出，必要性成立。 4. 不考虑甲、乙两人是否参加同一项目时的所有参赛方案数为种。把甲、乙看作一个整体，与丙、丁全排列，安排到3个项目中，方法数有种。甲、乙两人不参加同一项目的参赛方案数为种。 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数。在上为减函数。。。幂函数，∵，∴在上单调递增。∵，∴，即。又∵，指数函数在上单调递增，且，∴，即。综上可得。∵在上为减函数，且，＞ 6. 已知且，那么，∴。令，则。∵函数在上有且仅有1个零点，∴。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。令，其极值点满足，。∵函数在上有且仅有1个极值点，∴。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。解不等式可得：，即，两边同时除以，得到。结合前面零点和极值点的分析，取交集可得，即的取值范围是。 7. 设直线的方程为。将直线的方程代入抛物线中，可得，即，。已知为坐标原点，则直线的斜率，直线的斜率。∵，∴。又∵，，则，即。将代入上式，可得，解得。由可知直线的方程为，当时，，∴直线恒过定点。根据点到直线距离的性质，点到直线的距离，其中为点到定点的距离。根据两点间距离公式，若有两点，，则，可得，即点到直线的最大距离为4。 8. 已知①，当时，。设等差数列的公差为，则，那么②。当时，③。由①-③可得：，∵是等差数列，∴，则。又∵，当时满足上式。将代入②式可得：，即，化简得，即，解得。∴。2.求新数列的通项公式，令，即，可得。∵，为正整数，∴为偶数，设，则。此时，即，∴。则。 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ACD BD BCD 【解析】 9. 已知，移项可得。，∵，，且，代入上式可得：，∴，A选项正确。由可得。，B选项错误。∵。∴。将，，且代入可得：，∴，C选项正确。∵，∴。，。则，D选项正确。 10.选项A：以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。已知正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，则各点坐标为：，，，，，。，。，可知与不垂直，∴A错误。 选项B： ，，∴，即。。设平面法向量为，，可得。设平面法向量为，，可得。∴平面平面，B正确。 选项：点为的中点，。。点到平面的距离等于点到平面的距离。由于到的距离为底面边长，故到平面的距离为。。 选项D：补体，补为棱长为2的正方体，，则，，D正确。 11. 选项A：双曲线，其渐近线方程为，即。设，∵点在双曲线上，∴。根据点到直线的距离公式，则点到两条渐近线的距离之积为..将变形为，代入上式可得距离之积为，∴选项A错误。 选项B：由双曲线方程可知，右焦点，设双曲线的左焦点为。 根据双曲线的定义，，则。当，，三点共线时，取得最小值，即。∴的最小值为，选项B正确。 选项C：设。∵，则。可得，，即，。设直线的方程为，代入双曲线方程，得，整理得。由韦达定理可得。又∵，，则(定值)，选项C正确。 选项D：已知，，则，。∴。∵，即，代入上式可得。令，又，代入得，∵有解，∴，解得，当且仅当时取等，此时，则，选项D错误。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 45 -10 【解析】 12. ，令，解得。将代入可得常数项为：。 13.已知曲线方程，等式两边同时平方可得，∵，∴该曲线表示以(1，0)为圆心，为半径的圆的上半部分。设过点的直线的方程为，即。当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。圆心(1，0)到直线的距离为，解得：，∵直线与半圆的上半部分有公共点，∴取。当直线经过点时，斜率。，，∵，∴。∴直线的斜率的最大值为。 14.已知①，用代替可得：②，将①代入②可得：，再用代替可得：，∴函数的周期为6。由，，令可得：；令可得：；令可得：。∵，∴，即。那么。令可得：。∴一个周期内。∵余3。∴。 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(I). …………………………………………………………2分 ， …………………5分 ………………………………………………………………………6分 (II)由正弦定理得： ，……………………………10分 为锐角三角形，，且 .…………………………………………………………………12分 ，即面积的取值范围.………………………………13分 16.解：(1)零件的直径服从正态分布.则 .……………………………………………………………4分 (II)由题意知，这批零件直径在的概率为的取值为0，1，2，3，4. 则，， ，， 即的分布列为： 0 1 2 3 4 …………………………………………………………………………………………9分 .………………………………10分 (III)设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件. 则， ………………………13分 这个零件是甲机器生产的概率为.…………………………………………………………15分 17.证明：(I)当点为线段的中点时，取的中点，连接， ，且， 又为的中点，底面是矩形， ，且， ，且， 四边形为平行四边形..……………………………5分 又平面平面平面.…………6分 (II)在平面内作，则. 平面平面.侧面是边长为2的正三角形，为的中点. 平面.7分 如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系. 设，则，，，，. . 设平面的法向量为. 由得，取. 点到平面的距离为，解得.…………10分 设平面的法向量为. 由得 取.得平面的一个法向量为.………………………………13分 设直线与平面的夹角为. 则， 直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………………15分 18解：(I)由得 ……………………………………………………2分 。曲线在点(0，-1)处的法线的斜率为. 由题意知：.…………………………………………………………5分 (II)当时，， 对任意.恒成立，即 恒成立.………………………………………………7分 设，则.又在上单调递增， ，即，…………………………………………………………8分 令， 当时，单调递增，时，单调递减，的最大值为， 的最小值为.………………………………………………………………………………11分 (III)由得 令，则有两个大于-1的解， 则， 13分 ，………14分 设 ，易知单调递增， 单调递增，，……………………………………………16分 ，即取值范围为.…………………………………………17分 19.解：(I)依愿意，设椭圆方程为. 则有，解得，…………………………………………………………4分 椭圆的方程为.………………………………………………………………5分 (II)①由题意知，直线的斜率均存在且不为0. 设的方程为， 由，得，………………………………7分 ， 同理可得：，……………………………………………9分 三点共线，当轴时，则， 当与轴不垂直时，由得： .……………………………………………………………………12分 ② 由得：，且 .……………………………………………………15分 .……………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2025届学业质量调研抽测（第二次）[机密]2025年 4月19日前 数学试题 （数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知全集，集合满足,则 A. B． C． D． 2.从小到大排列的一组数据：80，86，90，96，110，120，126,134，则这组数据的下四分位数为 A. B. C. D. 3．已知命题：， 命题：复数为纯虚数，则命题是的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为 A． B． C. D. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，设，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 6.若函数在上有且仅有个零点和个极值点，则的取值范围是 A. B. C. D. 7．已知抛物线，为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率之积为，则点到直线的最大距离为 A. B. C. D. 8.设等差数列的前项和为，且，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为内部的一点，满足, , ,则 A． B． C. D. 10.如图，已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为,的中点,则A B D C A1 B1 D1 C1 E F A. B.平面∥平面 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体的外接球的表面积为第10题图 11．已知双曲线的左右顶点分别为，，双曲线的右焦点为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线交双曲线右支于点，交轴于点，且，.设直线的倾斜角分别为，则 A．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设，则的最小值为 C. 为定值 D．当取最小值时，的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项是 ． 13．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的最大值为 . 14．已知函数 满足，且，， 则 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 在中，角所对的边分别，且． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 16.（本小题满分15分） 某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了个零件的直径进行了统计如下： 零件直径 （单位：厘米） 零件个数 （Ⅰ）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间内的概率； （Ⅱ）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的倍，且甲机器生产的零件的次品率为，乙机器生产的零件的次品率为，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据：若随机变量，则,,. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，E为侧棱的中点，为的中点，为线段上一点． （Ⅰ）若点为线段的中点，求证：直线平面； （Ⅱ）若，且点到平面的距离为，求直线与平面所B C P E M D O A 成角的正弦值. 第17题图 18．（本小题满分17分） 已知函数. （Ⅰ）设过点且与曲线过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线.若曲线在点处的法线与直线平行，求实数的值； （Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立， 求的最小值； （Ⅲ）若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围. 19.（本小题满分17分） 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）过点且斜率存在的两条直线互相垂直，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交x轴于点，其中. ① 求; ② 设椭圆的上顶点为,记的面积为令，， ，求证：. 数学试题 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$