专题09统计与概率（5大题型解题攻略精讲精练+中考练场）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题09统计与概率 目录 热点题型归纳 题型01 用样本估计总体 1 题型02 扇形统计图 5 题型03 直方图 9 题型04 数据分析 15 题型05 概率 21 中考练场 25 1.考查分值：12分。 2.考查题型：常以选择或填空形式出现。 3.能力要求： 统计是中考数学中的必拿分考点，年年都会考查。虽然这个考点中所含概念较多，像中位数、众数、平均数、方差等概念，以及条形统计图、折线统计图、扇形统计图等，都需要理解其定义与意义，年年都会考查，只要记住各个统计量，各个图表的定义与计算方法，都能很好的拿到这个考点所占的分值. 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查。是广大考生的得分点，概率主要考查的基本定义和简单计算 题型01 用样本估计总体 【提分秘籍】 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【典例分析】 例1．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有 人． 例2．（2025·上海普陀·二模）常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有 人． 【变式演练】 1．（2024·上海黄浦·二模）小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有 名． 类别 主食 荤菜 蔬菜 汤 满意人数 16 5 20 8 2．（2024·上海虹口·二模）某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有 名． 3．（2024·上海青浦·二模）某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有 名学生的成绩达到A等级． 成绩频数分布表 等第 成绩x 频数 A n B 117 C 32 D 8 成绩扇形统计图 4．（2024·上海徐汇·二模）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长 人． 5．（2024·上海松江·二模）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 6．（2024·上海长宁·二模）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 名． 7．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 8．（2024·上海长宁·三模）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400 名学生，结果有170 名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 人． 题型02 扇形统计图 【提分秘籍】 （1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤 ①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数； ③在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 【典例分析】 例1．（2024·上海金山·二模）数据显示，2023年全球电动汽车销量约1400万辆，其中市场份额前三的品牌和其它品牌的市场份额扇形统计图如图所示，那么其它品牌的销量约为 万辆． 例2．（2024·上海普陀·二模）学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图是收集数据后绘制的扇形图．如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是，喜欢阅读小说类书籍的学生有72人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有 人． 例3．（2024·上海闵行·二模）某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：畅谈交流心得；外出郊游骑行；开展运动比赛；互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为 ． 【变式演练】 1．（2023·上海·模拟预测）某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（   ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A． B． C． D． 2．（2023·上海浦东新·二模）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，已知二月份产值是36万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元． 3．（2023·上海静安·二模）某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价格的套票．景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图（如图所示）．那么这一年销售的套票的平均价格是 元． 4．（2023·上海奉贤·二模）如图是某商场2022年四个季度的营业额绘制成的扇形统计图，其中二季度的营业额为100万元，那么该商场全年的营业额为 万元． 5．（2023·上海普陀·二模）学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校名初三学生进行调查，其中有名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有名学生，那么骑自行车上学的学生大约有 人．    6．（2023·上海松江·二模）某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级，其中A等级：，B等级：，C 等级：，D 等级：． 从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 等级 频数（人数 ） 频率 请根据所给信息，回答下列问题： (1)扇形图中，等级所在扇形的圆心角为 ； (2)此次测试成绩的中位数处在等级 中；（填，、、） (3)该校决定对等级的学生进行安全再教育，已知是的倍，那么该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？ 7．（2023·上海青浦·二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题. (1)求参加篮球和足球运动的总人数； (2)学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元.请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 题型03 直方图 【提分秘籍】 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海·模拟预测）如图，某工厂为选择一种大米包装的质量规格，抽样调查了该大米散装销售时顾客购买的质量，并将收集的数据绘制成右图的频数分布直方图，根据调查结果，下列包装的质量规格中，最为合理的选择是（   ） A．2千克/包 B．3千克/包 C．4千克/包 D．5千克/包 例3．（2024·上海·模拟预测）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中这五个小矩形的面积之和为 ． 【变式演练】 1．（2023·上海浦东新·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么元这个小组的组频率是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海嘉定·二模）某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图) ．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有 名． 3．（2023·上海徐汇·二模）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是 人． 4．（2023·上海崇明·二模）为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在120～140次的人数是 ． 5．（2023·上海虹口·二模）某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    6．（2023·上海普陀·二模）小丽和小杰参与初中学生阅读时间的社会调查实践，小丽调查了名文学社团学生的每天阅读时间，小杰从全校学生名单中随机抽取了名学生，小丽与小杰整理各自样本数据，如表①所示，请根据上述信息，回答下列问题： 表①（每组可含最低值，不含最高值） 时间段 （小时天） 小丽抽样人数 小杰抽样人数 (1)你认为小丽和小杰谁抽取的样本更具有代表性？答：______； (2)根据具有代表性的样本，把图中的频数分布直方图补画完整；    (3)该校共有学生名，请估计该校每天阅读时间不低于小时的学生有多少名？ 7．（2023·上海金山·二模）空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 3 3 3 频率 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） (1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空： 这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天．________；________；________；________． (2) 为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到0.01）（参考数据：，，，） (3) 题型04 数据分析 【提分秘籍】 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==， 读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计 总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则， 叫做这个数的加权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数 据的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是： . 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时， 极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【典例分析】 例1．（2025·上海闵行·模拟预测）数据3、6、2、0、5、2的平均数和众数分别是（   ） A．3和1 B．3和2 C．3.6和1 D．3.6和2 例2．（2025·上海宝山·模拟预测）为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10．该样本的方差是 例3．（2025·上海黄浦·二模）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量：②书籍的总页数；③书籍的类别；④网络评分．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式，其中、、、是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为分，那么小海的得分计为．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别 网络评分 表1 (1)指标因素“书籍的数量”的系数的值为_______________； (2)确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为_______________； (3)表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为_______________，乙得分为_______________； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：_______________． 【变式演练】 1．（2024·上海杨浦·一模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 2．（2024·上海松江·二模）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 3．（2024·上海黄浦·二模）对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差 4．（2024·上海闵行·二模）某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．150，150 B．155，155 C．150，160 D．150，155 5．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 6．（2024·上海金山·二模）在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（   ） A．这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于 B．这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于 C．这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于 D．这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于 7．（2024·上海浦东新·三模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海·模拟预测）下列说法正确的数量为（    ） （1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用 （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，但不会改变中位数． （3）若数据只有1个个体，那么该数据没有中位数和众数 （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0 （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变 （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·上海奉贤·二模）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 10．（2024·上海·模拟预测）当一组非零数据每一个数字乘以倍（）后，下列说法正确的个数是（  ） （1）方差一定改变 （2）平均数一定改变 （3）中位数一定改变（4）众数一定改变 A． B． C． D． 11．（2024·上海·模拟预测）已知野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差的中位数为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·上海·模拟预测）从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数下列说法中错误的数量为（   ） （1）中位数是5 （2）众数是5 （3）平均数是5.2（4）方差是2 （5）极差是7 A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024·上海嘉定·二模）已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（  ） A．平均数改变，方差不变； B．平均数改变，方差改变； C．平均数不变，方差不变； D．平均数不变，方差改变． 14．（2024·上海杨浦·一模）近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 元． 15．（2024·上海静安·二模）一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次，1次，3次，4次，那么这10个数据的中位数是 ． 16．（2024·上海·三模）有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a，那么a的最大值为 ． 17．（2024·上海嘉定·二模）某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是 ． 18．（2024·上海杨浦·模拟预测）已知两组数据：和，下列有关这两组数据的说法中，错误的是 ． ①平均数相等；②中位数相等；③众数相等；④方差相等 19．（2024·上海·模拟预测）一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为 ． 20．（2024·上海·模拟预测）已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为 ． 题型05 概率 【提分秘籍】 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例分析】 例1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形 例2．（2024·上海闵行·三模）下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 例3．（2024·上海·模拟预测）下列事件为随机事件的个数是（    ） （1）梯形的对角线平分一组对角；（2）平行四边形的对角线平分一组对角；（3）梯形的对角线互相垂直；（4）直角三角形的斜边大于直角边 A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（2024·上海·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为（    ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 例5．（2025·上海·模拟预测）某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　） A． B． C． D． 例6．（2024·上海徐汇·三模）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是 ． 例7．（2024·上海·三模）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，两个人第一次出手就可以分出胜负的概率是 ． 【变式演练】 1．（2025·上海黄浦·二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球 2．（2024·上海虹口·二模）下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 3．（2024·上海·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（  ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（ ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 5．（2024·上海·三模）下列命题中随机抽取一个，是假命题的概率为（ ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．1 6．（2024·上海浦东新·三模）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 ． 7．（2024·上海黄浦·三模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ． 8．（2024·上海·模拟预测）从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为 ． 9．（2024·上海虹口·三模）从一副象棋中随机抽取一个子，抽到将或帅的概率为 ． 10．（2024·上海普陀·三模）从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为 11．（2024·上海杨浦·模拟预测）某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租辆客车，分别编号为、、，小于和小琪两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐一辆车的概率为 ． 12．（2024·上海·三模）如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 13．（2024·上海·模拟预测）在一张边长为的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为的圆形区域，则针头扎在圆形区域的概率为 14．（2025·上海浦东新·模拟预测）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字，则两张卡片的数字之和大于7的概率为 15．（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ． 16．（2024·上海·模拟预测）从1~10个数字任抽取2个，乘积为奇数的概率为 17．（2024·上海·模拟预测）现有2个，1个的电阻，若首先将两个并联，然后再和另一个串联，那么整个电路的总电阻恰好为的概率为 ． 18．（2025·上海宝山·模拟预测）执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）3名航天员组成，北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问，则恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为 一、单选题 1．（2021·上海·中考真题）商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（    ） A．/包 B．/包 C．/包 D．/包 2．（2020·上海·中考真题）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(　　　) A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 3．（2024·上海·中考真题）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 4．（2023·上海·中考真题）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（    ）    A．小车的车流量与公车的车流量稳定； B．小车的车流量的平均数较大； C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D．小车与公车车流量的变化趋势相同． 5．（2022·上海·中考真题）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 二、填空题 6．（2022·上海·中考真题）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 ． 7．（2020·上海·中考真题）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ． 8．（2023·上海·中考真题）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ． 9．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 10．（2020·上海·中考真题）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 11．（2022·上海·中考真题）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 ． 12．（2023·上海·中考真题）垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 ． 13．（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有 人．    14．（2021·上海·中考真题）有数据，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为 ． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09统计与概率 目录 热点题型归纳 题型01 用样本估计总体 1 题型02 扇形统计图 8 题型03 直方图 16 题型04 数据分析 25 题型05 概率 41 中考练场 57 1.考查分值：12分。 2.考查题型：常以选择或填空形式出现。 3.能力要求： 统计是中考数学中的必拿分考点，年年都会考查。虽然这个考点中所含概念较多，像中位数、众数、平均数、方差等概念，以及条形统计图、折线统计图、扇形统计图等，都需要理解其定义与意义，年年都会考查，只要记住各个统计量，各个图表的定义与计算方法，都能很好的拿到这个考点所占的分值. 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年都会考查。是广大考生的得分点，概率主要考查的基本定义和简单计算 题型01 用样本估计总体 【提分秘籍】 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 【典例分析】 例1．（2025·上海杨浦·二模）某中学为了了解全校600名学生平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校50名学生一月内平均每周周末在家体育锻炼时间的情况，结果如下表： 时间（分） 40 45 50 55 60 65 70 人数 10 10 8 6 5 6 5 请估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有 人． 【答案】192 【分析】此题考查了样本估计总体，用600乘以样本中不少于60分钟的学生人数所占的百分比求解即可． 【详解】解：（人）． ∴估计该学校平均每周周末在家体育锻炼时间不少于60分钟的学生大约有192人． 故答案为：192． 例2．（2025·上海普陀·二模）常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有 人． 【答案】1600 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体，先根据扇形统计图计算出有氧运动的占比，再根据条形统计图计算出喜欢快走的占比，两项占比乘以总人数即可． 【详解】解：估计该社区最喜欢快走的居民大约有： （人）． 故答案为：1600． 【变式演练】 1．（2024·上海黄浦·二模）小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有 名． 类别 主食 荤菜 蔬菜 汤 满意人数 16 5 20 8 【答案】448 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用总体乘以对午餐中主食满意的学生占比即可求出答案． 【详解】解：根据题意（名） 故答案为：448． 2．（2024·上海虹口·二模）某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有 名． 【答案】780 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解． 【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名， 该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名）， 故答案为：780． 3．（2024·上海青浦·二模）某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有 名学生的成绩达到A等级． 成绩频数分布表 等第 成绩x 频数 A n B 117 C 32 D 8 成绩扇形统计图 【答案】 【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用乘以A等级人数的占比即可求解． 【详解】解：本次抽取的人数为人， ∴A等级的人数为人， 估计该校共有达到A等级的学生数为人， 故答案为：． 4．（2024·上海徐汇·二模）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长 人． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解． 【详解】解：稍加询问的百分比：， 严格管理的百分比：， 持“严格管理”态度的家长人数：（人）， 故答案为：． 5．（2024·上海松江·二模）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 【答案】240 【分析】本题考查了样本百分比估计总体百分比，先求出步行所占百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数 【详解】解：抽查的人数为：（人） ∴步行上学在扇形图中所占比例为， ∴全校步行上学的学生人数为：（人） 故答案为：240 6．（2024·上海长宁·二模）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有 名． 【答案】90 【分析】本题考查了利用样本所占百分比估计总体的数量，理解题意，掌握样本估计总体的方法是解题关键．先根据表格中的数据可得六年级学生步行的人数占比，再乘以300即可得． 【详解】由表可知，六年级学生步行的人数占比为 则（人） 即六年级300名学生中步行的人数是90 故答案为：90． 7．（2024·上海杨浦·三模）月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名． 【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体．用乘被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时所占的比例即可．解题的关键是正确理解题意并从频数分布直方图中获取相关信息． 【详解】解：由频数分布直方图可知： 每周阅读课外书籍的时间在至小时的学生约有：（名）， ∴在被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有： （名）， ∴（名） ∴估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有名． 故答案为：． 8．（2024·上海长宁·三模）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400 名学生，结果有170 名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 人． 【答案】3570 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用8400乘以样本中会游泳的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为3570人， 故答案为：3570． 题型02 扇形统计图 【提分秘籍】 （1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤 ①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数； ③在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 【典例分析】 例1．（2024·上海金山·二模）数据显示，2023年全球电动汽车销量约1400万辆，其中市场份额前三的品牌和其它品牌的市场份额扇形统计图如图所示，那么其它品牌的销量约为 万辆． 【答案】378； 【分析】本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 先根据扇形统计图求出其他品牌的销量占比，再用其他品牌的销量占比乘总体销量即可求出其它品牌的销量． 【详解】解：， （万辆） 故答案为：378． 例2．（2024·上海普陀·二模）学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图是收集数据后绘制的扇形图．如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是，喜欢阅读小说类书籍的学生有72人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有 人． 【答案】27 【分析】本题主要考查扇形统计图，先求出喜欢阅读漫画类书籍的占比，得出喜欢阅读科技类书籍的学生的占比，再根据喜欢阅读小说类书籍的学生人数求出问卷调查的总人数，再求出喜欢阅读科技类书籍的学生数即可． 【详解】解：喜欢阅读漫画类书籍的百分比为：， 喜欢阅读科技类书籍的学生的百分比为：， 被调查的总人数为：（人）， 所以，喜欢阅读科技类书籍的学生数为：（人）， 故答案为：27 例3．（2024·上海闵行·二模）某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：畅谈交流心得；外出郊游骑行；开展运动比赛；互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图等知识，确定参与调查的学生总人数以及组人数是解题关键．首先根据扇形统计图和条形统计图确定参与调查的学生总人数，进而可得组人数，然后利用“组学生占比”求解即可． 【详解】解：根据题意，可得， 参与调查的学生总人数为人， 则组人数为人， 所以，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为． 故答案为：． 【变式演练】 1．（2023·上海·模拟预测）某工厂为这次防控新冠肺炎疫情捐款，下表为捐款额与捐款人数的汇总表，如果用扇形图来表示捐款额与相应的捐款人数，那么捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为（   ） 捐款额（元） 50 80 100 150 200 捐款人数 40 50 30 45 35 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求扇形图中的圆心角的度数，熟练掌握扇形统计图的知识是解题关键．利用“捐款额为50元的人数占比”，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知捐款额为50元的人数在扇形图中的圆心角为 ． 故选：D． 2．（2023·上海浦东新·二模）某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图所示，已知二月份产值是36万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是 万元． 【答案】40 【分析】先求出二月份产值所占的百分比，用二月份的产值除以其所占百分比，求出第一季度总产值，再求出平均数即可． 【详解】解：第一季度总产值：（万元）， 该企业第一季度月产值的平均数：（万元）， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了扇形统计图，以及求平均数，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． 3．（2023·上海静安·二模）某旅游风景区为满足不同游客的需求，推出了100、150、200（单位：元）三种价格的套票．景区统计了这三种套票一年的销售情况，并将销售量数据绘制成扇形统计图（如图所示）．那么这一年销售的套票的平均价格是 元． 【答案】175 【分析】根据加权平拘束求解即可． 【详解】解：这一年销售的套票的平均价格（元）， 故答案为：175． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键． 4．（2023·上海奉贤·二模）如图是某商场2022年四个季度的营业额绘制成的扇形统计图，其中二季度的营业额为100万元，那么该商场全年的营业额为 万元． 【答案】500 【分析】用二季度的营业额除以其占比即可得到答案． 【详解】解：万元， ∴该商场全年的营业额为500万元， 故答案为：500． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图，正确读懂统计图是解题的关键． 5．（2023·上海普陀·二模）学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校名初三学生进行调查，其中有名学生是乘私家车上学，如图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有名学生，那么骑自行车上学的学生大约有 人．    【答案】 【分析】根据扇形统计图求得步行与公交车方式上学的学生人数，进而即可求解． 【详解】解：∵步行的人数为，，有名学生是乘私家车上学， ∴骑自行车上学的学生大约有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形统计图，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图是解题的关键． 6．（2023·上海松江·二模）某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级，其中A等级：，B等级：，C 等级：，D 等级：． 从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 等级 频数（人数 ） 频率 请根据所给信息，回答下列问题： (1)扇形图中，等级所在扇形的圆心角为 ； (2)此次测试成绩的中位数处在等级 中；（填，、、） (3)该校决定对等级的学生进行安全再教育，已知是的倍，那么该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？ 【答案】(1) (2) (3)人 【分析】（1）用乘以即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据题意求得，然后根据样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：扇形图中，等级所在扇形的圆心角为 故答案为：． （2）等级的人数为人，等级的人数为人，频率为， 等级的频率为， 中位数在等级， 故答案为：． （3）解：总人数为人 ∵是的5倍， ∴（人） ∴ ∴该校六年级名学生中，需接受安全再教育的约有人． 【点睛】本题考查了频数分布表，中位数的定义，样本估计总体，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键． 7．（2023·上海青浦·二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示.已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题. (1)求参加篮球和足球运动的总人数； (2)学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元.请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 【答案】(1)100 (2)60，40 【分析】（1）先求出总人数，再求出参加篮球和足球运动的总人数； （2）设出未知数，依据篮球的单价比足球的单价便宜10元，列出分式方程即可． 【详解】（1）解：（人）， （人）， 答：参加篮球和足球运动的总人数为100人． （2）解：设参加篮球运动的有x人，也就是购买了x只篮球.根据题意，得： ， 整理，得，解得， 检验都是原方程的根，但不符合题意，舍去， 足球人数：（人）， 答：参加篮球运动的学生有60人，参加足球运动的学生有40人． 【点睛】本题考查了扇形图和分式方程解决实际问题，关键是由图得出数据，再根据等量关系，列出分式方程． 题型03 直方图 【提分秘籍】 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数据的整理，频数分布直方图，直接整理数据可得答案． 【详解】解：∵， 整理数据可得：大于等于0小于3的数据有1， 1， 2，共3个； 大于等于3小于6的数据有5，4，a，3，3，4．共6个； ∴， 故选B 例2．（2024·上海·模拟预测）如图，某工厂为选择一种大米包装的质量规格，抽样调查了该大米散装销售时顾客购买的质量，并将收集的数据绘制成右图的频数分布直方图，根据调查结果，下列包装的质量规格中，最为合理的选择是（   ） A．2千克/包 B．3千克/包 C．4千克/包 D．5千克/包 【答案】A 【分析】本题考查了频数分布直方图，根据频数分布直方图特征从而得答案，解题的关键是理解频数分布直方图． 【详解】解：由频数分布直方图知，所列包装的质量规格中选择2千克/包的人数最多， 所以较为合理的选择是2千克/包， 故选：A． 例3．（2024·上海·模拟预测）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中这五个小矩形的面积之和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了频率分布直方图．熟练掌握是解题的关键． 根据，可知五个小矩形的面积为频率和，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴五个小矩形的面积为频率和即为1， 故答案为：1． 【变式演练】 1．（2023·上海浦东新·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么元这个小组的组频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率等于频数除以总数进行计算即可． 【详解】解：由图可知，元这个小组的频数为：80人， ∴元这个小组的频率为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率，熟记频率等于频数除以总数是解题的关键． 2．（2023·上海嘉定·二模）某区有1200名学生参加了“垃圾分类"知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图) ．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有 名． 【答案】180 【分析】根据，计算求出成绩在89.5分~ 99.5分的学生的频率，然后乘以计算求解即可． 【详解】解：由频率分布直方图可知，成绩在89.5分~ 99.5分的学生频率为， ∴估计该区本次竞赛成绩在89.5分~ 99.5分的学生有（名）， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体．根据频率分布直方图求出频率是解题的关键． 3．（2023·上海徐汇·二模）为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是 人． 【答案】 【分析】根据样本估计总体，用乘以做家务的时间少于2小时的学生人数的占比即可求解． 【详解】解：如果该校有1500名学生，估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了样本估计总体，频数分布直方图，熟练掌握样本估计总体是解题的关键． 4．（2023·上海崇明·二模）为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取50名学生进行1分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值），若该校九年级共有450名学生，那么一分钟跳绳次数在120～140次的人数是 ． 【答案】135 【分析】利用样本中一分钟跳绳次数在120～140次的频率，进行求解即可． 【详解】解：（人）； 故答案为：135． 【点睛】本题考查利用样本估计总数．熟练掌握频率等于频数除以总数，是解题的关键． 5．（2023·上海虹口·二模）某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    【答案】 【分析】根据频数分布直方图可知组距为10，求得得分在60分到70分(含60分，不含70分)的值，进而即可求解． 【详解】设的频率/组距为：， 由题意得， 解得：， ∴频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，掌握频数、频率的关系是解题的关键． 6．（2023·上海普陀·二模）小丽和小杰参与初中学生阅读时间的社会调查实践，小丽调查了名文学社团学生的每天阅读时间，小杰从全校学生名单中随机抽取了名学生，小丽与小杰整理各自样本数据，如表①所示，请根据上述信息，回答下列问题： 表①（每组可含最低值，不含最高值） 时间段 （小时天） 小丽抽样人数 小杰抽样人数 (1)你认为小丽和小杰谁抽取的样本更具有代表性？答：______； (2)根据具有代表性的样本，把图中的频数分布直方图补画完整；    (3)该校共有学生名，请估计该校每天阅读时间不低于小时的学生有多少名？ 【答案】(1)小杰 (2)见解析 (3)名 【分析】（1）根据样本抽取的原则，即样本具有代表性进行判断即可； （2）根据小杰抽取的名学生每天阅读时间各组的人数画出相应的频数分布直方图即可； （3）求出样本中“每天阅读时间不低于小时的学生”所占的百分比，进而估计总体中“每天阅读时间不低于小时的学生”所占的百分比，再求出相应人数即可． 【详解】（1）解：样本具有代表性， 小丽调查了名文学社团学生的每天阅读时间，小杰从全校学生名单中随机抽取了名学生， 因此小杰抽取的样本具有代表性， 故答案为：小杰； （2）由小杰所抽取的名学生每天阅读时间各组的人数，画出相应的频数分布直方图如下：    （3）名， 答：该校名学生中每天阅读时间不低于小时的大约有名． 【点睛】本题考查频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率等于频数除以总数是正确解答的前提． 7．（2023·上海金山·二模）空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指数为200~250是重度污染．） 如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图． 空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 天数 3 3 3 频率 0.1 0.1 0.1 （注：每组数据可含最高值，不含最低值） (1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空： 这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天．________；________；________；________． (2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到0.01）（参考数据：，，，） 【答案】(1)3，12，9，0.4，0.3 (2) 【分析】（1）根据样本容量=天数÷频率，求得样本容量，根据计算出良好的频率，后运用公式依次计算即可． （2）设平均增长率为x，根据题意得计算即可． 【详解】（1）根据题意，得轻度污染天数为3天，样本容量为：， ∵， ∴良好天气的频率为， ∴优秀天气的频率为， ∴， ∴优秀天气的频率为， 故答案为：3，12，9，0.4，0.3． （2）设平均增长率为x，根据题意得， 解得， ∵， ∴或（舍去） 故这两年中绿化面积每年的增长率为． 【点睛】本题考查了频数分布表，一元二次方程的增长率问题，熟练掌握频数分布表，增长率问题是解题的关键． 题型04 数据分析 【提分秘籍】 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==， 读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计 总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则， 叫做这个数的加权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数 据的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是： . 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时， 极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 【典例分析】 例1．（2025·上海闵行·模拟预测）数据3、6、2、0、5、2的平均数和众数分别是（   ） A．3和1 B．3和2 C．3.6和1 D．3.6和2 【答案】B 【分析】本题考查了平均数和众数，根据平均数和众数的概念即可解答．解题的关键是根据它们的定义来解答． 【详解】解：平均数：， 这些数字中出现次数最多的是2，故众数为2， 故选：B． 例2．（2025·上海宝山·模拟预测）为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10．该样本的方差是 【答案】 【分析】本题考查了求方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键：在一组数据，，，，中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用表示，即． 先求出该样本的平均数，然后将其代入方差公式计算即可． 【详解】解：， 该样本的方差是： ， 故答案为：． 例3．（2025·上海黄浦·二模）某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量：②书籍的总页数；③书籍的类别；④网络评分．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式，其中、、、是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为分，那么小海的得分计为．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别 网络评分 表1 (1)指标因素“书籍的数量”的系数的值为_______________； (2)确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为_______________； (3)表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为_______________，乙得分为_______________； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：_______________． 【答案】(1) (2) (3)①；；②见解析 【分析】本题考查了加权平均数． （1）利用加权平均数计算即可求解； （2）根据“阅读之星”的得分公式计算即可求解； （3）①根据“阅读之星”的得分公式计算即可求解；②合理即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （3）解：①甲得分为， 乙得分为； 故答案为：；； ②可适当调整书籍的总页数的得分公式，因为这项的分值占比太大， 可调整得分公式为，其余要求不变． 【变式演练】 1．（2024·上海杨浦·一模）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（    ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可． 【详解】解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a； ∴． ∴D符合题意 故选D． 2．（2024·上海松江·二模）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（　） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数可能会改变，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变． 故选A． 3．（2024·上海黄浦·二模）对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（    ） A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数是反映一组数据的平均水平的量即可解答． 【详解】解：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，由于数据中有极端值100，平均数易受极端值的影响；众数为2，数值过小，不能很好的反映这组数据平均水平；方差表示波动情况，它和平均数一样，受极端值的影响大，不能很好的表示平均水平；故用这组数据的中位数能较好反映这组数据平均水平； 故选：B． 4．（2024·上海闵行·二模）某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．150，150 B．155，155 C．150，160 D．150，155 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和算术平均数的定义列式求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 中位数为， 故选：D． 5．（2024·上海青浦·二模）某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差不变． 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ∴平均数不变，方差变小， 故选：B． 6．（2024·上海金山·二模）在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（   ） A．这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于 B．这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于 C．这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于 D．这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于 【答案】A 【分析】本题考查了众数，中位数，熟练掌握众数，中位数的定义是解题的关键． 根据众数，中位数的定义判断即可． 【详解】解：这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始， 这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于，故A符合题意，B不符合题意； 这5天中每天采集的若干气温的中位数不一定都大于，故本选项不符合题意； 这5天中每天采集的若干气温的众数不一定都大于，故本选项不符合题意， 故选：A． 7．（2024·上海浦东新·三模）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和标准差分别为x，s，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和标准差分别为，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平均数、标准差，标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数的概念、标准差的性质判断即可． 【详解】解：货架上原有鸡蛋的质量的平均数和该顾客选购的鸡蛋的质量平均数的大小无法比较， 而货架上原有鸡蛋的质量的方差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的方差， ∴货架上原有鸡蛋的质量的标准差大于该顾客选购的鸡蛋的质量的标准差， ∴， 故选：D． 8．（2024·上海·模拟预测）下列说法正确的数量为（    ） （1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用 （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，但不会改变中位数． （3）若数据只有1个个体，那么该数据没有中位数和众数 （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0 （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变 （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平均数、中位线、个体、概率、方差与标准差、抽样等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据平均数、中位线、个体、概率、方差与标准差、抽样的定义逐个判断即可． 【详解】解：（1）平均数能反映一组数据中每一个数值的作用，说法正确； （2）一组数据中的数据数值的改变会改变平均数，也可能改变中位数，故错误． （3）若数据只有1个个体，那么该数据中位数和众数均为其本身，故错误； （4）在不运用π本身情况下，用有限加减乘除及根式运算可以得出π的值的概率为0,说法正确； （5）方差与标准差不会因一组数据中数据的数值的加减而改变，说法正确； （6）从数学平均分为130分，人数为24人的班级中，随机抽选5张试卷，恰好分数都为80分，则该样本即便是随机抽取的结果，也不能代表总体水平，说法正确． 综上，正确的有4个． 故选D． 9．（2024·上海奉贤·二模）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、标准差，由平均数求出位运动员的总成绩，即可求出运动员的成绩，再根据方差计算公式求出个数据的方差，即可得到标准差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 10．（2024·上海·模拟预测）当一组非零数据每一个数字乘以倍（）后，下列说法正确的个数是（  ） （1）方差一定改变 （2）平均数一定改变 （3）中位数一定改变（4）众数一定改变 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差．根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差进行分析即可求解． 【详解】解：一组数据，，，，， 设其中位线是，众数是， 其平均数为， 方差为， 将一组数据，，，，，每一个数字乘以倍为，，，，， 则其中位线是，众数是，即中位数和众数发生了改变； 其平均数为，即平均数发生了改变； 方差为， ，即方差发生了改变； 故选：D． 11．（2024·上海·模拟预测）已知野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差的中位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了方差、中位数、平均数，根据平均数和方差的变化规律得到x年后，成员年龄的平均数和方差分别为和b，根据中位数的定义即可求出答案. 【详解】解：野豪猪内卷会成员年龄的平均数为a，方差为b，则x年后，成员年龄的平均数和方差分别为和b， 则成员年龄的平均数和方差的中位数为， 故选：A 12．（2024·上海·模拟预测）从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数下列说法中错误的数量为（   ） （1）中位数是5 （2）众数是5 （3）平均数是5.2（4）方差是2 （5）极差是7 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图及极差的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可． 根据中位数、众数、平均数、方差、极差定义逐个计算即可． 【详解】解：根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，故（1）说法正确，不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，故（2）说法正确，不符合题意； 平均数，故（3）说法正确，不符合题意； 方差，故（4）说法错误，符合题意； 极差为，故（5）说法错误，符合题意； ∴错误的数量为2， 故选：． 13．（2024·上海嘉定·二模）已知一组数据、、、，如果这组数据中的每一个数都减去常数，得到新的一组数据，那么下列描述这组新数据的信息中正确的是（  ） A．平均数改变，方差不变； B．平均数改变，方差改变； C．平均数不变，方差不变； D．平均数不变，方差改变． 【答案】A 【分析】本题考查了方差和平均数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数和方差的特点是本题的关键． 根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数改变，即可得出答案． 【详解】解：记原先平均数为，， 新的平均数为，则，所以平均数改变； 记原先方差为，则， 则新的方差， 而，代入得， ∴， ∴平均数改变，方差不变， 故选：A． 14．（2024·上海杨浦·一模）近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影．已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份．据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 元． 【答案】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，用各自的单价乘以各自的权重即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴20元的占比， ∴食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是 （元）， 故答案为： 15．（2024·上海静安·二模）一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次，1次，3次，4次，那么这10个数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：这组数据中第5、6个数据分别为，， 所以这10个数据的中位数是， 故答案为：． 16．（2024·上海·三模）有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a，那么a的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平均数，中位数的含义，先计算总和为，结合中位数与为最大数，进一步解答即可得到答案． 【详解】解：∵6个正整数，其平均数是5， ∴6个数好和为， ∵中位数是4， ∴中间两个数的和为， ∴剩余4个数的和为， ∵将这6个正整数之中的最大数记为a， ∴6个数分别为：，，，，，， ∴， 故答案为： 17．（2024·上海嘉定·二模）某校田径运动队共有名男运动员，小杰收集了这些运动员的鞋号信息（见表）， 鞋号 号 号 号 号 号 号 人数 那么这名男运动员鞋号的中位数是 ． 【答案】号 【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的第、个数的平均数为， ∴由中位数的定义可知，这组数据的中位数是号， 故答案为：号． 18．（2024·上海杨浦·模拟预测）已知两组数据：和，下列有关这两组数据的说法中，错误的是 ． ①平均数相等；②中位数相等；③众数相等；④方差相等 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据平均数、中位数、众数和方差的意义求解即可． 【详解】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2， ∴这两组数据的平均数、中位数和众数都改变，而波动幅度不变，即方差不改变， ∴错误的是①平均数相等；②中位数相等；③众数相等； 故答案为：①②③． 19．（2024·上海·模拟预测）一组数据共4个数，众数为6，中位数为5，平均数为4，方差为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了方差、众数、中位数、平均数，先根据题意得到该组的四个数据为，再根据方差的定义进行解答即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，且平均数是4，则这组数总和为， ∴这组数据中有两个6， ∵中位数为5， ∴从小大排列后第三个数据为， ∴最小的数据为， 即这组数据为， ∴方差为 故答案为：6 20．（2024·上海·模拟预测）已知有一组不少于5个连续正整数组成的数据，从中随机抽取一个数字，是素数的概率为，则该组数据的标准差为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了素数，概率，标准差等知识．熟练掌握素数，概率，标准差是解题的关键． 由题意知，数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8，当数据个数为6时，设连续正整数为，可得平均数为，则标准差为，计算求解；同理可求当数据个数为8时的标准差，然后作答即可． 【详解】解：∵从中随机抽取一个数字，是素数的概率为， ∴数据中素数、合数各一半，数据个数为偶数，且为6或8， 当数据个数为6时，设连续正整数为， 平均数为， ∴标准差为， 同理，当数据个数为8时，标准差为， 综上所述，标准差为或， 故答案为：或． 题型05 概率 【提分秘籍】 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【典例分析】 例1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A. 某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故选项不符合题意； B. 班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，故选项不符合题意； C. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故选项不符合题意； D. ，长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，故选项符合题意； 故选：． 例2．（2024·上海闵行·三模）下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意； B.守株待兔是随机事件，不符合题意； C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意； D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意； 故选：C． 例3．（2024·上海·模拟预测）下列事件为随机事件的个数是（    ） （1）梯形的对角线平分一组对角；（2）平行四边形的对角线平分一组对角；（3）梯形的对角线互相垂直；（4）直角三角形的斜边大于直角边 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查随机事件的定义，根据随机事件的定义对答案逐一分析，即可得到答案。 【详解】解：（1）梯形的对角线平分一组对角，属于必然事件； （2）平行四边形的对角线平分一组对角，属于必然事件； （3）梯形的对角线互相垂直，属于随机事件； （4）直角三角形的斜边大于直角边，属于必然事件。 综上所述只有一个选项符合，所以选A， 故选：A。 例4．（2024·上海·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为（    ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）平行四边形是中心对称图形； （2）菱形是中心对称图形； （3）矩形是中心对称图形； （4）梯形不是中心对称图形； （5）等腰梯形不是中心对称图形； （6）直角梯形不是中心对称图形； （7）等腰三角形不是中心对称图形； （8）等边三角形不是中心对称图形； （9）直角三角形不是中心对称图形； （10）等腰直角三角形不是中心对称图形； 综上：不是中心图形的有（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）， ∴画出来的图形为中心对称图形是不可能事件的数量为7， 故选：D． 例5．（2025·上海·模拟预测）某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．根据题意，画出树状图，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下： 一共有9种等可能结果，甲、乙两人恰好在不同的阅览室阅读有6种可能， ∴甲、乙两人恰好在不同的阅览室阅读的概率是． 故选：C． 例6．（2024·上海徐汇·三模）某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种， 则主持人是一男一女的概率为． 故答案为：． 例7．（2024·上海·三模）甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，两个人第一次出手就可以分出胜负的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两个人第一次出手就可以分出胜负的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用表示“石头、剪刀、布”，列表如下： 甲乙 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两个人第一次出手就可以分出胜负的结果数有6种， ∴两个人第一次出手就可以分出胜负的概率为， 故答案为：． 【变式演练】 1．（2025·上海黄浦·二模）木盒中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球只是颜色不同．从木盒中任意摸出1个球，下列事件发生的概率最小的是（   ） A．摸出一个红球 B．摸出一个黄球 C．摸出一个白球 D．摸出一个黄球或白球 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 求得所有球的总数，分别找到每种情况的个数，然后利用概率公式直接求解即可． 【详解】解：A. 摸出一个红球的概率为； B. 摸出一个黄球的概率为； C. 摸出一个白球的概率为； D. 摸出一个黄球或白球的概率为； ∴摸出一个白球的概率最小， 故选：C． 2．（2024·上海虹口·二模）下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件； C、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件； D、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件； 故选D． 3．（2024·上海·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（  ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）平行四边形是中心对称图形； （2）菱形是中心对称图形； （3）矩形是中心对称图形； （4）梯形不是中心对称图形； （5）等腰梯形不是中心对称图形； （6）直角梯形不是中心对称图形； （7）等腰三角形不是中心对称图形； （8）等边三角形不是中心对称图形； （9）直角三角形不是中心对称图形； （10）等腰直角三角形不是中心对称图形； 综上：是中心图形的有（1）（2）（3）， ∴画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为3， 故选：A． 4．（2025·上海杨浦·二模）小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（ ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 【答案】D 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间 A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率为，不合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点（2，3，5）朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点（4，6）朝上的概率约为； 故选：D． 5．（2024·上海·三模）下列命题中随机抽取一个，是假命题的概率为（ ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定及概率的计算，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故为真命题； （2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故为真命题； （3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故为真命题； （4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故为假命题； ∴是假命题的概率为， 故选：A． 6．（2024·上海浦东新·三模）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式．根据骰子的特点，可知掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现的点数不大于4的有四种可能性，然后即可计算出掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率． 【详解】解：由骰子的特点可知：掷一次骰子共有六种等可能性，其中向上的一面出现的点数不大于4的有四种可能性， 掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于4的概率是， 故答案为：． 7．（2024·上海黄浦·三模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了求简单事件的概率，求出张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式计算即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，属于中心对称图形的有圆、矩形、菱形种， ∴从张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是， 故答案为：． 8．（2024·上海·模拟预测）从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了求概率．根据题意可得从的数字中任选6个数，都不是合数的0种情况，即可求解． 【详解】解：∵从的数字中，合数是4，6，8，9，10共5个， ∴从的数字中任选6个数，都不是合数的是0种情况， ∴从的数字中任选6个数，都不是合数的概率为0． 故答案为：0 9．（2024·上海虹口·三模）从一副象棋中随机抽取一个子，抽到将或帅的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握利用概率公式求解简单随机事件的概率是解题的关键． 【详解】解：一副象棋共有32个子， 则抽到将或帅的概率为， 故答案为：． 10．（2024·上海普陀·三模）从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为 【答案】/ 【分析】本题主要考查了素数和合数的定义，以及根据概率公式计算概率，分析出从中，一共个数，其中既不是素数，也不是合数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：从中，一共个数，其中既不是素数，也不是合数， ∴从中随机抽取个数，既不是素数，也不是合数的概率为：． 故答案为：． 11．（2024·上海杨浦·模拟预测）某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租辆客车，分别编号为、、，小于和小琪两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐一辆车的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小于和小琪同乘一辆车的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小于和小琪同乘一辆车的有3种情况， ∴小于和小琪同乘一辆车的概率， 故答案为：． 12．（2024·上海·三模）如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，由几何概型中的面积型概率的求法，先求出黑色部分占这个区域的，再用正方形区域的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：∵在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分， ∴黑色部分占这个区域的， ∴黑色部分的面积为， 故答案为：． 13．（2024·上海·模拟预测）在一张边长为的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为的圆形区域，则针头扎在圆形区域的概率为 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 根据题意，求得正方形与圆的面积，相比计算可得答案． 【详解】解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值； 由题意可得：正方形纸边长为，其面积为， 圆的半径为，其面积为， 故其概率为． 故答案为：． 14．（2025·上海浦东新·模拟预测）有三张分别标有数字3，4，5的卡片，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，从中任意抽出一张卡片记录数字，放回，再从中任意抽出一张卡片记录数字，则两张卡片的数字之和大于7的概率为 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，先列树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片的数字之和大于7的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由树状图可知：共有9种等可能的结果数，两张卡片的数字之和大于7的结果数为6， 则两张卡片的数字之和大于7的概率为： ． 故答案为：． 15．（2025·上海普陀·二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 16．（2024·上海·模拟预测）从1~10个数字任抽取2个，乘积为奇数的概率为 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，先列表分析，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解∶列表如下∶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 一共有90种等可能结果，其中乘积是奇数的结果有20种，， ∴乘积为奇数的概率为， 故答案为∶． 17．（2024·上海·模拟预测）现有2个，1个的电阻，若首先将两个并联，然后再和另一个串联，那么整个电路的总电阻恰好为的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算．熟练掌握画树状图法求概率，是解决问题的关键． 先两个并联，再与第三个串联，画出树状图，用总电阻为的可能情况数除以总可能情况数，即得． 【详解】画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中恰好为的结果有2种， ∴总电阻恰好为的概率为：． 故答案为：． 18．（2025·上海宝山·模拟预测）执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女）3名航天员组成，北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问，则恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．画出树状图求概率即可． 【详解】解：树状图如下： 共有种等可能结果，其中选中名男航天员名女航天员结果有四种， 恰好选中1名男航天员1名女航天员的概率为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2021·上海·中考真题）商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（    ） A．/包 B．/包 C．/包 D．/包 【答案】A 【分析】选择人数最多的包装是最合适的． 【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多， ∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适． 故选：A． 【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可． 2．（2020·上海·中考真题）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(　　　) A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 【答案】B 【分析】根据统计图的特点判定即可． 【详解】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图． 故选：B． 【点睛】本题考查了统计图的特点，条件统计图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统计图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键． 3．（2024·上海·中考真题）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 4．（2023·上海·中考真题）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（    ）    A．小车的车流量与公车的车流量稳定； B．小车的车流量的平均数较大； C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D．小车与公车车流量的变化趋势相同． 【答案】B 【分析】根据折线统计图逐项判断即可得． 【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意； B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意； C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意； D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键． 5．（2022·上海·中考真题）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案． 【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据， 则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键． 二、填空题 6．（2022·上海·中考真题）甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与分到甲和乙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树形图如下： 由树形图可知所有可能情况共6种，其中分到甲和乙的情况有2中， 所以分到甲和乙的概率为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 7．（2020·上海·中考真题）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是 ． 【答案】． 【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 8．（2023·上海·中考真题）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得． 【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同， 所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 9．（2024·上海·中考真题）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 个绿球． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可． 【详解】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 10．（2020·上海·中考真题）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 ． 【答案】3150名． 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：， ∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400×=3150(名) ． 故答案为：3150名． 【点睛】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． 11．（2022·上海·中考真题）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 ． 【答案】88 【分析】由200乘以样本中不低于3小时的人数的百分比即可得到答案． 【详解】解：该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用样本估计总体，求解学生阅读时间不低于3小时的人数的百分比是解本题的关键． 12．（2023·上海·中考真题）垃圾分类（Refuse sorting），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 ． 【答案】1500吨 【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解． 【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨）， ∴全市可收集的干垃圾总量为（吨）； 故答案为1500吨． 【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键． 13．（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有 人．    【答案】 【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案． 【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解， ∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为， 由条形统计图可知：需要增强讲解的人数为人， ∴需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为， ∴在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人）， 故答案为： 14．（2021·上海·中考真题）有数据，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】根据概率公式计算即可 【详解】根据概率公式，得偶数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$