精品解析：安徽省安庆市大观区安庆市外国语学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

安庆市外国语学校2024−2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. 2 C. D. 不能确定 3. 下列各组数中，是勾股数是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 电影《哪吒2》上映以来，全球票房连创佳绩．据不完全统计，第一月票房约83亿元，若以后每月票房按相同增长率增长，则三个月后累计票房收入达155亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 0 4 10 18 28 A. 和 0 之间 B. 0 和 1 之间 C. 1 和 2 之间 D. 2 和 3 之间 8. 中，，，的对边分别记为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A B. C. D. 9. 若实数a，b，c满足，则c的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12. 比较与的大小关系是：________（填“>”或“<”）． 13. 以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 14. 如图，在直角中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中， （1）________； （2）的最小值为________． 三、（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为7.5． 18 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：： 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）________； （2）请写出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 五、（本题共2小题，每题10分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 20. 为迎接植树节的到来，红岩村街道准备对一块四边形空地进行绿化改造，重庆二十九中学生物兴趣小组的同学们帮助街道工作人员测量得到以下数据：，，．从点修一条垂直的小路（垂足为），，且恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 六、（本题12分） 21. 学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 外国语学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025．3．1 班级人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2．5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价1元，每天少销售50千克． 解决问题 问题1 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为多少元/千克？ 问题2 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求出青菜的售价为多少元/千克；若不能，请说明理由． 七、（本题12分） 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若，是一元二次方程倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 八、（本题14分） 23. 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆市外国语学校2024−2025学年度第二学期 八年级期中考试数学试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足两个条件．开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数含有开的尽方的因数9，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（ ） A. B. 2 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可，注意二次项系数不为0的隐含条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴， 故选：C． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 1，1， C. 1，，2 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股数定义进行分析即可． 【详解】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意； B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C、不正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； D、82+152=172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；   B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 5. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义． ， 解得， 解集表示在数轴上，如图， 故选：A． 6. 电影《哪吒2》上映以来，全球票房连创佳绩．据不完全统计，第一月票房约83亿元，若以后每月票房按相同的增长率增长，则三个月后累计票房收入达155亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先根据增长率为x得出第二天为，第三天为，再根据三天累计为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 7. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） x 0 1 2 3 4 0 4 10 18 28 A. 和 0 之间 B. 0 和 1 之间 C. 1 和 2 之间 D. 2 和 3 之间 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现当的值接近5的时候，即为一元二次方程的正数解所在范围，在x的值为1和2时最接近5，再看对应的x的值即可得到答案． 【详解】解：由表可以看出，当x的值为1和2之间的某个数时，， 即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1和2之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 8. 中，，，的对边分别记为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由得，可判定为直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设，，， ∵，， ∴，不能为直角三角形，符合题意； C、∵， ∴，可判定为直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即， 故可以判定为直角三角形，不符合题意． 故选：B． 9. 若实数a，b，c满足，则c的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由得，由得，把代入，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴ ． 又∵ ∴当时，c取得最小值，最小值是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和二次函数的性质，根据已知条件，将问题转化为利用二次函数的性质来求最值是解题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 12. 比较与的大小关系是：________（填“>”或“<”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是比较两数的平方的大小．由，，即可求出． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13. 以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为__________尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴长度为尺． 故答案：． 14. 如图，在直角中，，，，绕点摆动到的位置，取的中点，连接、，求绕点摆动的过程中， （1）________； （2）的最小值为________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）取中点，连接，，判定，推出，由三角形三边关系定理得到，由勾股定理求出，因此，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）在直角中，，， ， 故答案为：8； （2）取中点，连接，， ， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到． 三、（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可． 【详解】解：， ． ， ， ∴， ∴， 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为7.5． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的定义及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的定义作出图形，可得，得出，得出，即可得是等腰直角三角形． （2）根据等腰直角三角形的定义作出图形，可得，可得，即可得是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：： 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）________； （2）请写出第个等式（用含的式子表示，为正整数），并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律及二次根式的性质，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． （1）根据题目中所给的4个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【小问1详解】 解：结合以上规律容易得出：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 五、（本题共2小题，每题10分，共20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）因式分解法求出方程的解，根据方程有两个互不相等的负整数根，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵； ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴或． 20. 为迎接植树节的到来，红岩村街道准备对一块四边形空地进行绿化改造，重庆二十九中学生物兴趣小组的同学们帮助街道工作人员测量得到以下数据：，，．从点修一条垂直的小路（垂足为），，且恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 答：这块空地的面积为． 六、（本题12分） 21. 学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 外国语学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025．3．1 班级人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2．5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价1元，每天少销售50千克． 解决问题 问题1 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为多少元/千克？ 问题2 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求出青菜的售价为多少元/千克；若不能，请说明理由． 【答案】问题1：3元/千克；问题2：不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到相等关系列出方程是解题的关键． 问题1：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜获利100元”列出方程求解即可； 问题2：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜能否获利150元”列出方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：问题1：设青菜的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：，． ∵超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴青菜的售价为3元/千克， 答：超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为3元/千克． 问题2：超市一天销售青菜不能获利150元，理由如下： 设青菜的售价为元/千克， 整理得：， ∵ ∴方程没有实数根，故超市一天销售青菜不能获利150元． 七、（本题12分） 22. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若，是一元二次方程倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）53 【解析】 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【小问1详解】 解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； 【小问3详解】 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 八、（本题14分） 23. 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ∵，________，正方形边长为________，∴， 即． 【知识迁移】 （2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到， ①如图2，连接，则线段的长为________； ②如图3，连接，请求出线段的长． 【答案】（1），（2）① ② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解答； （2）①设交于点N，由折叠可得是的垂直平分线，则，根据勾股定理求得，根据的面积求得，即可解答； ②过点作，交的延长线于点，则，在中，由勾股定理得，设，则， 根据勾股定理有，代入求得m的值，从而得到，，再由勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长， ∴， 即． 故答案为：，； （2）①如图2，设交于点N， 由折叠可得是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图，过点作，交的延长线于点，则， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$