精品解析：浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

2024学年第二学期台州十校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故选：B 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直坐标表示，列式计算即得. 【详解】平面向量，，由，得， 所以. 故选：A 3. 已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线， ， 故选：A 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 5. 已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两底面圆半径分别求出其面积，代入圆台体积公式即可求得高. 【详解】设圆台的高为，且上下两底面面积分别为 根据圆台体积公式可得，解得. 故选：A 6. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理求解． 【详解】由已知， 又三点共线，则共线，而不共线，， 所以，即， 故选：A． 7. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设得,，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度. 【详解】因为中，，，， 所以， 因中，，， 所以，即, 由题意，，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故. 故选：B 8. 中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A. 6 B. 6 C. 12 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值. 【详解】根据海伦-秦九韶公式，，其中， 由题意，可知，则，又， 故， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 梯形可确定一个平面 B. 圆心和圆上两点可确定一个平面 C. 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 D. 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 【答案】AC 【解析】 【分析】平行直线确定一个平面判断A，根据不共线三点确定一个平面判断B，根据直线与平面平行的定义判断CD. 【详解】因为梯形有两个边平行，可以确定一个平面，故A正确； 如果圆上两点是直径的两个端点，此时三点共线，不能确定一个平面，故B错误； 直线l与平面平行，根据定义知l与平面内的任意一条直线都没有公共点，故C正确； 直线l与平面平行,l与平面内的任意一条直线都平行或异面，故D错误. 故选：AC 10. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 复数z为实数的充要条件是 D. 已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 【答案】CD 【解析】 【分析】由复数的相关概念即可判断A，由纯虚数的定义即可判断C，由复数的几何意义即可判断D. 【详解】对于A，不全是实数的两个复数不能比较大小，故A错误； 对于B，复数的虚部为，故B错误； 对于C，设，则， 若为实数，则，此时； 反之，若，即，则，为实数，故C正确； 对于D，设，由可得， 即，它表示以原点为圆心，半径为的圆，故D正确； 故选：CD 11. 已知向量，的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A先计算，再利用公式计算；B先计算，再利用公式计算；C 先利用向量求模公式计算 ，再求一元二次函数的最小值即可；D求证即可. 【详解】由条件可得，， 则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因， 则在方向上的投影向量的模为，故B正确； 由，其为开口朝上的一元二次函数， 故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误； 由C选项可知，取得最小值时， 则，则，故D正确. 故选：ABD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案： 【点睛】本题考查了复数模的运算公式，考查了数学运算能力，属于基础题. 13. 在中，，，M为BC的中点，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，延长到，使，即可得到为平行四边形，然后结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 延长到，使，因为为的中点， 所以四边形为平行四边形，则，，， 在中，由余弦定理可得， 代入可得， 化简可得，即， 解得，则. 故答案为： 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以， 所以该鳖臑外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 由z是纯虚数，则 ，，故. 【小问2详解】 由z在复平面内对应的点在第三象限， ，，所以. 16. 如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体. （1）求这个旋转体的体积； （2）求这个旋转体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积； （2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积. 【小问1详解】 如图所示. 在中，，， ∴，， ∴， 设旋转体的底面面积为S，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积 . 【小问2详解】 由（1）得旋转体的表面积 . 17. 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【小问1详解】 由题知，，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，正弦定理边化角求解. （2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. （3）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 向量，且，则， 在中，由正弦定理得，而， 则，即，又， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即 于是，而，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 由余弦定理得， 则， 当且仅当时取等号，解得， 所以当时，取得最大值4. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知向量，求； （2）（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 【答案】（1） （2）(i)证明见解析，（ii) 【解析】 【分析】（1）由新定义代入即可求解； （2）（i）根据向量的坐标运算可得，进而可证，（ii）根据中线结合数量积可得，且可知点为的中点，进而求，再由（i）即可得结果. 【小问1详解】 由，， 可得： 【小问2详解】 （i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期台州十校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 设不共线，，若A，B，D三点共线，则实数 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. B. C. D. 8. 中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（    ） A. 6 B. 6 C. 12 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 梯形可确定一个平面 B 圆心和圆上两点可确定一个平面 C. 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 D. 若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 10. 下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 复数z为实数的充要条件是 D. 已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆 11. 已知向量，的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 13. 在中，，，M为BC的中点，，则__________. 14. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围. 16. 如图，在中，，，，将绕BC轴旋转一周形成了一个旋转体. （1）求这个旋转体体积； （2）求这个旋转体的表面积. 17 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量夹角. 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积； （3）若，求最大值. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知向量，求； （2）（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $