精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年度第二学期期中练习 八年级数学 注意事项： 1．数学练习满分150分，练习时间为120分钟． 2．本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效． 4．练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故非最简二次根式，此选项错误，不符合题意； B、，故非最简二次根式，此选项错误，不符合题意； C、，故非最简二次根式，此选项错误，不符合题意； D、是最简二次根式，此选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段的长， 故选：B． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：． 故选A． 4. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A. B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； ，故是勾股数，符合题意； 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：． 5. 如图，将的一边延长至点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，即对角相等，邻补角互补，熟练掌握平行四边形的各种性质是解题关键． 根据平行四边形的性质，即对角相等，求出的度数，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 故选：C． 6. 下列名式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 7. 如图，在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的各种性质是解题关键． 利用平行四边形的性质推得、、，通过勾股定理求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，点为菱形的对角线， 的交点，点，分别为边，的中点，连接，若， ，则菱形的周长为（　　） A. B. 12 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，再结合菱形的性质可得，，，然后在中由勾股定理计算出的值，即可获得答案． 【详解】解：∵点，是，的中点，即是的中位线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴菱形的周长为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，，则四边形是矩形 C. 若，，，则四边形是菱形 D. 若，，，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，不能判定四边形是平行四边形，此选项错误，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故不能判定四边形是矩形，此选项错误，不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故此选项正确，符合题意； D、，，，不能判定四边形是正方形，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合平分、平分得、，设、，可得、、，利用勾股定理建立方程，得，求出，即可求解的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ． 平分， ， ， ， 点为的中点， ． 设，，则，，， 中，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次根式中的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识解题关键． 根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， ． 故答案为：． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∠B＝28°，则∠ADC＝________． 【答案】56° 【解析】 13. 如图，在 中，，分别以、、 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当， 时，则阴影部分面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分可以看作两个小半圆与的面积之和，减去半圆的面积，利用勾股定理和半圆的面积公式进行计算即可． 【详解】解：直角中，， ， ， ， ． 14. 如图，矩形纸片，，，点，分别在，上，将纸片沿着折叠，点，分别落在点，处，且点在线段上（可与点，重合）． （1）如图1，当点与点重合时，________cm； （2）如图2，当时，________cm． 【答案】 ①. ##0.875 ②. 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）设，则，在中，根据勾股定理即可解答； （2）连接，，由勾股定理得算出，设，则， 在中，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：当点与点重合时， ，， 由折叠的性质知， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即； （2）如图，连接，， 由折叠的性质知，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题关键． 先根据二次根式的乘除法的运算法则、分母有理化计算化简，再进行二次根式的加减即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定，先由平行四边形的性质得结合得即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 18. 如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： （1）菱形的两条对角线长； （2）菱形的面积． 【答案】（1）菱形的对角线长， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的各种性质是解题关键． （1）利用菱形的性质求得是等边三角形，由勾股定理求出的长，即可求得两条对角线长； （2）利用菱形的面积等于其两条对角线的乘积的一半即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，边长为， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∴在菱形中，， 在中，， ， ∴在菱形中，． 菱形的对角线长，． 【小问2详解】 解：菱形的面积． 五、（本大题共2小题，毎小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第5个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． （1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【小问1详解】 解：根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，那么第5个等式为． 【小问2详解】 ， 证明：左边右边， ． 20. 如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，网格线的交点称作格点． （1）请在下面的网格中，以格点为顶点，画，使，，； （2）判断所画的的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合勾股定理确定点的位置，然后顺次链接即可； （2）结合，，易得，由勾股定理的逆定理易知是直角三角形． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 是直角三角形，利用如下： ，，， ， ， 是直角三角形． 六、（本题满分12分） 21. 清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 【答案】（1）①；②线段的长为米 （2）需再放出米线 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）①根据矩形的判定，可得米； ②利用勾股定理求出的长，根据即可求解； （2）先根据题意求出米，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①根据题意，得：， 四边形是矩形， 米； ②由题意，得：米，，米， 在中，， ， 米． 【小问2详解】 解：风筝沿方向再上升米后， 米， 此时风箏线的长为米， 风箏应该再放出线的长度为米， 答：需再放出米线． 七、（本题满分12分） 22. 如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形． （2）若四边形为菱形，，，求线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用平行线的性质得，即可证得； ②由①得，可得、，证得，即可得证四边形是平行四边形． （2）连接，交于点，根据菱形的性质得、、，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，计算即可求解． 【小问1详解】 证明：①， ， 在和中， ， ； ②由（1）知， ，， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形的性质是解题关键． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点是对角线上一点，连接，． （1）如图1，求证； （2）如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据证明即可得出； （2）①由平行线的性质得，证明得，从而可得，可证； ②证明，进而可求出，过点作于点，设，在中，求出，在中，求出，，根据求出即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ； ②解：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， ， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 则， 解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中练习 八年级数学 注意事项： 1．数学练习满分150分，练习时间为120分钟． 2．本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效． 4．练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，则下列能表示直线m，n之间距离的是（　　） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A. B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 5. 如图，将一边延长至点，若，则（ ） A B. C. D. 6. 下列名式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为菱形的对角线， 的交点，点，分别为边，的中点，连接，若， ，则菱形的周长为（　　） A. B. 12 C. D. 16 9. 如图，四边形对角线，交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，，则四边形是矩形 C. 若，，，则四边形是菱形 D. 若，，，则四边形是正方形 10. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次根式中的取值范围是________． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∠B＝28°，则∠ADC＝________． 13. 如图，在 中，，分别以、、 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当， 时，则阴影部分的面积为_________． 14. 如图，矩形纸片，，，点，分别在，上，将纸片沿着折叠，点，分别落在点，处，且点在线段上（可与点，重合）． （1）如图1，当点与点重合时，________cm； （2）如图2，当时，________cm． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，求证：四边形是矩形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 18. 如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： （1）菱形的两条对角线长； （2）菱形的面积． 五、（本大题共2小题，毎小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第5个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 20. 如图，是由边长为1个单位长度小正方形组成的网格，网格线的交点称作格点． （1）请在下面的网格中，以格点为顶点，画，使，，； （2）判断所画的的形状，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： （1）①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； （2）如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形． （2）若四边形为菱形，，，求线段的长． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，点是对角线上一点，连接，． （1）如图1，求证； （2）如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $